Ej. Apatía, irresponsabilidad Introducción a la Derivada Antes de iniciar, es importante reflexionar… Dónde estoy, y a dónde voy? Dominio del Cálculo Diferencial Lo que yo quiero lograr!! Fuerzas externas que atacan acciones a tomar Tácticas y Posición actual Dónde estoy? Ej. Apatía, irresponsabilidad distracciones, etc.

Cálculo Diferencial Unidad 3. La derivada Introducción a la Derivada Recordemos el camino trazado… Unidad 1. Límite Cálculo Diferencial Unidad 2. Continuidad Unidad 3. La derivada Unidad 3. La derivada Ya analizamos funciones… También limites de funciones… Y el tema que iniciamos hoy es…. Unidad 4. Integrales Pero, antes de iniciar veamos una simple pregunta…

Qué es una derivada? veamos un ejemplo... Introducción a la Derivada “La pregunta del millón…” Qué es una derivada? ( un minuto de silencio…) veamos un ejemplo...

Qué es una derivada? “La pregunta del millón…” MUY BIEN!! ….. Pero…….. Introducción a la Derivada “La pregunta del millón…” Si tenemos una función definida por La mayoría contestaría: “su derivada es: ” MUY BIEN!! ….. Pero…….. Qué es una derivada? “memorizar términos matemáticos y no tener la mínima idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..” “las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”

apliquemos lo anterior en una función.. Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en términos geométricos Recta tangente Recta secante “es una recta que intersecta un círculo en dos puntos” “es una recta que tiene un punto en común con un circulo” apliquemos lo anterior en una función..

Algunos conceptos básicos. Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en una función Función original

Algunos conceptos básicos. Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en una función Función original Recta secante

Algunos conceptos básicos. Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en una función Función original Recta tangente

Algunos conceptos básicos. Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. Sabemos que una de las características principales de una recta es su pendiente (m) En términos muy simples la pendiente de una recta es un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos sobre una recta!

Algunos conceptos básicos. Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta secante en la curva de una función es: Función original Recta secante

Algunos conceptos básicos. Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta tangente si solo conoce un punto? Recta tangente

Introducción a la Derivada Algo de historia. Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años, y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres, entre los que se encuentran : Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo Moderno, en 1684 propuso un método general para encontrar las tangentes a una curva a través de lo que el llamo símbolos. Cómo?

Introducción a la Derivada Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE Observe que si hacemos diversas aproximaciones de rectas secantes, podemos hacer una muy buena estimación de la Pendiente de la recta tangente Supongamos que deseamos conocer la pendiente de la recta tangente en X=1

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Introducción a la Derivada Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE Observa que el punto Cada vez se acerca más al punto Continuar Volver a mostrar Atajo

Introducción a la Derivada Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE Ahora, como expresar el comportamiento anterior en términos matemáticos?

Introducción a la Derivada Aprox. Procedemos a sustituir:

La derivada. Considerando: Procedemos a sustituir: Introducción a la Derivada La derivada. Considerando: Procedemos a sustituir:

Introducción a la Derivada Ahora Consideremos:

La derivada. Ahora recordemos el comportamiento Introducción a la Derivada La derivada. Ahora recordemos el comportamiento de las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuir Presiona para observar nuevamente el comportamiento (utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)

La derivada. Ahora recordemos el comportamiento Introducción a la Derivada La derivada. Ahora recordemos el comportamiento de las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuir Presiona para observar nuevamente el comportamiento (utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)

La derivada. lim Se puede observar que el punto cada vez se aproxima Introducción a la Derivada La derivada. Se puede observar que el punto cada vez se aproxima más al punto pero no llegará a tocarlo Podemos expresar lo anterior así: lim Analizando dicho comportamiento, procedemos a aplicar un límite así:

La derivada. lim Finalmente considerando lo siguiente: Introducción a la Derivada La derivada. Finalmente considerando lo siguiente: lim La expresión nos queda así:

La derivada. lim Finalmente considerando lo siguiente: Introducción a la Derivada La derivada. Finalmente considerando lo siguiente: lim La expresión nos queda así:

La Derivada La derivada. = lim Este límite (el cual genera otra Introducción a la Derivada La derivada. Este límite (el cual genera otra función), representa la pendiente de las diversas rectas tangentes a la gráfica de una función….. Y se le conoce comúnmente como: = La Derivada Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así: lim Por su origen basado en incrementos

Comprobemos lo anterior con Introducción a la Derivada La derivada. lim = Y precisamente por esta fórmula es que lo siguiente, ahora si, tiene sentido: Si tenemos una función definida por Entonces su derivada es: Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original Comprobemos lo anterior con una breve práctica..

Aplicación del límite obtenido…. Introducción a la Derivada Aplicación del límite obtenido…. Procederemos a la aplicación del límite deducido para obtener la derivada de la función: Recordemos que la derivada esta definida por el límite: Al evaluar el término se puede observar que: Al sustituirlo obtenemos:

Aplicación del límite obtenido…. Introducción a la Derivada Aplicación del límite obtenido…. Al desarrollar el binomio al cuadrado obtenemos: Reduciendo términos: Aplicando los teoremas sobre límites tenemos lo siguiente:

Y gracias al desarrollo del límite anterior podemos Introducción a la Derivada Aplicación del límite obtenido…. Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que: Si tenemos una función definida por Entonces su derivada es: Y gracias al desarrollo del límite anterior podemos generalizar su aplicación en diversas funciones, tal como se muestra en la siguiente tabla:

Ahora apliquemos la derivada para obtener Tomada de “El Cálculo” por Louis Leithold Ahora apliquemos la derivada para obtener las pendientes de las rectas tangentes

Representación gráfica de: La función que representa su derivada es:

Representación gráfica de: La función que representa su derivada es: Suponga que deseamos conocer la pendiente de la recta tangente mostrada Al sustituir en la derivada el valor de X: Observe que:

localizadas en la gráfica de una función Representación gráfica de: La función que representa su derivada es: De esta manera podemos obtener las pendientes de diversas rectas tangentes localizadas en la gráfica de una función

localizadas en la gráfica de una función Representación gráfica de: La función que representa su derivada es: De esta manera podemos obtener las pendientes de diversas rectas tangentes localizadas en la gráfica de una función