MATRICES: APLICACIÓN EN ECUACIONES DIFERENCIALES UNPSJB-FACULTAD DE INGENIERIA ALGEBRA YGEOMETRIA 2009
MODELO BIOLÓGICO DE CRECIMIENTO DE POBLACIÓN Nuestro objetivo será analizar como varían los tamaños de las poblaciones de dos especies S1 y S2 , que interactúan entre sí en cierto tiempo t.
Si x(t) representa la población de cierta especie en un tiempo t Si x(t) representa la población de cierta especie en un tiempo t. La tasa de crecimiento de x(t) es: Si dicha tasa es una constante a , entonces
Tasa relativa de crecimiento: Solución propuesta Si se tiene una condición inicial Esta solución satisface la E.D. con la condición inicial dada.
Consideremos las dos poblaciones S1 y S2 relacionadas por dos E. D. ( Consideremos las dos poblaciones S1 y S2 relacionadas por dos E.D. (*) (Sistema de Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden) Si llamamos Entonces (*) se puede escribir en notación matricial: Se puede esperar que la solución tenga la forma siendo
¿ Cómo calculamos ?
Ejemplo: Cálculo de cuando A es una matriz diagonal
Si A es una matriz diagonalizable, es decir existe una matriz C invertible tal que o , entonces
Ejemplo: Un Modelo Competitivo Considere el sistema: Aquí un aumento en la población de una especie causa una disminución en la tasa de crecimiento de la otra. Suponga que las poblaciones iniciales son Encuentre las poblaciones de ambas especies para
Solución: