UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2 LÍNEA RECTA MTRO. JOSÉ SALVADOR BELTRÁN LEÓN

LÍNEAS RECTAS. Pendiente de una recta. Ángulo de inclinación. Ecuación de la recta para punto y pendiente. Ecuación general de la recta. Ecuación de la recta para pendiente y ordenada en el origen. Condición de paralelismo. Condición de perpendicularidad. Distancia de un punto a una recta.

1. PENDIENTE DE UNA RECTA. Pendiente: Es una inclinación. La pendiente de una recta que pasa por dos puntos es: m = tan  P2 (x2, y2) P1 (x1, y1)

1. PENDIENTE DE UNA RECTA. Ejemplo 1: La pendiente de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (7, 5) es: P2 (x2, y2) P1 (x1, y1)

1. PENDIENTE DE UNA RECTA. Ejemplo 2: La pendiente de la recta que pasa por los puntos (-5, 2) y (-5, 5) es: P2 (x2, y2) P1 (x1, y1)

1. PENDIENTE DE UNA RECTA. Ejemplo 3: La pendiente de la recta que pasa por los puntos (4, 3) y (1, 3) es: P1 (x1, y1) P2 (x2, y2)

2. ÁNGULO DE INCLINACIÓN. Si la pendiente de una recta es: m = tan  Entonces, el ángulo de inclinación  de la recta es:  = tan-1 m P2 (x2, y2) P1 (x1, y1) 

2. ÁNGULO DE INCLINACIÓN. Así, para el Ejemplo 1, el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (7, 5) es:  = tan-1 m  = tan-1(2/3)  = 33.69º  = 33º 41’ 24” P2 (x2, y2) P1 (x1, y1) 

2. ÁNGULO DE INCLINACIÓN. Para el Ejemplo 2, el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (-5, 2) y (-5, 5) es:  = tan-1 m  = tan-1   = 90º Ya que la recta es vertical. P2 (x2, y2) P1 (x1, y1)

2. ÁNGULO DE INCLINACIÓN. Para el Ejemplo 3, el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (4, 3) y (1, 3) es:  = tan-1 m  = tan-1 0  = 0º Ya que la recta es horizontal. P1 (x1, y1) P2 (x2, y2)

3. ECUACIÓN DE LA RECTA PARA PUNTO Y PENDIENTE. La ecuación de la pendiente de una recta, para un punto genérico P(x, y) y otro punto cualquiera que sea P1 (x1, y1) es: Eliminando el denominador, despejando de la misma tenemos:

3. ECUACIÓN DE LA RECTA PARA PUNTO Y PENDIENTE. La ecuación Se conoce como “ecuación de la recta para punto y pendiente”. Donde: m: pendiente de la recta (x1, y1): es un punto cualquiera

4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. Si en la ecuación se sustituye la pendiente “m” y un punto P(x1, y1), se obtiene una ecuación de la forma Ax + By + C = 0, la cuál se conoce como Ecuación General de la Recta. Donde: A: coeficiente de “x” B: coeficiente de “y” C: término independiente

4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. Ejemplo 4: Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto A(3, 7) y B(-2, 1). La pendiente es: Sustituyendo el punto (3, 7) y la pendiente 6/5 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:

4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. m=6/5, P(3, 7) Igualando a “cero”: Luego, la ecuación general de la recta es: 6x – 5y + 17 = 0 A=6, B=-5, C=17

4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. Ejemplo 5: Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto C(-2, 7) y D(4, -3). La pendiente es: Sustituyendo el punto (4, -3) y la pendiente -5/3 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:

4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. m=-5/3, P(4, -3) Igualando a “cero”: Luego, la ecuación general de la recta es: 5x + 3y - 11 = 0 A=5, B=3, C=-11

4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. Ejemplo 6: Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto E(1, 6) y F(-3, -4). La pendiente es: Sustituyendo el punto (1, 6) y la pendiente 5/2 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:

4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. m=5/2, P(1, 6) Igualando a “cero”: Luego, la ecuación general de la recta es: 5x – 2y + 7 = 0 A=5, B=-2, C=7

4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. Ejemplo 7: Encontrar la ecuación general de la recta que pasa por el punto G(-5, 4) y H(3, 0). La pendiente es: Sustituyendo el punto (3, 0) y la pendiente -1/2 en la ecuación de la recta para “punto y pendiente” y desarrollando operaciones elementales tenemos:

4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. m=-1/2, P(3, 0) Igualando a “cero”: Luego, la ecuación general de la recta es: x + 2y - 3 = 0 A=1, B=2, C=-3

4. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. Si ya se conoce la pendiente “m” y el punto, se sustituyen directamente en la ecuación de la recta para “punto y pendiente”.

5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b. Si de la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 despejamos “y”: Obtenemos: (0, b)

5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b. Que tiene la forma y = m x + b Donde: (0, b)

5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b. Por lo tanto, si conocemos la ecuación general de la recta A x + By + C = 0, podemos calcular su pendiente “m” y su ordenada en el origen. Esto es, que el punto P(x1 , y1) es P(0,b) donde x1 = 0 y y1 = b. (0, b)

5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b. Ejemplo 8: De la recta 6x-5y+17=0 A=6, B=-5 y C=17. Luego: (0, 17/5)

5. ECUACIÓN DE LA FORMA y = m x + b. Ejemplo 9: De la recta 5x + 3y -11 = 0, A=5, B=3 y C=-11. Luego: (0,11/3)

6. CONDICIÓN DE PARALELISMO. Sean L1 y L2 dos rectas paralelas y 1 y 2 sus ángulos de inclinación como se muestra en la figura. L2 L1 Luego: 2 = 1 Tan 2 = Tan 1 m2 = m1 2 1

6. CONDICIÓN DE PARALELISMO. Ejemplo 10: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, -2) y es paralela a la recta 5x - 2y + 7 = 0. L1: 5x – 2y + 7 = 0 L2: pasa por (3, -2) y es paralela a L1. L1 L2

2.6 CONDICIÓN DE PARALELISMO. De la ecuación de la recta 5x - 2y + 7 = 0, podemos calcular “m” como sigue: Pero: m2 = m1=5/2 y P(3, -2) L1 L2

2.6 CONDICIÓN DE PARALELISMO. m2 = m1=5/2 y P(3, -2) Luego, sustituyendo en Obtenemos L2: 5x – 2y – 19 = 0 L1 L2

2.6 CONDICIÓN DE PARALELISMO. Ejemplo 11: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2, 1) y es paralela a la recta x + 2y - 3 = 0. L1: x + 2y - 3 = 0 L2: pasa por (-2, 1) y es paralela a L1. L2 L1

6. CONDICIÓN DE PARALELISMO. De la ecuación de la recta x + 2y - 3 = 0, podemos calcular “m” como sigue: Pero: m2 = m1=-1/2 y P(-2, 1) L2 L1

6. CONDICIÓN DE PARALELISMO. m2 = m1=-1/2 y P(-2, 1) Luego, sustituyendo en Obtenemos L2: x + 2y = 0 L2 L1

7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD. Sean L1 y L2 dos rectas perpendiculares y 1 y 2 sus ángulos de inclinación como se muestra en la figura. L1 L2 Luego: 2 = 1+90º Tan 2 = Tan (1+90º) m2 = -1/m1 2 1

7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD. Ejemplo 12: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 1) y es perpendicular a la recta 3x–2y+5=0. L1: 3x-2y+5=0 L2: pasa por (2, 1) y es perpendicular a L1

7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD. De la ecuación de la recta 3x-2y+5=0, podemos calcular “m” como sigue: Pero: P(2, 1) y

7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD. m2 = -2/3 y P(2,1) Luego, sustituyendo en Obtenemos: L2: 2x+3y-7=0

7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD. Ejemplo 13: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-3) y es perpendicular a la recta 3x+5y-1=0. L1: 3x+5y-1=0 L2: pasa por (2,-3) y es perpendicular a L1

7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD. De la ecuación de la recta 3x+5y-1=0, podemos calcular “m” como sigue: Pero: P(2,-3) y

7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD. m2 = 5/3 y P(2,-3) Luego, sustituyendo en Obtenemos: L2: 5x-3y-19=0

7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD. Ejemplo 14: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 1) y es perpendicular a la recta que pasa por el punto (3, 4) y (-2,-1). L1: pasa por (3, 4) y (-2,-1) L2: pasa por (2, 1) y es perpendicular a L1

7. CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD. La pendiente de la recta que pasa por (3, 4) y (-2,-1) es: Pero: Luego, sustituyendo m2 = -1 y P(2, 1): Obtenemos la ecuación: x+y-3=0

8. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. Para encontrar la distancia d de un punto (x1, y1) a una recta L, se traza la recta L1 paralela a L y que pase por el punto (x1, y1). La ecuación es: El signo del radical debe ser opuesto al de C. Y L1 L (x1, y1) d X

8. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. Ejemplo 15: Encontrar la distancia d desde la recta 8x+15y-24=0 al punto (-2,-3). Sustituimos los coeficientes de A, B y C en la ecuación: Enseguida la coordenada del punto: Como d es negativo, el origen y el punto están al mismo lado de la recta.

8. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. Ejemplo 16:Encontrar la distancia d desde la recta 6x-8y+5=0 al punto (-1, 7). Sustituimos los coeficientes de A, B y C en la ecuación: Enseguida la coordenada del punto: Como d es positivo, el origen y el punto están en distinto lado de la recta.

FIN