Ley de Gauss (Karl Friedrich Gauss 1777-1855) Es muy útil para calcular campos eléctricos de distribuciones de carga altamente simétricas. Flujo: A A

Densidad de partículas = r A Pasaron Ardx partículas en un tiempo dt Por unidad de tiempo pasaron Arv partículas, donde v es la velocidad de las partículas. Esto es lo que se llama el flujo: F = rvA.

Densidad de partículas = r dx dx v q q A A’= A cos q F A’ = rv A’ = r v A cos q = r v A . A es un vector perpendicular al área y su módulo es igual al área. Flujo de materia. Campo de velocidades v.

A Flujo para un campo vectorial arbitrario. Si F es un vector en un punto del campo y da es un vector representando un elemento de área en ese punto se define el elemento de flujo por: dF = F da . da F da A F F da

E da q r Flujo, a través de una superficie esférica, del campo eléctrico debido a una carga eléctrica q colocada en el centro: ∫ ∫ q . r ^ r ^ F = E da . = ke da = 4kep q r2

Angulo sólido dAR R dAR dAr dW = = r2 R2 dAr q r keq dFr = dAr r2 q keq R2 dAr = dFr dFR = dAR = ke r2 R2 R2

dA’ q dAR = dA’cos q dAR q

∫ dFA’= ke q R2 r ^ dA’ . = dA’ cos q k eq dAR = dFR El flujo a través de cualquier superficie que contenga a la carga q0 es el mismo. q2 q1 q0 ; E = E0 + E1 + E2 F = ∫ = E da . 4kepq0 + 4kepq1 + 4kepq2

∫ ∫ ∫ ∫ ∑ ∑ r( r ) dV F = 4p ke distribución continua de cargas i=1 N qi F = 4p ke distribución discreta de N cargas. E da . ∫ ∫ r( r ) dV 4p ke = Ley de Gauss ∑ i=1 N qi E da . ∫ = 4p ke

∫ ∫ ∫ z E r q q y R dEy dx dq ∞ p/2 l cos q l dq l dx ke ke cos q dq p/2 - q dx dq ∞ p/2 ∫ l cos q ∫ l dq l ∫ dx ke ke cos q dq Ey= ke = = R2 R r - ∞ - p/2 2ke l Rdq = x r Rdq = dx cos q r = R cos q

∫ > > E da . = 4ke p l L L = Er L 2p r = = 4kep l L 2ke l r =

Plano de carga no conductor + + + + + + + + + + + + + + A + + E E + + + + sA F = 2EA = eo s E = 2eo

Dos placas infinitas no conductoras cargadas uniformemente: y s ^ E = E1= 0 j eo E2 = 0 s -s

Conductor muy pequeño + + + + + E + d + + A + + + + F = EA = sA eo + + + + Justo fuera del conductor: Cargas en la superficie. Campo es nulo en el interior. Campo perpendicular a la superficie. Campo es mayor donde la curvatura es mayor. s E = eo

Aplicación de la ley de Gauss a aislantes cargados: P29 Considere una larga distribución de carga cilíndrica de radio R con densidad de carga uniforme r. Encuentre el campo eléctrico a a una distancia r < R del eje. L R E = r r 2eo r ^ r

∫ ∫ p r2 L r ^ ^ E da = E r da r = E 2p r L = eo ley de Gauss Nota: Hemos elegido una superficie donde E es constante y donde el campo es paralelo al elemento de área. Hemos hecho uso de la simetría del problema.

Carga eléctrica distribuida homogéneamente en una esfera de radio R. R

r i) Aplicando ley de Gauss:

ii) r

Cascarón esférico delgado de radio R afuera adentro

P53, P55

-Q 3Q a c b

i) ii) Interior del conductor

iii) iv)

a b c

no conductor cargado homogéneamente conductor descargado

i) Campo en r < a luego: ii) Campo en a < r < b iii) Campo en b < r < c interior del conductor

iv) Campo en r > c v) Densidad de carga superficial en el interior del conductor luego:

vi) Densidad de carga en la superficie exterior del conductor. Puesto que el conductor está descargado la carga total sobre esta superficie es luego:

P60 y Esfera no conductora con una cavidad y cargada uniformemente. r1 No hay campo gravitacional. a r a Campo en la cavidad esférica x 2a Ex = 0 ra Ey = 3eo

La cavidad es representada por dos esferas de cargas opuestas y de densidad r. Queda entonces una esfera completa de radio R= 2a con densidad de carga r y una esfera de radio a con densidad de carga –r. En el punto ; el campo de la esfera de radio R es: y el de la esfera de radio a es:

Aplicando el principio de superposición tenemos, para el campo dentro de la cavidad: pero luego,

Soltar desde el origen una masa con una carga positiva q.

Problema 3 Considere una esfera no conductora de radio 2a, con dos cavidades de radio a en su interior y cargada uniformemente con una densidad de carga r, como se muestra en la figura. Encuentre el campo eléctrico sobre el eje y.

Un hilo no conductor de radio 2R y longitud infinita tiene una cavidad Problema 7 Un hilo no conductor de radio 2R y longitud infinita tiene una cavidad paralela a su eje y desplazada una distancia R de su centro. Además se encuentra cargado uniformemente con densidad de carga r. Encuentre el campo en la cavidad y en el punto

Solución. Se trata de dos cilindros paralelos: uno de radio 2R centrado en 0 y otro de radio R centrado en +R. El primero tiene densidad de carga uniforme r y el segundo una densidad de carga uniforme –r. En la cavidad: En

P67 Una placa infinita de material aislante tiene una densidad de carga positiva uniforme r. y vista de canto Campo en este punto está en la dirección x. Aplicamos Gauss al cilindro A x x x r A x EA = eo r x ^ E = i eo