Sistemas Matemáticos Computacionales Mathematica MTI. Mónica del Rocío Torres Ibarra

Introducción Mathematica es un programa diseñado por la empresa Wolfram Research, Inc. que emplea algoritmos muy potentes para la resolución de problemas en diversas ramas de la Matemática. Existen versiones diseñadas para operar en diversos sistemas operativos e interfaces gráficas.

Estructura de los documentos Los documentos en Mathematica son llamados Notebooks, el cual contiene una lista de celdas. En ellas se introducen las expresiones. Todas las celdas están agrupadas por un corchete en la parte derecha de las mismas. Podemos dar formato a nuestros documentos de forma que no queden como simples cálculos.

Diálogo Todo se basa en el estilo pregunta-respuesta, es decir, bajo el formato de entrada (In[n]), y salida (Out[n]). Donde: (In[n])  Es la operación a realizar (Out[n])  Su respectiva respuesta

Operaciones elementales Podemos utilizar Mathematica como una calculadora, utilizando los operadores: +  Adición. -  Sustracción. *  Multiplicación. /  División. Sqrt [n]  Raíz cuadrada de "n". n!  Factorial de "n". Para ejecutar una operación se utiliza la combinación <shift>+<retorno> o <intro>

Ejercicios – Operaciones básicas Realice las siguientes operaciones en el mathematica

(* Este es un comentario *) Comentarios Podemos escribir texto en nuestros archivos sin que esto nos origine errores en los resultados, simplemente indicándolos como comentarios. Para ello debemos encerrar el texto entre paréntesis-asterisco (* Este es un comentario *)

Manejo de resultados Podemos trabajar con resultados obtenidos anteriormente fines sin la necesidad de volverlos a escribir. Solo con la siguiente nomenclatura: %  Para referirse el último resultado. %%  Para referirse al penúltimo resul. %n  Se refiere al resultado especificado con el número n. Ejm: % * 1.15

Ejercicios – Valores numéricos y (3/2-7/5I)(2/5-8/3I) (3./2-7/5I)(2/5-8/3I) Sqrt[2] //N N[Sqrt[2],50] Calcule el Seno de Pi/3 = con formato decimal = con formato decimal con 8 dígitos = con280 dígitos

Sintaxis Elemental

Caracteres especiales ;  No despliega resultados \  Continua en la siguiente línea ?  Información sobre un comando ??  + Información del comando   Opciones de las funciones [ ]  Argumentos de funciones ( )  Para agrupar términos {}  Se usan para las listas [[ ]]  Se usan para elementos de las listas

Constantes y salidas Matemática identifica algunos símbolos como caracteres especiales, tales como: Para indicar el tipo de salida que queremos: Oper. Valor numérico de la expresión //N = N[ ] = N[f1, n] = con n dígitos de precisión

Ejercicios – Constantes internas {Pi, E, I, Infinity} Pi N[Pi/4] N[ /4] N[E] e //N 1/0 1/Infinity 1/

Funciones Matemáticas (Help)

Ejercicios - Funciones Sqrt[2] Abs[-5] Sqrt[-4] (4+3 I)/(2-I) Exp[2+9 I] Log[e] Exp[Log[x]] Cos[Pi/2] ArcCos[0] 5! Binomial[5,2] Gamma[1] Gamma[3.5] Beta[2,3.5]

Valores en variables Una técnica más apropiada para referirse a resultados anteriores es justamente dar un nombre a dichos resultados. b=valor asigna valor a b b regresa el valor de b b=. o Clear[b] limpia el valor de b /. Asigna el valor a la exp Remove[x] Elimina x como var.

Ejercicio – Valores símples x=5 y=9 x^2+3y x+y x^3-3x^2-6x+2/.x1 x^3-3x^2-6x+2/.x 5 x^3-3x^2-6x+2/.x9 Remove [x,y,p] p=x+Sin[y] p /. {x3.7, y2} p^2 p=x+Sin[y] x=3.7; y=1.2; p p^2

Ejercicio - Lista de valores (x+y+z)2 donde x=1, y=2 y z=3 regla = {x1, y2, z3}; (x + y + z)^2 /. regla (x + y^2 + z^3) /. regla (x^2 + y - z^2) /. regla x=3; y=6; z=9; (x + y + z)^2 (x + y^2 + z)^2 (x^2 + y - z^2)

Listas Cuando se realizan cálculos, a veces es conveniente juntar varios resultados y tratarlos todos a la vez como uno sólo. Para ello tenemos las Listas. Una Lista no es más que una colección ordenada de cero o más objetos. Una lista se puede manejar de muchas maneras, es decir, hacer operaciones, asignar valores a una variable y en general manejar una lista como si ella fuese un simple número. a={3,5,6}

Ejercicios – Listas simples b=3a+2 a b a+b Sin[a] //N

Manipulación de listas {a,b,c} lista unidimensional List[a,b,c] {{a,b,c,d},{e,f,g,h}} lista bidimensional lista[[i]] elemento i de la lista lista[[i,j]] elemento (i,j) de la lista Lenght[lista] número de elementos en lista MatrixForm[lista] lista en forma de matriz TableForm[lista] lista en forma de Tabla

Ejercicios - Listas a={x,y,z} b={{3,2,5,4},{4,1,6,2},{3,1,1,6}} a[[3]] {Length[a],Length[b]} b//MatrixForm b//TableForm Clear[a,b]

Formando Listas El comando Table[] nos permite formar listas en general Table[expresión,{b}] forma una lista de b valores de expresión Table[expresión,{i,b}] forma una lista de los valores de expresión con i tomando valores desde i=1 hasta i=b Table[expresión,{i,a,b}] forma una lista de los valores de expresión con i tomando valores desde i=a hasta i=b Table[expresión,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax},...] genera una tabla multidimensional

Ejercicios - Tablas Table[a, {6}] Table[Random[],{4}] Table[i^2,{i,6}] Table[Exp[x],{x,0.,5.}] m=Table[i-j,{i,2},{j,2}] m[[1]] %[[2]] m[[1,2]] TableForm[m] m//MatrixForm D[%,x]

Funciones Además de las muchas funciones que el Mathematica incluye para su uso directo, nos permite definir y manipular nuestras propias funciones. f[x_]:=Expresión define la función f de variable x f[x_,y_]:=Expresion define la función f de variables x y Clear[f] limpia todas las definiciones para f Remove[f] remueve f completamente

Ejercicios - Funciones f[x_]:=x Cos[x] f[2] f[x+x2] f'[x] f[a_, b_, c_]:=ax2+bx+c f[1,2,3][x] g[x_]=f[3,2,1][x]

Asignación Como indicamos anteriormente el símbolo = se usa para asignar valores a una variable mientras que el símbolo := lo usamos para definir una función. Mientras el símbolo = evalúa la expresión del lado derecho y realiza una asignación, el símbolo := hace que la expresión del lado derecho sea guardada para ser evaluada posteriormente.

Operadores == Igual != Diferente < > Menor que, Mayor que <= >= Menor Igual, Mayor Igual p && q verdadero si p y q son verdaderos p p || p verdadero si p o q o ambos son verdaderos (o lógico) Xor[p,q] verdadero si solo p o q son verdaderos (o lógico) !p verdadero si p es falso Not[p]

Operadores Condicionales If[condición, entonces] If[condición, entonces, caso contrario] If[condición, entonces, caso contrario, en otro caso] Which[condición1, entonces1, condición2, entonces2,...] Switch[expresión, forma1, valor1, forma2, valor2,...]

Ejercicio - Operadores

Polinomios Teclear únicamente los términos de un polinomio permite al programa agrupar términos comunes. 5-4x+3x^2-7x+x^2 La función Expand[exp, var] realiza los productos y eleva las potencias. Si se especifica alguna variable lo hace solo para ella, de lo contrario lo hace para todas.

Collect[(x-3)^2(2y+1)^2,x] Collect[(x-3)^2(2y+1)^2,y] Expand[(a+b)^2] p=(x+1)^2-(y+3)^2 Expand[p,x] Expand[p,y] La función Collect[exp, var] agrupa todas las potencias de la variable indicada Collect[(x-3)^2(2y+1)^2,x] Collect[(x-3)^2(2y+1)^2,y]

La función Factor[exp] factoriza la expresión. Factor[2x^3+9x^2+10x+3] La Función Simplify[exp] simplifica la expresión. p=(2+4x^2)^2(x-1)^3 p2=Expand[p] Factor[p2] Simplify[p2]

Ejercicios - Funciones (2+4x^2)^2(x-1)^3 Expand[(2+4x^2)^2(x-1)^3] (2+4x^2)^2(x-1)^3 //Expand Poli=(2+4x^2)^2(x-1)^3 Expand[poli] Factor[%] p1=(x+1)^2(y+1)^2 p2=Expand[p1] Factor[p2] Collect[p2,x]

¡Cuidado con las variables! p3=2x^2+2x^3-12xy-10x^2y+18y^2+6xy^2+18y^3 p3=2x^2+2x^3-12x y-10x^2y+18y^2+6x y^2+18y^3 Factor[p3] Factor[p4] *** Si se trata de la multiplicación de 2 variables estas deben estar separadas ***

Funciones Relacionales Cociente de dos polinomios ExpandNumerator[expr] expande el numerador ExpandDenominator[expr] expande el denominador Expand[expr] expande el numerador dividiendo por el denominador ExpandAll[expr] expande nume. y denomi. Apart[expr] descompone en frac. simples Together[expr] combina los términos sobre un denominador común Cancel[expr] elimina factores comunes Factor[expr] factoriza completamente

Ejemplos ExpandNumerator[w] ExpandDenominator[w] Together[w] Factor[%] Apart[w]

Dominios Complexes números complejos C Reals números reales R Algebraics números algebraicos A Rationals números racionales Q Integers números enteros Z Primes números primos P Booleans números booleanos B

Ecuaciones x=y es una asignación en la que el valor de y es asignado a x, mientras que x==y verifica si x es igual a y. x=4 x==5 x==4 % /. x4 x==6 x Clear[x] x=.

Representación Expresiones como 3x3-x2+2x-7==0 representan ecuaciones en Mathematica y es nuestra forma de definirlas ecu=x2+2x-15==0 ecu /. x4 ecu /. x3 Solve[ecu]

Solución de Ecuaciones La función Solve[exp, var] resuelve la ecuación mostrando la solución para las diferentes variables. Solve[izq==der,x] devuelve valores para x (solución) nombre = izq==der asigna un nombre a la ecuación nombre = Solve[izq==der,x] asigna un nombre a la solución x /. solución da valores a x expr /. solución da valores a la expresión

Ejercicios Resuelva las siguientes ecuaciones: x2+2x-7=0 c=6x^2+5 m x+m^2=0 (x+1)2=x2+2x 3x3-2x2+7x-2=3 4xy-7x2y+4xy2=0 x2+3x-7=-2

Solve El comando Solve trata siempre de proporcionar valores para las soluciones de una ecuación. Sin embargo, hay ecuaciones complicadas. Por ejemplo, una ecuación polinomial en una variable, la más alta potencia de la variables es cuatro, entonces Mathematica siempre dará las soluciones. Sin embargo, si la más alta potencia es cinco o más, sería en muchos casos imposible dar una solución en forma explicita.

Ejemplos Obtenga el valor numérico de la solución de las siguientes expresiones: x^4 - 5 x^2 - 3 =0 x^6 = 1 2 - 4 x + x^5 = 0 x2+2x-7=0 (x+1)2=x2+2x X3-3(x-1)2=(x-1)3+3x-2

Resolver un sistema de ecuaciones Solve[{izq1==der1,izq2==der2,...},{x,y,...}] resuelve el sistema de ecuaciones para x,y,... Solve[eqns,vars,elims] intenta resolver la ecuación para vars eliminando las variables elims

Resolver a x+y=0, 2 x+(1-a)y=1 x^2+y^2=1, x+3 y=0 ec1=2x+y+11z=18 sistema={2x+3y=0,x+3y=3,x+y+3z=5}

Resolver de forma aproximada NSolve[izq==der,x] da una lista de aproximaciones numéricas para una ecuación polinómica NSolve[izq==der,x,n] igual, con n dígitos de precisión NSolve[{ec1,ec2,...},{var1,var2,...}] resuelve el sistema de ecuaciones polinómicas FindRoot[izq==der,{x,x0}] busca una solución numérica para la ecuación con x0 como valor de arranque NSolve[{ec1,ec2,...},{{x,x0},{y,y0},...}] busca una solución numérica para el sistema de ecuaciones

Resolver x5-x+1=0 f=e-x-x2 Solve, N[ ], Nsolve[ ], N[Solve[ ]] ecus=x2+y3=xy, x+y+x2=1 ecua=x2+y2=1, Seno(x)-y=0 Ecui=c2+y2=1, y=x Exp[x]

Límites limit[f,xv] Obtiene el límite de la función f cuando x tiende a v

Límites laterales Algunas funciones pueden tener diferentes límites en puntos particulares, dependiendo de la dirección que se use para aproximarse a dicho punto, en ese caso usaremos la opción Direction para indicar la dirección que deseamos. Direction1 límite por la izquierda Direction -1 límite por la derecha

Ejemplos Obtenga el límite que se aproxima tanto por la izquierda como por la derecha de las siguientes expresiones:

Intervalo de valores Puesto que no toda función tiene límite en un punto particular, el Mathematica proporcionará, de ser posible, un intervalo de valores en los cuales la función oscila, de manera de indicar el comportamiento de la función al aproximarse al valor pedido.

Ejemplos Obtenga el límite de las siguientes expresiones:

Derivadas D[f,x] derivada parcial de f respecto de x, también f´[x] y D[f,x,y] derivada parcial de f respecto de y luego respecto de x , D[f, x1,x2, ... ] derivada parcial de f respecto de x1,x2,…., D[f,{x,n}] n-ésima derivada de f respecto de x, es decir

Ejemplos

Ejercicios Obtenga la 1ª y 2ª derivada parcial de las siguientes expresiones: respecto a x respecto a y respecto a x y

Cuando diferenciamos una función conocida se proporcionará un resultado en forma explicita, mientras que cuando diferenciamos una función desconocida f los resultados quedarán en función de f'

Derivadas Totales Para las derivadas totales de una función usaremos el símbolo Dt. En Mathematica D[f,x] proporciona la derivada parcial de f respecto de x asumiendo, a menos que se indique lo contario, que todas las otras variables que aparezcan son independientes de x. Dt[f,x] nos proporciona una derivada total, en la que se asume que todas las variables dependen de x.

Ejercicios Obtenga la derivada parcial y total de: x2+y2 dx x2+y2+z2 dx x3-y2 dx x3-y2 dy

Integrales Indefinidas El Mathematica usa la función Integrate[f,x] para proporcionarnos . Este resultado de la integral indefinida puede ser fácilmente verificado calculando la derivada del resultado y simplificando. La función Integrate asume que cualquier objeto que no contenga explícitamente la variable de integración, es independiente de ella y en consecuencia es tratado como una constante. Integrate [f,x]

Ejemplos

Sumas y Productos finitos Sum[f,{i,b}] suma con i desde 1 hasta b Sum[f,{i,a,b}] suma con i desde a hasta b Sum[f,{i,a,b,d}] suma con i desde a hasta b con paso d Product[f,{i,b}] producto con i desde 1 hasta b Product[f,{i,a,b}] producto con i desde a hasta b Product[f,{i,a,b,d}] producto con i desde a hasta b con paso d

Ejercicios Sum[s,{i,4}] Product[x+n,{n,4}] Suma de 1/n2 con n de 1 hasta 80 Suma de (n+1)/(n+2)3 con n de 0 a infinito Producto de 1-(1/2n2) con n de 1 a infinito Suma de 1/n con n de 1 a infinito

Graficas Plot[f,{x,xmin,xmax}] grafica f con x de xmin a xmax Plot[f,{x,xmin,xmax}, opcionvalor] = con la opción indicada Plot[{f,g,h,...},{x,xmin,xmax}] grafica juntas varias curvas Plot[Evaluate[Table[f1,f2,...]],{x,xmin,xmax}] genera la lista de funciones y las grafica Show[graf] redibuja la gráfica graf Show[g1,g2,...] combina las gráficas g1, g2, ... Show[graf,option->value] redibujar la gráfica graf cambiando la opción indicada Show[GraphicsArray[{{g1,g2,...},...}]] dibuja un arreglo de gráficas

Ejemplo g1= gráfica de Seno(x) de 0 a 2Pi g2= gráfica de Coseno(x) de 0 a 2Pi Mostrar g1 y g2 en una sola figura Comando Plot Comando Show

Ejemplos Graficar las siguientes expresiones: fun1=Seno(x) con x de –Pi a Pi fun2= de -5 a 5 de –Pi/2 hasta Pi/2

Opciones - GridLines Dibuja una cuadricula bajo la gráfica, sus opciones son: None – Se ve Automatic – No se ve GridLines Automatic Ejercicio – Dibuje la gráfica de fun con una cuadrícula

PlotLabel”Tíulo de la Gráfica” Opciones - PlotLabel Permite poner un título a la gráfica PlotLabel”Tíulo de la Gráfica” Ejercicio: En la gráfica anterior escribe el Título “Gráfica de la función Seno”

PlotStyleThickness[0.008] Opciones - PlotStyle Permite dar un estilo al dibujado de la gráfica, dependiendo de el valor asignado PlotStyleThickness[0.008] Dibuja la gráfica con un grosor de la línea de 0.008 puntos El valor debe estar entre 0 y 1

Opciones - AspectRatio Es la razón alto-ancho para la gráfica. Determina la escala para la imagen final AspectRatioAutomatic AspectRatio1/GoldenRatio Observe la diferencia al realizar estas gráficas Show[Graphics[Circle[{0,0},1]]]; Plot[Sin[x],{x,0,2 p}]

Opciones - PlotRange Establece un rango para y en la gráfica Especifica qué puntos se incluyen en la gráfica Puede tomar los siguientes valores All – Todos los puntos son incluidos Automatic – Es el valor por default {min, max} – Límites para y(2D) o z(3D) {{xmin,xmax},…} – Límites explícitos

Ejemplos Grafica la tangente de x de 0 a 2Pi Agrega un rango a la gráfica de -8 a 8 Modifica el rango de –Pi a Pi Grafica x5-4.5x4+21.x2-7 de -10 a 14 Agrega la opción de PlotRange en cada una de sus 4 variantes (All, Automatic,{min,max}, {{xmin,xmax},{ymin,ymax}})

Opciones- Axes Permite manipular los ejes de modo para que sean representados en la gráfica de la siguiente forma: AxesOpcion False – No se ve ninguno True – Se ven ambos {False, True} – Se ve el eje x pero no el y {True, False} Se ve el eje y pero no el x

Ejercicio: Haga una representación gráfica de las siguientes expresiones con todas las variantes de Axes. De -5 a 5 De -1 a 1 De 0 a 2Pi Seno(x), Coseno(x), Tangente(x) Secante(x), Cosecante(x), Cotangente(x)

Opciones - DisplayFuncion Es una opción para gráficas y sonido que permite especificar cómo desplegarlos: Opción por default DisplayFuncionDisplay Para que la gráfica no se muestre en pantalla DisplayFuncionIdentity

Ejercicios Realiza las gráficas de las funciones trigonométricas anteriores utilizando la opción de Identity. Nota. Utilizamos “;” para decirle a mathematica que no muestre salida, en el caso de las gráficas ese “;” únicamente no despliega la palabra “Graphics” que aparece después de cada gráfica.

Opciones - GraphicsArray Utilizada con Show, permite mostrar las gráficas como un arreglo (tantas líneas como se le indique) GraphicsArray[{, , … }] representa las gráficas en una sola línea. GraphicsArray[{{, , … }, … }] representa las gráficas como un arreglo bidimencional. Ejercicio. Represente todas las gráficas anteriores en 1, 2 y 3 líneas.

Opciones - AxesLabel Permite poner rótulos o etiquetas a los ejes. AxesLabeNone Sin etiquetas AxesLabe”Etiqueta” Especifica la etiqueta para el eje y (2D) y el eje z (3D) AxesLabel{“x”,”y”,…} etiqueta para cada eje Ejercicio. Realice la gráfica de y coloque como etiqueta de eje y “Población” y en el eje x “Tiempo” rango 0 a 3 Realice la gráfica del Seno de x y etiquete el eje x “valor de x” y el eje y “Seno de x” (-2Pi a 2Pi)

Opciones - Ticks Permite establecer las marcas que aparecerán en los ejes (escala). None – no aparece ninguna marca Automatic – marcas establecidas por default {xmarcas,ymarcas} – marcas para cada eje Ejercicio: Para fun= Cos[Abs[x]], establezca marcas con cada una de las opciones y combinación de las 2 últimas (x=0,Pi/2,Pi, 3Pi/2,2Pi)

Opciones - AxesOrigin Permite modificar el punto de cruce de los ejes, se debe especificar el punto de cruce Automatic – Cruza en el punto 0,0 {x,y} – Cruza en el punto x,y establecido Ejercicio: Establezca 2 diferentes puntos de cruce de los ejes para la grafica de la funcion fun=seno(x)

Opciones - Frame Permite dibujar un margen alrededor de la gráfica, si las marcas (ticks) están activadas se colocan alrededor del márgen. Sus opciones son:  True y  False Ejercicio: Realice la gráfica del Coseno de x en un rango de -2Pi a 2Pi, cuadricula y margen a su alrededor.

Opciones - FrameLabel Permite colocar “etiquetas” al lado de cada uno de los márgenes (debe estar activado Frame en True) FrameLabel{"A","B","C","D"} Donde, cada letra representa la etiqueta cada lado del marco, iniciando abajo en el sentido de las manecillas del reloj. Ejercicio: Realiza la gráfica de con un margen y escribe las etiquetas “arriba, abajo, izquierda y derecha” en su respectivo sitio

Opciones - FrameTicks Marcas en el cuadro (escalas). Igual que el ticks, pero en lugar de que las marcas aparezcan sobre los ejes aparecen sobre el marco. Ejemplo: Para fun= Cos[Abs[x]], establezca marcas para ambos ejes con los valores + 0,Pi/2,Pi, 3Pi/2,2Pi y + 0.2, 0.4, 0.6, 0.8,1

Opciones – DefaultFont Permite establecer el tipo de letra que será utilizada para la generación del gráfico Su estructura es: DefaultFont{”Tipo-Estilo”,tamaño} Ejercicio: Realice la Gráfica de la función e indique 2 diferentes tipos y tamaños de letra para ella.

Opciones - CMYKColor Opción de PlotStyle, permite especificar el color en el que serán desplegadas las líneas de la gráfica CMYKColor[cyan, magenta, yellow, black] Ejercicio: Genera en una gráfica el Seno de x, 2x, 3x, 4x de 0 a 2Pi. Colorea las líneas en azul y luego en amarillo. Realiza la misma gráfica con un color para cada línea.

Opciones - RGBColor Opción de PlotStyle, permite especificar el color en el que serán desplegadas las líneas de la gráfica RGBColor[red, green, blue] Ejercicio: Genera en una gráfica el Seno de x, 2x, 3x de 0 a Pi. Colorea las líneas en azul y luego en verde. Realiza la misma gráfica con un color para cada línea.

Opciones - GrayLevel Opción de PlotStyle, permite especificar que las líneas serán desplegadas en cierta escala de grises, dependiendo de el valor, el cuál debe estar entre 0 y 1. GrayLevel[valor] Ejercicio: Genera en una gráfica el Seno de x, 2x, 3x de 0 a Pi. Asigna diferentes tonos de gris a cada línea.

Opciones - BackGround Permite especificar el color del fondo de la gráfica. Sus opciones pueden contener cualquiera de las formas y combinaciones vistas anteriormente. Ejercicio: Copia 3 de las gráficas que haz realizado hasta el momento y establece para cada una diferente color de fondo.

Resumen de Opciones Nombre de la Opción Explicación AspectRatio la razón alto-a-ancho para la gráfica. se calcula de las coordenadas x e y PlotRange rango para y en la gráfica PlotLabel una expresión para poner como nombre a la gráfica Axes para mostrar o no los ejes Axeslabel para poner nombres a los ejes AxesOrigin el punto de cruce de los ejes Ticks marcas en los ejes. None ocasiona que no haya marcas TextStyle el estilo de la letra a usar en el texto de la gráfica FormatType el tipo de letra a usar en el texto de la gráfica DisplayFunction como mostrar la gráfica. Identity ocasiona que no se muestre Frame para mostrar un cuadro alrrededor de la gráfica FrameLabel nombres para poner alrrededor del cuadro FrameTicks marcas en el cuadro. None ocasiona que no haya marcas GridLines lineas. Automatic hace que haya una por cada marca mayor

Paquetes adicionales Adicional al comando Plot existen un montón de comandos para graficar. Los comandos Plot, ListPlot y ParametricPlot están en las funciones internas en forma directa. Otros comandos como PolarPlot, LinearLogPlot, FilledPlot, etc., se encuentran normalmente en los llamados paquetes adicionales, esto significa que antes de usarlos debemos indicar al Mathematica que queremos usar un determinado paquete, para entonces proceder a usar los comandos que allí se encuentran.

Gráficas de Puntos - ListPlot Permite generar gráficas de puntos de la función especificada LisPlot[Funcion, {rango}] Ejercicios: Genera la gráfica de los puntos {1,-1},{3,-2},{-2,-4},{1,2} Genera 20 puntos para la función 4n/(n+1) y graficalos.