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Modelos de máxima verosimilitud para secuencias de ADN
Eliseo Martínez, Catherine Lizama
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denota el valor de la base en un determinado sitio del ADN
C A G T Probabilidad de que la base i cambie a la base j luego de transcurrido el tiempo T (varias generaciones) C A G T Hipótesis fundamental: la tasa total de mutación, m, es constante, esto es la razón de sustitución de cambio de base de generación a generación es constante. probabilidad de que una base mute a la base i
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C A G T La probabilidad de que no ocurra mutación en ningún sitio hasta la generación T es C A G T … y en consecuencia la probabilidad de que ocurra (al menos una) mutación hasta la generación T es
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i j C A G T C A G T La probabilidad de mutación después del tiempo T
… y que el cambio haya sido por j (desde i) es entonces … C A j G T
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Ahora calcularemos la probabilidad de que el sitio, estando en la base i, al cabo de T generaciones siga con la base i. Esto es… C A i G T … la probabilidad de no mutación después del tiempo T… … o que haya mutado al mismo estado (estando inicialmente en i) es decir… C A i G T
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La probabilidad de cambio de base después del tiempo T está dada por
Si ocurre que
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El modelo anterior considera el tiempo discreto (de generación en generación, digamos en intervalos de 20 años, por ejemplo). Un tratamiento más general considera el tiempo continuo, y entonces se usan probabilidades “instantáneas” de transición de una base a otra. Probabilidad de cambio de una base a otra (de i a j) en un tiempo de duración Dt … y en consecuencia la probabilidad de no cambiar en un tiempo de longitud Dt es Ojo: recuerde que
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¡cuidado, hay 16 ecuaciones!
En este poco tiempo debe mutar desde k hasta j ¡cuidado, hay 16 ecuaciones! … y una de ellas es esta…
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Afortunadamente estas 16 ecuaciones se pueden escribir en forma matricial (con matrices de 4 x 4) de la siguiente forma:
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