Premio Sahuaro Luminoso III Reto

Seno y Coseno Circular Consideremos la circunferencia centrada en el origen y de radio 1:

Seno y Coseno Circular Para cada consideremos el punto (x, y) sobre la circunferencia cuyo ángulo medido desde el eje x sea igual a :

Seno y Coseno Circular Definimos como la coordenada x del punto así obtenido. Definimos como la coordenada y del mismo punto.

Seno y Coseno Circular Es fácil ver de la definición que , son funciones acotadas. Además, es fácil ver que dichas funciones son periódicas.

Seno y Coseno Circular Probar (usando argumentos geométricos): cos(-t) = cos(t) sen(-t) = -sen(t) cos(p/2 - t) = sen(t) sen(p/2 - t) = cos(t) cos(p/2 + t) = -sen(t) sen(p/2 + t) = cos(t) cos(p - t) = -cos(t) sen(p - t) = sen(t)

Seno y Coseno Circular Probar (usando argumentos geométricos): cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) sen(a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) cos(2t) = 2cos2(t) – 1 sen(2t) = 2cos(t)sen(t)

Seno y Coseno Circular Observemos que el área dirigida al doble del sector circular de ángulo t también es igual a t: Por área dirigida nos referimos a que si el punto se toma debajo del eje x, consideraremos el área como negativa.

Seno y Coseno Circular Por ello, pudimos haber definido el seno y el coseno como función del área, en vez de usar al ángulo como parámetro.

Seno y Coseno Hiperbólico Consideremos la Hipérbola Equilátera unitaria centrada en el origen: Para cada consideremos un punto de la hipérbola; sus coordenadas son (cosh t, senh t)

Seno y Coseno Hiperbólico Pregunta: ¿Cómo definir el parámetro t para que se cumplan las siguientes dos condiciones al mismo tiempo? La definición del parámetro sea una generalización natural del caso del seno y coseno circular. El parámetro t esté bien definido para todo número real.

Seno y Coseno Hiperbólico Probar que: cosh(-t) = cosh(t) senh(-t) = -senh(t) Probar, partiendo de la definición geométrica, que: Probar* que: Probar que:

Parámetros Observemos que la longitud de arco del sector circular de ángulo t también es igual a t: De nuevo, si el ángulo es negativo, consideraremos la longitud de arco como negativa.

Parámetros Ángulo Área Longitud de Arco

Seno y Coseno Lemniscático La “Lemniscata de Bernoulli” es el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de las distancias de dicho punto a los “focos” (-½ , -½) y (½, ½) es constante e igual a ½.

Seno y Coseno Lemniscático

Seno y Coseno Lemniscático Problema: Hallar la ecuación de la Lemniscata de Bernoulli En coordenadas cartesianas. En coordenadas polares. ¿En qué sentido se puede definir el seno lemniscático y el coseno lemniscático? ¿Qué propiedades tendría?