SEMEJANZA Y CONGRUENCIA

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OBJETIVOS Conocer los conceptos, símbolos y diferencias entre figuras semejantes y congruentes. Identificar figuras semejantes y congruentes. Construir segmentos, ángulos y triángulos congruentes. Apropiar los criterios de congruencia entre triángulos. Aplicar los criterios de congruencia, a través del concepto básico de proporcionalidad. Aplicar los teoremas de Pitágoras y de Tales en la construcción de figuras geométricas semejantes y congruentes.

EJEMPLOS DE PROPORCIONALIDAD ¿Cómo se halla el término desconocido en las proporciones dadas? Naranjas (kg) Precio (€) 2 4 3 6 8 5 10 2

Observemos las siguientes figuras geométricas y comparémoslas

Observemos las siguientes figuras geométricas y comparémoslas

Observemos las siguientes figuras geométricas y comparémoslas

Observemos las siguientes figuras geométricas y comparémoslas

Observemos las siguientes figuras geométricas y comparémoslas

SEMEJANZA Los polígonos de al lado tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño; ellos son semejantes. Mediante la semejanza de triángulos se pueden calcular distancias inaccesibles. Por ejemplo, para calcular la altura de un árbol se hace mediante el concepto de proporcionalidad. E A D B

SEMEJANZA Figuras semejantes Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes. Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.

SEMEJANZA Figuras semejantes: Planos Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los segmentos determinados por pares cualesquiera de puntos correspondientes son iguales. es la razón de semejanza

SEMEJANZA Semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales. El cociente se llama razón de semejanza.

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales. SEMEJANZA Primer criterio de semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.  A = A‘ y B = B‘ C = C' Þ A' B' C' A' B' C' A B C B'' C'' 1.- AA ( ángulo-ángulo)

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales. SEMEJANZA Segundo criterio de semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales. A' B' C' b' c' a' A' B' C' A B C a b c B'' C'' 2. LLL (lado-lado-lado)

3.- LAL (lado-ángulo-lado) SEMEJANZA Matemáticas 9º SILENCIO. Tercer criterio de semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual. y A A' = =  b' c' b c A' B' C' b' c' a' A' B' C' A B C a b c B'' C'' c 3.- LAL (lado-ángulo-lado)

¡SI! Ejemplo ¿Son los siguientes triángulos semejantes? 25 65 ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA

Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes A B C P Q R 1,5 3,5 5 3 7 10 Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales 3,5 7 5 10 1,5 3 = = Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales A B C 4 3 D E F 9 12 3 9 4 = 12 Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES

c b a a´ b´ c´ Teorema de Tales Semejanza. Teorema de Tales Matemáticas 9º SILENCIO 2012 Teorema de Tales Construye un triángulo A´B´C´ y traza una paralela a uno de los lados y que corte a los otros lados. Se forma así un triángulo pequeño ABC. A´ B´ C´ A  Vamos a comprobar que los dos triángulos son semejantes: c b Si medimos los valores de los lados de cada uno de los triángulos se observa que son proporcionales: B C a a´ b´ c´ Los ángulos son iguales por tener los lados paralelos: Este resultado es válido para cualquier triángulo y se conoce como teorema de Tales. Toda paralela a un lado de un triángulo, que corta a los otros dos lados, determina un triángulo pequeño, ABC, semejante al grande, A´B´C´ (A  A´). Los triángulos semejantes, ABC y A´B´C´ se dice que están en posición de Tales. IMAGEN FINAL

ACTIVIDAD ¿Cuál es la anchura x del lago? B C M N x 2. Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros? (Haz un dibujo del problema). 3. ¿Cuál es el valor de la incógnita en los siguientes casos? Explique. IMAGEN FINAL