MAGNITUDES VECTORIALES NM3 MAGNITUDES VECTORIALES
OBJETIVOS Reconocer la utilidad del lenguaje vectorial en la descripción del movimiento. 2) Realizar operaciones simples con vectores. 3) Aplicar elementos de Algebra Vectorial y de Trigonometría en la resolución de problemas sobre ciertas magnitudes vectoriales: Desplazamiento, Velocidad, Fuerza; etc.
UNIDADES DE MEDIDA (S.I.) Kg
UNIDAD: MAGNITUDES DERIVADAS RAPIDEZ VELOCIDAD FUERZA TORQUE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ACELERACIÓN POTENCIA ENERGIA
UNIDAD: MAGNITUDES VECTORIALES MAGNITUDES FÍSICAS QUE PARA SER EXPLICITADAS REQUIEREN DE 3 DATOS: MÓDULO DIRECCIÓN SENTIDO
ALGUNAS MAGNITUDES VECTORIALES VELOCIDAD FUERZA TORQUE CANTIDAD DE MOVIMIENTO ACELERACIÓN MOMENTO ANGULAR CAMPO ELÉCTRICO CAMPO MAGNÉTICO
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA MAGNITUD VECTORIAL VECTOR = TRAZO DIRIGIDO E (EXTREMO) horizontal O(ORIGEN) OE: MÓDULO E: SENTIDO : DIRECCIÓN
COMPARACIÓN ENTRE VECTORES u Dados dos vectores, ellos pueden diferenciarse en: tamaño: dirección: o sentido: (módulo)
EJERCICIO DADOS: RESPONDER:
SUMA DE VECTORES POLÍGONO A) MÉTODOS GEOMÉTRICOS B) MÉTODO ANALÍTICO PARALELÓGRAMO
SUMA POR MÉTODO DEL POLÍGONO Al negativo de un vector se le llama VECTOR OPUESTO
SUMA POR MÉTODO DEL PARALELÓGRAMO X + Y + Z = R X + Y R PASOS A SEGUIR: 1) Unir los vectores en un origen común 2) Tomar dos de ellos y trazándoles sus respectivas paralelas formando el primer paralelógramo. 3) Trazar el vector resultante en la diagonal del paralelógamo a partir del origen común de los vectores. 4) A este vector resultante se le suma el tercer vector de la misma forma… y así hasta considerar el último vector sumando
PROPIEDADES DE LA SUMA VECTORIAL
RESTA DE VECTORES
PONDERACIÓN DE VECTORES
EJERCICIO DADOS: a) b) c)
EJERCICIO DADOS: A B C E D F G H a) b) c)
REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR ĵ ĵ
REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR Si: ux=3 y uy=4 el vector u se puede escribir: u = 3î + 4ĵ ĵ ĵ
MEDICIÓN DE ÁNGULOS: GRADO SEXAGESIMAL II cuad I cuad III cuad ÁNGULOS - IV cuad
EL RADIÁN: MEDIDA DE ÁNGULOS La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que subtiende, dividido por el valor del radio. Se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia: SE MULTIPLICA EL RADIO POR EL ÁNGULO EN RADIANES. Long. arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] x [Radio de la circunferencia] Como el perímetro de una circunferencia de radio r =1 es: 2 r = 2 , entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 . Entonces: 360º = 2 (rad) Luego: 1 radian = 57,29º
EQUIVALENCIAS ENTRE RADIÁN Y GRADOS 360º = 2 radianes 180° = radianes 90º = /2 radianes 60º = /3 radianes 45º = /4 radianes 30º = /6 radianes
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Seno (sen) Coseno (cos) Tangente (tg ó tan) Cotangente (ctg ó cotan) Secante (sec) Cosecante (cosec ó csc) SIEMPRE EL ARGUMENTO DE LA FUNCIÓN ES UN ÁNGULO EN GRADOS O EN RADIANES)
DEFINICIONES FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Sen = cateto opuesto/hipotenusa cos = cateto adyacente/hipotenusa tg = cateto opuesto / cateto adyacente ESTAS DEFINICIONES SON VÁLIDAS SOLAMENTE PARA ÁNGULOS AGUDOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
DEFINICIONES FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Sen = cateto opuesto/hipotenusa cos = cateto adyacente/hipotenusa tg = cateto opuesto / cateto adyacente B sen = a / c cos = b / c tg = a / b c a A b C Entonces: tg = ?
ALGUNOS VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ángulo sen cos 0º 1 30º 1/2 ( 3)/2 45º ( 2)/2 (2)/2 60º (3)/2 90º DETERMINAR: Valores de la función tangente para los mismos ángulos
LÍNEAS TRIGONOMETRICAS Entonces; ¿Cuál será el valor máximo de: sen = ? cos = ? tg = ?
VALORES DE LAS FUNCIONES DE LOS ARCOS PRINCIPALES Angulos 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° (grados) 2 /6 /4 /3 /2 3 /2 (radianes) sen 1/2 1 -1 cos tg ctg sec 2 cosec
DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES PARA DETERMINAR LAS COMPONENTES RECTANGULARES DEL VECTOR V DE LA FIGURA : V SE LE ASOCIA UN SISTEMA DE COORDENADAS X-Y DE MODO QUE SU ORIGEN COINCIDA CON EL ORIGEN DE V. y SE TRAZA LA PROYECCIÓN DE V EN CADA EJE COORDENADO OBTENIENDO LAS COMPONENTES RECTANGULARES DE V: Vx y Vy Vy V x ¿QUÉ REPRESENTA ? Vx
DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES SI CONOCEMOS PODEMOS DETERMINAR LOS VALORES DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES: SI APLICAMOS PROPIEDADES DE LOS VECTORES PODEMOS TRASLADAR VY DE MODO DE FORMAR UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO. COMO: y Sen = Vy / V Vy = V Sen Cos = Vx / V Vx = V Cos V Vy x Vx
DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES DE ESTA MANERA EL VECTOR V SE PUEDE ESCRIBIR EN FUNCIÓN DE LOS VALORES DE SUS COMPONENTES RECTANGULARES COMO: V = ( Vx , VY ) A PARTIR DE LOS VALORES ANTERIORES, SE DETERMINA LA DIRECCIÓN APLICANDO LA FUNCIÓN tg: tg = VY/Vx = arc tg (VY/Vx)
DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES A CADA EJE COORDENADO SE LE PUEDE ASOCIAR UN VECTOR UNITARIO (VECTOR QUE TIENE POR MÓDULO LA UNIDAD, ES DECIR, 1 Y QUE SIRVE PARA INDICAR LA DIRECCIÓN): - AL EJE X : î - AL EJE Y : ĵ ENTONCES SI: V = ( 3 ,4 ); SE PUEDE ESCRIBIR: V = 3î + 4ĵ
PROBLEMA SOBRE UN CUERPO ACTÚAN SIMULTÁNEAMENTE LAS SIGUIENTES FUERZAS MEDIDAS EN (N): F1 = 4î + 2 ĵ F2 = 2î - 3 ĵ F3 = 0î + 5ĵ F4 = -3î + 0ĵ ¿CUÁL ES LA INTENSIDAD Y LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA NETA O RESULTANTE FR? FR= 3î + 4ĵ INTENSIDAD: FR= 5(N) DIRECCIÓN: = 53,13°
PRODUCTOS ENTRE VECTORES PRODUCTO ESCALAR EL PRODUCTO DE DOS VECTORES RESULTA UN ESCALAR PRODUCTO VECTORIAL EL PRODUCTO DE DOS VECTORES RESULTA UN NUEVO VECTOR
PRODUCTO ESCALAR ( O PUNTO) B A EL PRODUCTO A • B EQUIVALE AL PRODUCTO ENTRE EL MÓDULO DE A Y EL MÓDULO DE LA PROYECCIÓN DE B SOBRE A (B COS ) POR LO TANTO: A • B = AB COS B COS
PRODUCTO ESCALAR: EJEMPLO TRABAJO MECÁNICO: W = F • d W = Fd cos
PRODUCTO VECTORIAL ( O CRUZ ) D EL PRODUCTO C X D= F; DONDE F ES UN VECTOR PERPENDICULAR AL PLANO DETERMINADO POR LOS DOS VECTORES Y CUYO SENTIDO SE DETERMINA POR LA “REGLA DEL TIRABUZÓN” EL MÓDULO DE F ESTÁ DADO POR EL ÁREA DEL PARALELÓGRAMO FORMADO POR LOS DOS VECTORES = PRODUCTO DE SUS LADOS POR EL SEN DEL ÁNGULO QUE FORMAN C X D ≠ D X C F = CD sen
PRODUCTO VECTORIAL: EJEMPLO TORQUE ( ): = r X F = r F sen