Estadística Administrativa I Período 2014-2 Intervalos de confianza

Estimador puntual Es un valor deducido de una muestra para estimar un valor de una población.

Ejemplo….. Se elige una muestra de 50 ejecutivos de mandos intermedios y le pregunta a cada uno la cantidad de horas que laboró la semana pasada. Se calcula la media de esta muestra de 50 y se utiliza el valor de la media muestral como un estimador puntual de la media poblacional desconocida. Un estimador puntual es solamente un valor. Aunque se espera que el estimador puntual se aproxime al parámetro poblacional, es conveniente medir cuán próximo se encuentra de la realidad.

Intervalo de confianza Es un conjunto de números deducidos de estimadores puntuales que se espera que estimen el parámetro poblacional.

Estimadores puntuales e intervalos de confianza de una media Se conoce la desviación estándar de la población 𝜎 Se desconoce la desviación estándar de la población. En este caso se sustituye la desviación estándar de la muestra como un estimador puntual de la desviación estándar poblacional 𝑆

Error estándar de la media Es la desviación estándar de una población sobre la raíz cuadrada de la muestra que se esta observando. 𝜎 𝑋 = 𝜎 𝑛

Ejemplo….. En una población se obtuvo una muestra de 20 ejecutivos de cuenta de una distribuidora de elevadores. Se sabe que la desviación estándar de la población es de 1.25. ¿Cuál es el error estándar de la media? 𝜎 𝑋 = 𝜎 𝑛 = 1.25 20 =0.177

Nivel de confianza Probabilidad de que la media poblacional se encuentre en el rango especificado.

Cálculo de Z Si se tiene un nivel de confianza, significa que ya se tiene la probabilidad. El siguiente paso es determinar cuál es el valor de Z en la curva normal (distribución de probabilidad normal). Se busca en la tabla normal, dada una probabilidad, el valor de z. Calcular el rango dentro del cual se encuentra la media poblacional 𝜇= 𝑋 ±Z (𝜎 𝑋 )

Ejemplo 1…. 𝜇=4.01 𝜎=0.02 𝑛=16 𝑛𝑐=95% 𝑋 =4.025 Del Monte Foods distribuye duraznos en trozo en latas de 4 onzas. Para asegurarse de que cada lata contenga por lo menos la cantidad que se requiere, Del Monte establece que el proceso de llenado debe verter 4.01 onzas de duraznos y almíbar en cada lata. Suponer que la desviación estándar del proceso es de 0.02 onzas y que el proceso se rige por la distribución de probabilidad normal. Se selecciona una muestra aleatoria de 16 latas y se determina la media de la muestra que da como resultado un promedio de 4.025 onzas de duraznos y almíbar. Calcular el intervalo de confianza del 95% para determinar si el proceso se está cumpliendo de acuerdo al estándar establecido. 𝜇=4.01 𝜎=0.02 𝑛=16 𝑛𝑐=95% 𝑋 =4.025

. . .Ejemplo 1 𝜇=4.01 𝜎=0.02 Calcular el error estándar Calcular z Nivel de confianza 95% La mitad del nivel de confianza 47.5% La probabilidad de 47.5% es 0.4750 Buscar el valor 0.4750 en la tabla 1.9 y 0.06 Sumar ambos valores 1.9 + 0.06 = 1.96 Calcular el intervalo de confianza Diagnóstico: La muestra no está dentro del intervalo permitido, la media poblacional 4.01 es menor que el dato menor del intervalo. 𝑛=16 𝑛𝑐=95% 𝜎 𝑥 = 𝜎 𝑛 = 0.02 16 = 0.02 4 =0.005 𝑋 =4.025 𝑋 ±𝑧∗ 𝜎 𝑋 =4.025±1.96∗0.005 = 4.025±0.0098 4.025+0.0098=4.0348 4.025 −0.0098=4.0152

Ejemplo 2. . . Se toma una muestra de 49 observaciones de una población normal con una desviación estándar de 10. La media de la muestra es de 55. Determinar el intervalo de confianza de 99% para la media poblacional. Error estándar : Determinar Z para el 99% 99% entre 2 = 49.5% La probabilidad de 49.5 es 0.4950 Los valores para armar z son 2.5 y 0.08. Z = 2.58 Calcular el intervalo de confianza 𝜎 𝑥 = 𝜎 𝑛 = 10 49 = 10 7 =1.4286 𝑋 ±𝑧∗ 𝜎 𝑋 =55±2.58∗1.4286 = 55±3.6857 55+3.6857=58.6857 55 −3.6857=51.3143

Intervalos de confianza nominales Cuando los resultados posibles solamente son dos. Éxito o Fracaso

Intervalo de confianza para proporciones 𝑝= 𝑋 𝑛 1. Proporción de la muestra 𝑝±𝑧∗ 𝑝(1−𝑝) 𝑛 2. Intervalo de confianza

Ejemplo 1. . . La junta directiva de HSBC considera la propuesta de fusión con Davivienda. De acuerdo al reglamento, por lo menos tres cuartas partes de los accionistas deben aprobar cualquier tipo de fusión. Una muestra aleatoria de 2,000 accionistas actuales revela que 1,600 planean votar por la propuesta. Determinar un intervalo de confianza del 95% para la proporción poblacional y determinar si será un hecho la fusión. n es el tamaño de la muestra = 2,000 X es la cantidad de accionistas que están de acuerdo con la propuesta = 1,600 Nivel de confianza es del 95% 95/2 = 47.5% = 0.4750 : z = 1.96

. . .Ejemplo 1 𝑝= 𝑋 𝑛 = 1600 2000 =0.80 Proporción de la muestra Cálculo de z - 95% = 47.5 = 0.4750 z = 1.96 Intervalo de confianza 𝐼𝐶=𝑝±𝑧 𝑝(1−𝑝) 𝑛 =0.8±1.96 0.8∗(0.20) 2000 =0.8±1.96∗ 0.16 2000 =0.8±1.96∗0.008944 =0.8±0.018= 0.8+0.018=0.818 0.8 −0.018=0.782

Ejercicios del libro Páginas 301 - 302 Ejercicio 2 Ejercicio 5

Fin de la presentación Muchas gracias