Ecuación de Navier-Stokes Por: Andrés Felipe Hernández Marulanda. IEO andresfelipeh@gmail.com

Conceptos Generales La ecuación de momentum de un fluido isotrópico Newtoniano es obtenido sustituyendo el tensor de Stokes en la ecuación de momentum. [1.41] [1.16]

Ecuaciones para el desarrollo [1.9] [1.18] [1.37]

[1.43] Donde representa el operador Laplaciano La ecuación de Navier Stokes se forman mesclando la ecuación de masa [1.14] y la ecuación de momentum [1.43]. [1.14]

Si la viscosidad es despreciada lo que corresponde a la ecuación de fluido no viscoso, se puede reducir a las ecuaciones de Euler. Por el otro lado, los términos inerciales pueden ser reacomodados para obtener dos ecuaciones equivalentes de interés. La primera sería: [1.44]

El lado derecho de esta ecuación, puede ser establecido utilizando dos identidades vectoriales: [1.45] [1.46] …….por favor mirar al tablero

Resolviendo completamente la ecuación, se llega a [1.49] Donde el lado derecho de la ecuación permite fraccionar los términos inerciales no lineales en componentes derivadas de un potencial y un rotacional. El posterior es expresado usualmente en términos del vector de vorticidad

[1.50] Como representa una rotación infinitesimal del continuo la presencia de esfuerzos tangenciales viscosos es necesaria para producir, o destruir vorticidad. Como corolario , la dinámica de fluidos no viscosos trata con fluidos potenciales solamente. Los fluidos potenciales son descritos convenientemente en términos del potencial de velocidad como : [1.51]

concluyendo La no linealidad surge en el término de flujo másico de la ecuación de masa debido a la compresibilidad del fluido. Esto también surge en la ecuación de momentum como consecuencia del flux tensorial de momentum. El orden diferencial superior ocurre en el operador viscoso. En consecuencia, cuando la viscosidad es despreciada, el orden diferencial de la ecuación de momentum es menor y también el número de condiciones de frontera que lo satisfacen.

La no linealidad del flux tensorial de momentum, combinada con el alto orden diferencial del operados viscoso, resulta en una extraordinaria complejidad de la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes. Concretamente, si la magnitud del campo de velocidad del fluido es suficientemente bajo, la solución es un fluido laminar, que puede ser analizado como un proceso determinístico. Pero tan rápido como la velocidad se haga suficientemente grande, el régimen laminar se vuelve inestable y el fluido se vuelve extraordinariamente complejo, generándose la presencia de fluctuaciones

Prácticamente en cualquier escala temporal y en cualquier espacio Prácticamente en cualquier escala temporal y en cualquier espacio. Este fenómeno se llama turbulencia Como en el caso de modelado de estructuras, los problemas de fluidos complejos pueden ser simulados utilizando 1D o 2D formulaciones realizando algunas simplificaciones.

1.3 aproximaciones lineales de las ecuaciones de fluidos En muchas aplicaciones descritas , las oscilaciones del fluido sobre un estado estático son de pequeñas magnitudes, se asume que las ecuaciones pueden ser linealizadas sobre un estado de equilibrio estático. Esto simplifica el problema de resolver las ecuaciones de fluidos. Puede ser tomado con seguridad que los efectos viscosos son despreciados . El cuidado se presenta cuando se modela la disipación viscosa especialmente en la oscilación de “bluff bodies” en un fluido externo, debido a que la separación de la frontera

Puede ocurrir incluso en pequeñas velocidades de oscilación.

1.3.1.1 Ecuaciones lineales de Navies-Stokes En orden de analizar las pequeñas oscilaciones de un fluido sobre un estado de reposo, es conveniente separar primero las componentes estáticas y las fluctuantes del campo de variables [1.52]

La presión estática está gobernada por la ecuación de equilibrio [1 La presión estática está gobernada por la ecuación de equilibrio [1.53] Las pequeñas oscilaciones del fluido son gobernadas por las ecuaciones: [1.54]

1.3.1.2 Ecuaciones lineales de Euler Para discutir las propiedades básicas del sistema [1.54] es conveniente realizar las siguientes simplificaciones: El interés esta puesto en las propiedades de respuesta del fluido, esto es en el lado izquierdo de las ecuaciones dinámicas. Como consecuencia los términos de fuente externa presentados en la ecuación de masa [1,14] y en la ecuación de momentum [1.16] se asumen a cero. Descartar la viscosidad del fluido es conveniente desde un punto de vista matemático y suficiente para explicar

Muchos de los aspectos físicos de la oscilación del fluido sobre el estado inactivo, excepto la disipación viscosa. Por tanto el fluido se asume como no viscoso. La variación de algunas variables por se fluido no homogéneo no se maneja en este libro, pues las presentaciones realizadas son esencialmente restringidas para el caso de fluidos homogéneos

Muchos de los aspectos físicos de la oscilación del fluido sobre el estado inactivo, excepto la disipación viscosa. Por tanto el fluido se asume como no viscoso. La variación de algunas variables por se fluido no homogéneo no se maneja en este libro, pues las presentaciones realizadas son esencialmente restringidas para el caso de fluidos homogéneos