GEOMETRIA ANALITICA

SISTEMA COORDENADO CARTESIANO 1.- El sistema coordenado Unidimensional: Representado por la recta numérica, que se determina por P1(x1) y P2(x2) se tiene : La distancia dirigida de P1 a P2 es : P2 - P1 = x2 - x1 La distancia no dirigida es : P1 P2 ( x1 ) ( x2 ) Ejemplo: P1 Q1 R1 S1 O Q R P2 x x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 Distancia dirigida Distancia no dirigida

SISTEMA COORDENADO CARTESIANO 2.- El sistema coordenado Bidimensional: Un punto en el plano se determina mediante el par: P (x,y) El sistema de coordenadas en el plano consiste en un par de rectas orientadas perpendiculares, llamadas ejes coordenadas. Recta horizontal : eje x (abscisa) Recta vertical: eje y (ordenada) La intersección de ambas rectas es el origen. Las cuatro partes en que el plano queda dividido por los ejes coordenadas se llaman cuadrantes. Y II (- , +) I (+ , +) P (x,y) X III (- -) IV (+ , -) Las coordenadas del punto P se representan por el par ordenado (x,y)

DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL PLANO Sean los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) La distancia entre P1 y P2 Se determina por: Esta expresión se obtiene observando la figura en cuyo triángulo rectángulo P1QP2 , se tiene: donde: sustituyendo en ( 1 ), se tiene finalmente. Y T P2 (X2 ,Y2) (O,y2) (x1 , y1) S P1 Q (x2 ,y1) (O,y1) X M (x1 ,0) N (X2 , 0)

DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL PLANO Ejemplo 1: Si P1 = (8 , 6) y P2 = ( 5 , 2) Hallar d(P1 , P2) = Ejemplo 2: Demostrar que los puntos A(-2 ,-1) , B(2, 2 ) y C(5 , -2) son los vértices de un triángulo isósceles. y B (2, 2 ) x A (-2 ,-1) C (5 , -2) Como el triángulo ABC es isósceles.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA P2 (x2, y2) P(x,y) P1 (x1, y1) Sea el segmento y el punto que divide a en la razón entonces, las coordenadas de P Serán: Si P es la punto medio entonces : ;

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA y P2 (x2, y2) P (x,y) R P1 (x1,y1) Q x en la figura P1QP  PRP2 entonces : Para hallar la Ordenada y del punto P

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA y P2 (x2, y2) P (x,y) R P1 (x1,y1) Q x en la figura P1QP  PRP2 entonces : Para hallar la abscisa x del punto P

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA y P2 (x2, y2) P (x,y) R P1 (x1,y1) Q x en la figura P1QP  PRP2 entonces : Observaciones 1. Si r > 0 , el punto P(x , y) está en el interior del segmento: Si r < 0 , el punto P(x , y) está en el exterior del segmento: Si P(x,y) es el punto medio del segmento entonces la razón r = 1 Luego las coordenadas del punto P son:

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA Ejemplo 1. Si A(2,3) y B(4,8) son los extremos de un segmento. Hallar las coordenadas del punto P(x,y) donde: Solución:

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA Ejemplo 1. Si A(2,3) y B(4,8) son los extremos de un segmento. Hallar las coordenadas del punto P(x,y) donde: Solución:

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDA Ejemplo 2. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son: A(-2,3) y B(6 ,-3) A(-2,3) Solución: Q 1 M P(x,y) 1 1 B(6,-3) Q(2/3 ,1) P(10/3 , -1) Punto medio M(x,y) :

PENDIENTE DE UNA RECTA  L y P1 (x1,y1)  x ANGULO DE INCLINACIÓN Se llama ángulo de inclinación al ángulo formado por la recta L y el eje x positivo, en sentido antihorario. La variación de  es : 0°    180°

PENDIENTE DE UNA RECTA  L Sea  el ángulo formado por la recta L y el eje X La pendiente m de la recta L es: Si la recta L pasa por los puntos P1 (x1 , y1) ; P2 (x2 , y2); la pendiente es: ( Ver Figura ) Y P2 (x2,y2) y2 - y1 P1 (x1,y1)  Q x2 - x1  m = Tg  X

PENDIENTE DE UNA RECTA  L Y P2 (x2,y2) m = Tg  y2 - y1 P1 (x1,y1) Q x2 - x1  X OBSERVACIONES 1. Si m > 0 entonces el ángulo de inclinación es agudo (  < 90° ) 2. Si m < 0 entonces el ángulo de inclinación es obtuso (  > 90° ) 3. Si m = 0 entonces el ángulo de inclinación es 0° ó 180°. 4. Si m =  entonces el ángulo  = 90° .

PENDIENTE DE UNA RECTA  L Y P2 (x2 ,y2) m = Tg  y2 - y1 P1 (x1,y1) Q x2 - x1  X Ejemplo 1: Hallar la pendiente de la recta L que pasa por los puntos : P1(2,1) y P2(5,6)

PENDIENTE DE UNA RECTA Ejemplo 2: Los vértices de un triángulo son los puntos A(2 , -2) , B(-1 , 4) y C(4 , 5). Calcular la pendiente de cada uno de sus lados. SOLUCION: C(4,5) y B(-1,4) o x A(2,-2)

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Sean las rectas L1 y L2 que forman un ángulo  . Entonces: Donde: m1 = Pendiente recta inicial L1. m2 = Pendiente recta final L2 . Nota: 1) Si L1 es paralela a L2  m1 = m2 2) Si L1 es Perpendicular a L2  m1 . m2= -1 ó m1 = Y L2 L1  X

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS DEMOSTRACIÓN Sean las rectas L1 y L2 que forman un ángulo  , 1 ángulo de inclinación de la recta inicial L1 y 2 ángulo de inclinación de la recta final L2 . Donde: m1 =tg 1 Pendiente recta inicial L1. m2 = tg 2 Pendiente recta final L2 . L1 L2  C  Por geometría elemental sabemos que todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes . Entonces en el ABC : 2 1 A B X Luego :

LA RECTA DEFINICIÓN: La línea recta es el lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) del lugar la pendiente “m” resulta siempre una constante. ECUACIONES DE LA RECTA 1) Forma Punto Pendiente : Si la recta pasa por el punto P1 ( x1 , y1 ) y cuya pendiente es “m” entonces la ecuación de la recta está dado por : y P2(x2 ,y2) P1(x1,y2) x y - y1 = m ( x - x1 )

Por definición de pendiente de una recta se tiene: LA RECTA DEMOSTRACIÓN La recta L pasa por el punto P(x1 , y1) y tiene pendiente conocida “m” y sea P(x , y) un punto cualquiera de la recta L. L y P(x, ,y) P1(x1,y1) x Por definición de pendiente de una recta se tiene:

LA RECTA Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto P(2 ,5) y tiene pendiente 3. SOLUCION: L y P(x, ,y) P(2 , 5) x

LA RECTA 2 ) Ecuación de la Recta que pasa por 2 puntos: Si la recta L pasa por lo puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) su ecuación es: DEMOSRACION: y P2(x2 ,y2) P1(x1,y1) x La recta L pasa por los puntos : P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) entonces la pendiente ......(1) Se conoce la ecuación de la recta en su forma punto pendiente y - y1 = m( x - x1 )......(2) Remplazando (1) en (2) se tiene: y - y1 = m ( x - x1 )

LA RECTA Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por los puntos P1 ( -2 , -3) y P2 ( 4 , 6) SOLUCIÓN: y - y1 = m ( x - x1 )

LA RECTA 3) Pendiente y ordenada en el origen: Una Recta con Pendiente “ m “ y que corta al eje y ; en el punto ( 0,b ) ; su ecuación es : DEMOSTRACIÓN: y = mx + b y ( 0 , b) L x

LA RECTA 4 ) Ecuación Simétrica Si una Recta corta a los ejes Coordenados en ( a , 0 ) y ( 0 , b ); su Ecuación es : 5 ) Ecuación General La Ecuación General de una Recta esta representado por : Donde : En la Ecuación ( 1 ) ; si : A = 0  By + C = 0 ; es una recta Horizontal B = 0  Ax + C = 0 ; es una recta Vertical y ( 0,b ) x ( a,0 ) Ax + By + C = 0 . . . ( 1 )

LA RECTA Distancia de un punto a una Recta Sea la Recta L: Ax + By + C = 0 y Sea el Punto P1( x1, y1 ) ; la distancia “d” del punto P a la recta L esta dado por: y L P (x1 , y1 ) d x Distancia entre dos rectas paralelas Dadas las rectas paralelas : L1 : Ax + By +C1 = 0 y L2 : Ax + By +C2 = 0 la distancia de L1 a L2 está dado por:

LA RECTA Ejemplo1. Hallar la distancia del punto P(5 , 4) a la recta L : 3x + 4y - 6 = 0 y L P (5 ,4 ) d L x

LA RECTA y Ejemplo2. Hallar la distancia que existe entre el punto R(4 , -2) del plano y la recta que pasa por los puntos P(-3 , 2) y Q(5 , 6) SOLUCIÓN L Q (5 ,6 ) L P (-3 ,2 ) d x Aplicamos la ecuación punto pendiente de la recta: y - y1 =m(x - x1) R (4 ,-2 )

LA RECTA Posición Relativa de 2 Rectas Sean las rectas : L1: A1x + B1y + C1 = 0 L2: A2x + B2y + C2 = 0 * Si L1 // L2  m1 = m2 ó * Si L1  L2  m1 . m2 = -1 ó A1A2 + B1B2 = 0 * Si L1 y L2 son coincidentes :

LA CIRCUNFERENCIA DEEFINICION: La Circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de puntos en el plano tal que la distancia de un punto fijo a cada uno de ellos es una constante. Centro (C) : Punto fijo radio r : distancia constante d(P , C) = r P(x,y) r C(h,k)

LA CIRCUNFERENCIA ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA LN E r D LT A B C F 1. Centro de la circunferencia. “ C “ 2. Radio de la circunferencia “ r “ 3. Diámetro de la circunferencia 4. Cuerda de la circunferencia 5. Recta tangente a la circunferencia. LT 6. Recta normal a la circunferencia. LN

LA CIRCUNFERENCIA Una Circunferencia queda completamente definida, si se conoce su centro y su radio. Ecuaciones de la Circunferencia: 1) Forma Ordinaria: Sea el Centro de la Circunferencia C ( h,k ) y radio r . Si P (x,y) es un punto  Por distancia: 2) Forma canónica si el Centro es el origen su ecuación es : Y P(x,y) r C(h,k) X (x - h)2 + (y - k)2 = r2 Y P(x,y) X

LA CIRCUNFERENCIA Ejemplo 1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro C(-3 , -4) y radio 5. Solución. Ejemplo 2. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A (2 , 3) y B(-4 , 5). Hallar la ecuación de la curva. Solución. y Las coordenadas del centro : B C A x

LA CIRCUNFERENCIA Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje x y que pasa por los dos puntos A(1 , 3) y B(4 , 6) y A B C(x,0) x La ecuación de la circunferencia:

LA CIRCUNFERENCIA Observaciones: y Si la circunferencia es tangente al eje x su ecuación es : C(h,k) k x Si la circunferencia es tangente al eje y su ecuación es : y h C(h,k) x

Completando cuadrados lo llevamos a su forma ordinaria LA CIRCUNFERENCIA 3) Ecuación General Desarrollando la ecuación ordinaria de la circunferencia tenemos: Esta ecuación tiene la misma forma que: Se llama forma general de la circunferencia. x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Completando cuadrados lo llevamos a su forma ordinaria

LA CIRCUNFERENCIA - Si D2 + E2 - 4F > 0 ; la Circunferencia es real - Si D2 + E2 - 4F < 0 ; la Circunferencia es imaginaria - Si D2 + E2 - 4F = 0 ; la Circunferencia representa un punto Ejemplo 3. Reduciendo las ecuaciones dadas a la forma ordinaria , determinar si representa o no una circunferencia. a. 2x2 + 2y2 - 6x +10y + 7 = 0 b. 4x2 + 4y2 +28x - 8y + 53 = 0 c. 16x2 + 16y2 - 64x + 8y + 177 = 0 Solución.

LA CIRCUNFERENCIA Luego la ecuación es una circunferencia de centro C (3/2 , -5/2) y radio

LA CIRCUNFERENCIA Luego la ecuación representa el punto C(-7/2 , 1) Luego la ecuación representa un conjunto vacío o una circunferencia imaginaria.

CURVAS CÓNICAS Una Cónica es el conjunto de puntos cuyas distancias dirigidas a un punto fijo ( Foco ) y a una Recta fija ( Directriz ), es una razón constante llamada excentricidad. Si: e = 1 ; la cónica se llama Parábola. e < 1 ; la cónica se llama Elipse. e > 1 ; la cónica se llama Hipérbola. P M F

LA PARÁBOLA Es el conjunto de puntos que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado Foco. Elementos: Foco: Punto fijo F Eje Focal: Recta  DD’ y pasa por el Foco Vértice: Punto V Cuerda: Cuerda Focal: Lado Recto: Radio Vector: Directriz : DD Y P M F x M D’ L H V F N D R D

LA PARÁBOLA o o Ecuaciones de la Parábola: 1) Si el Vértice es el Origen y su eje Focal es el eje X F( p,0) ; P( x,y) d(P,F) = d( p,L)  Elevando al cuadrado y simplificando se tiene: - Si: p > 0 ; la Parábola se abre a la Derecha. - Si: p < 0 ; la Parábola se abre a la Izquierda. L Y D P(x,y) F(p,0) V o X D’ y2 = 4px D Y F X o V D’

LA PARÁBOLA o o P(x,y) L y2 = 4px Y L D ELEMENTOS 1. El vértice V(0,0) 2. El foco F(p,0) 3. Lado Recto LR = | 4 p | 4. Ecuación de la directriz: x = - p F(p,0) V o X D’ R D Y L F X o V R D’

LA PARÁBOLA Ecuaciones de la Parábola: 2) Si el Vértice es el Origen y su eje Focal es el eje Y, su ecuación es: - Si p > 0; la Parábola se abre hacia arriba. - Si p < 0; la Parábola se abre hacia abajo Y R L F x2 = 4py o V X D’ D Y D’ D V X o F L R

LA PARÁBOLA x2 = 4py Y R ELEMENTOS 1. El vértice V(0,0) 2. El foco F(0 , p) 3. Lado Recto LR = | 4 p | 4. Ecuación de la directriz: y = - p L F o V X D’ D Y D’ D V X o L F R

LA PARÁBOLA Ejemplo 1. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto y graficar. a. x2 - 12y = 0 b . y2 + 8x = 0 Solución: Y 3 F V o X 1. Vértice V(0,0) 2. Foco F(0,p)  F(0,3) 3. Directriz y = - p  y = -3 4. Lado Recto LR=  4p   LR = 12 como p> 0 la parábola se abre hacia arriba. -3 D D’

LA PARÁBOLA Ejemplo 1. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto y graficar. a. x2 - 12y = 0 b . y2 + 8x = 0 Solución: D Y F V o -2 2 X 1. Vértice V(0,0) 2. Foco F( p , 0)  F( -2, 0) 3. Directriz x = - p  x = - ( -2) = 2 4. Lado Recto LR=  4p   LR = 8 como p< 0 la parábola se abre hacia la izquierda. D’

LA PARÁBOLA Ecuación Ordinaria de la Parábola: 3) Si el Vértice es V ( h, k ), el eje focal es Paralelo al eje x su ecuación es: Con Foco: F( h+p , k ) - Si: p > 0 ; Se abre a la Derecha. - Si: p < 0 ; Se abre a la Izquierda. D Y V F (h,k) D’ ( y - k )2 = 4p ( x - h ) X D Y V F (h,k) X D’

LA PARÁBOLA D ( y - k )2 = 4p ( x - h ) Y F V (h,k) ELEMENTOS 1. El vértice V( h , k) 2. El foco F(h + p , k) 3. Lado Recto LR=  4p  4. Ecuación de la directriz x = h - p D’ X D Y F V (h,k) X D’

LA PARÁBOLA Ecuación Ordinaria de la Parábola: ii ) Si el eje Focal es Paralelo al eje Y, su ecuación es: Con Foco: F ( h , k+p ) - Si: p > 0 ; Se abre hacia arriba. - Si: p < 0 ; Se abre hacia abajo. Y F V (h,k) D’ D ( x - h )2 = 4p ( y - k ) X Y D’ D V (h,k) F X

LA PARÁBOLA ( x - h )2 = 4p ( y - k ) Y F ELEMENTOS 1. El vértice V( h , k) 2. El foco F( h , k + p) 3. Lado Recto LR=  4p  4. Ecuación de la directriz y = k - p V (h,k) D’ D X Y D’ D V (h,k) F X

LA PARÁBOLA 5. La Ecuación General de la Parábola esta dado por: x2 + Dx + Ey + F = 0 ; Si tiene eje focal paralelo al eje Y. y2 + Dx + Ey + F = 0 ; Si tiene eje focal paralelo al eje X. Ejemplo1 . Hallar la ecuación de la parábola cuyos vértices y focos son los puntos (-4,3) y (-1 , 3) respectivamente. Hallar también las ecuaciones de su directriz , eje focal y LR. Solución: F La parábola es de la forma: (y - k)2 = 4p(x - h) V 3 -4 -1 Directriz: x = h - p =-4 -3 =-7  x+7=0 Eje de la parábola y=k  y = 3 , LR = 12

LA PARÁBOLA Ejemplo2 . Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos V (3 , 3 ) y F(3 , 1 ) respectivamente. Hallar también las ecuaciones de su directriz , eje focal y LR. Solución: La parábola es de la forma: (x - h)2 = 4p(y –k ) V L R F o Directriz: y = k - p = 3 – (-2) = 5  y – 5 = 0 Eje de la parábola x = 3  x – 3 = 0 LR = 8

LA PARÁBOLA Ejemplo 3. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones de la directriz y eje, y la longitud del lado recto. 4y2 -48x -20y - 71 =0 Solución: Completando cuadrados para la variable y, se tiene: De donde h = -2 , k = 5/2 , 4p = 12 , p=3 ; Vértice V( h , k)  V( -2 , 5/2) Foco F( h+p , k )  F( -2 + 3 , 5/2)  F( 1 , 5/2) Ec. De la directriz: x = h - p  x = -2 - 3  x = -5 Ec del eje : Y = k  y = 5/2 ; LR = 12

LA PARÁBOLA Ejemplo 3. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones de la directriz y eje, y la longitud del lado recto. 4y2 -48x -20y - 71 =0 Solución: Completando cuadrados para la variable y, se tiene:  De donde h = -2 , k = 5/2 , 4p = 12 , p=3 ; Vértice V( h , k)  V( -2 , 5/2) Foco F( h+p , k )  F( -2 + 3 , 5/2)  F( 1 , 5/2) Ec. De la directriz: x = h - p  x = -2 - 3  x = -5 Ec del eje : Y = k  y = 5/2 ; LR = 12

LA PARÁBOLA Ejemplo 4. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones de la directriz y eje, y la longitud del lado recto. 4x2 + 48y + 12x – 159 =0 Solución: Completando cuadrados para la variable x, se tiene: De donde h = -3/2 , k = 7/2 , 4p = -12 , p= -3 Vértice V( h , k)  V( - 3/2 , 7/2 ) Foco F( h , k + p )  F( -3/2 , 7/2 –3 )  F( -3/2 , 1/2 ) Ec. De la directriz: y = k - p  y = 7/2 + 3  y = 1 3 / 2  2y – 13 = 02 Ec del eje : x = h  x = -3/2  2x + 3 = 0 ; LR = 12

LA PARÁBOLA Ejemplo 4. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones de la directriz y eje, y la longitud del lado recto. 4x2 + 48y + 12x – 159 =0 Solución: Completando cuadrados para la variable x, se tiene:  De donde h = -3/2 , k = 7/2 , 4p = -12 , p= -3 Vértice V( h , k)  V( - 3/2 , 7/2 ) Foco F( h , k + p )  F( -3/2 , 7/2 –3 )  F( -3/2 , 1/2 ) Ec. De la directriz: y = k - p  y = 7/2 + 3  y = 1 3 / 2  2y – 13 = 02 Ec del eje : x = h  x = -3/2  2x + 3 = 0 ; LR = 12

LA ELIPSE Definición: Dado 2 puntos fijos F1 y F2 un numero 2a > 0 ; la elipse es el conjunto de puntos cuya suma de las distancias de un punto de la curva a sus puntos fijos es siempre igual a 2a. P Focos: F1 , F2 C : centro F1 C F2

LA ELIPSE ELEMENTOS DE LA ELIPSE: Focos: F1 y F2 . Eje Focal: Es la recta que pasa por los Focos. Vértice: Puntos V1 y V2. Centro: C Punto medio de V1 y V2. Eje Normal: Recta que pasa por el centro y es  al eje Focal. Eje Mayor: Segmento Eje Menor: Segmento Cuerda: Segmento Cuerda Focal: segmento Lado Recto: Segmento Directriz: Rectas D’D. D D B2 1 M L L V1 F1 F2 V2 C Q R R N B1 D’ D’

LA ELIPSE Ecuaciones de la Elipse: 1) Centro en el Origen y eje Focal el eje x ; su ecuación es: b2 = a2 - c2 Elementos 1. Los vértices son: V1 ( -a,0 ) ; V2 ( a,0 ) : 2. Los focos: F1(- c,0 ) ; F2 (c , 0 ) 3. Extremos del eje menor: B1(0 , -b) , B2 (0 , b) 4. Lado recto : 5. Ecuación de la directriz: 6. Excentricidad : Y D D B2 V1 V2 (-a,0) F1 F2 (a,0) X B1 D’ D’

LA ELIPSE Ecuaciones de la Elipse: 2) Si el eje Focal es el eje Y su ecuación es: b2 = a2 - c2 Elementos 1. Los vértices son: V1 (0 , -a ) ; V2 ( 0 , a ) 2. Los focos: F1( 0 , - c) ; F2 ( 0 , c ) 3. Extremos del eje menor: B1( -b , 0) , B2 ( b , 0) 4. Lado recto : 5. Ecuación de la directriz: 6. Excentricidad : Y V2 F2 (0,c) B1 B2 X F1 (0,-c) V1

LA ELIPSE Ejemplo: Hallar las coordenadas del vértice y focos, la longitud de los ejes mayor y menor , la excentricidad y la longitud del lado recto. Graficar la curva. 9x2 + 4y2 = 36 Solución: Y V2 F2 (0,c) Dividiendo cada término entre 36 B1 B2 X F1 (0,-c) a = 3 , b= 2 , c2 = a2 - b2 = 9 - 4 = 1. Los vértices son: V1 (0 , -3 ) ; V2 ( 0 , 3 ) 2. Los focos: F1( 0 , - ) ; F2 ( 0 , ) 3. Extremos del eje menor: B1( -2 , 0) , B2 ( 2 , 0) 4. Lado recto : 5. Excentricidad : 6. Longitud del eje mayor =2a =6 7. Longitud del eje menor = 2b = 4 V1

LA ELIPSE Ejemplo: Hallar las coordenadas del vértice y focos, la longitud de los ejes mayor y menor , la excentricidad y la longitud del lado recto. Graficar la curva. 16 x2 + 25 y2 = 400 Solución: Y D D B2 V1 V2 F1 F2 X B1 D’ Dividiendo cada término entre 400 D’ a = 5 , b= 4 , c2 = a2 - b2 = 25 –16 = 9  c = 3 1. Los vértices son: V1 (-5 , 0 ) ; V2 ( 5 , 0 ) 2. Los focos: F1( -3 , 0) ; F2 ( 3 , 0 ) 3. Extremos del eje menor: B1( 0 , -4 ) , B2 ( 0 , 4 ) 4. Lado recto : 5. Excentricidad : 6. Longitud del eje mayor =2a = 10 7. Longitud del eje menor = 2b = 8

LA ELIPSE LA ELIPSE b2=a2-c2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE : 1 - Si el centro es el Punto C( h , k) y tiene eje Focal Paralelo al eje X, su ecuación es: Y D D B2 k V1 V2 F1 C F2 b2=a2-c2 B1 D’ D’ O h X Elementos 1. Los vértices son: V1 ( h -a,k ) ; V2 (h + a ,k ) : 2. Los focos: F1( h- c,k ) ; F2 ( h + c ,k ) 3. Extremos del eje menor: B1( h , k - b) , B2 (h ,k+ b) 4. Lado recto : 5. Excentricidad 6. Ecuación de la directriz:

LA ELIPSE ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE : 2- Si el centro es el punto C( h,k) el eje Focal es Paralelo al eje y su ecuación es: Y D’ D V2 Elementos 1. Los vértices son: V1 (h k -a ) ; V2 ( h , k+a ) 2. Los focos: F1( h , k- c) ; F2 ( h , k +c ) 3. Extremos del eje menor: B1( h- b , k) , B2 ( h + b , k) 4. Lado recto : 5. Ecuación de la directriz: 6. Excentricidad : F2 k B1 C B2 F1 V1 h X

LA ELIPSE ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE La Ecuación General es: Donde A  B y son del mismo signo. Ax2 + By2 + Dx + Ey +F =0 Ejemplo. La ecuación de una elipse es 9x2 + 25y2 - 36x + 150y + 36 = 0 , reducir esta ecuación a la forma ordinaria y determinar las coordenadas de centro, vértices, focos, longitudes del eje mayor y menor, lado recto y la excentricidad Solución: a2 = 25 , b2 =9  c2 = a2 - b2 = 25 - 9 =16 a = 5 , b = 3 , c = 4

LA ELIPSE Y B2 X a2 = 25 , b2 =9 c2 = a2 - b2 = 25 - 9 =16 V1 V2 C F1 O F2 B1 1. Centro: C(2 , -3) , h = 2 , k= -3 2. Vértices:: V1 ( h -a,k ) ; V2 ( h + a ,k ) V1 ( 2-5 , -3 ) ; V2 ( 2+5 , -3 )  V1 ( -3 , -3 ) ; V2 ( 7 , -3 ) 2. Focos: F1( h- c,k ) ; F2 ( h + c ,k )  F1( -2 , -3 ) ; F2 ( 6 ,-3 ) 3. Extremos del eje menor: B1( h , k - b) , B2 (h ,k+ b)  B1( 2 , -6) , B2 ( 2 , 0) 4. Lado recto : 5. Excentricidad:

LA ELIPSE Ejemplo. Los focos de una elipse son los puntos F1 (-4 , -2) y F2( -4 , -6), y la longitud de cada lado recto es 6 . Hallar la ecuación de la elipse y su excentricidad. Solución: Y V2 El eje focal de la elipse es paralelo a l eje y la ecuación es de la forma: X F2 B1 C B2 F1 V1

LA ELIPSE Reemplazando (2) en (1)

LA ELIPSE Con los datos del problema , la ecuación de la elipse es: Ejemplo. Los focos de una elipse son los puntos F1 (-2 , -2) y F2( 4 , -2 ) . Hallar la ecuación de la elipse si uno de sus vértices está sobre la recta L : x – y – 8 = 0. Solución: Y Con los datos del problema , la ecuación de la elipse es: O x V1 V2 C F2 F1

LA ELIPSE Ejemplo. La ecuación de una elipse es 9x2 + 4y2 – 8y –32 = 0 . Hallar la excentricidad y lado recto. Solución:

LA PARÁBOLA Ejemplo . Con los datos de la figura . Hallar el foco, ecuación de la directriz, longitud del lado recto. Solución: La parábola es de la forma: P : y2 + Dx + Ey + F = 0 (0,2) V -4 (0,-2) y2 - x – 4 = 0  y2 = ( x + 4 )  h = -4 , k = 0 , 4p =1  p = 1 4 Foco: F( h + p ,k )  F(-4 + 1  4 , 0 )=F(- 15  4 , 0) Directriz: x = h - p =-4 – 1 4 = -17  4  4x+ 17=0 LR = 1