Notas de Matemáticas Discretas Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Facultad de Ciencias de la Computación Notas de Matemáticas Discretas Maestría en Ciencias de la Computación Otoño 2004.

Planos proyectivos desaguesianos y no desaguesianos. Contenido del Curso Enumeración de objetos combinatorios elementales Funciones Generatrices Principio de inclusión y exclusión Permutaciones y sus ciclos Distribuciones de objetos en cajas Particiones numéricas Enumeración de árboles plantados Grafos Grafos Extremales Operación con grafos Árboles y bosques Árboles base Grafos de línea Recorrido Eurianos Pareos Conjuntos independiente Grafos planares Coloraciones Grafos orientados Conjuntos ordenados Retículos modulares y semimodulares Planos proyectivos desaguesianos y no desaguesianos.

Tema 1. Elementos de objetos combinatorios elementales Permutaciones, permutaciones con repetición, combinaciones combinaciones con repetición Funciones Generatrices para las permutaciones y combinaciones con repetición, Binomio de Newton, coeficientes multinomiales.

La combinatoria consiste en estudiar todas las posibles situaciones de agrupación u ordenación en los que se puede ver implicado un conjunto de elementos o grupo de elementos. Regla de la Suma: Supongamos una tarea se puede realiza de m formas y una segunda tarea se puede realizar de n formas, además supóngase que no es posible realizar ambas tareas de forma simultánea, entonces, para llevar a cabo cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquiera de m + n formas. Regla del producto: Si un procedimiento se puede descomponer en dos etapas y si existen m resultados posibles para la primera etapa y para cada uno de ellos existen n resultados posibles para la segunda, entonces, el procedimiento total se puede realizar en el orden dado es mn formas. Nota: La regla de la suma y el producto, pueden ampliarse a más de dos tareas.

Unas de las aplicaciones de la regla del producto, se da al querer saber cuantas permutaciones existen de alguna colección de objetos Definición (Permutación) Sea A una colección de n objetos distintos. Una permutación de los elementos de A, es cualquier arreglo lineal que se pueda formar con todos los elementos de A. Ejemplo: Sea A = { 1, 2, 3, 4, 5} una permutación de A estaría dada por (1,3,5,4,2) otra permutación sería (1,2,3,4,5) Observemos que el orden en que se coloquen los elementos define una permutación distinta, por tal razón decimos que el orden es importante a la hora de formar alguna permutación.

Posiblemente en algún momento estemos interesados en formar arreglos lineales de tamaño menor a la cardinalidad del conjunto A. Si ese fuera el caso a tales arreglos los llamaremos ordenaciones de los elementos de A. Es decir, si la cardinalidad de A es n y el tamaño de los arreglos que se quieren formar es r donde ( r < n), estaríamos hablando de ordenaciones de A de tamaño r. Nota: Algunos autores suelen llamar a este tipo de arreglos, permutaciones sin repetición de los elementos de A tomados de r en r. Ejercicio mostrar que: El total de permutaciones que se pueden formar de n objetos distintos es n!  El total de permutaciones sin repetición de n objetos distintos tomados de r en r esta dado por .

Permutaciones con repetición En general, si existen n objetos con n1 de un primer tipo, n2 de un segundo tipo,... , y nr de un r-ésimo tipo, donde n1 + n2 + ... + nr = n, entonces el total de permutaciones de los n objetos , que se pueden distinguir esta dado por