ESTUDIAR MATEMÁTICAS EN EL AULA Una mirada hacia algunas cuestiones 2010 - 2011 www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

OBJETIVOS DEL CURSO Promover el trabajo matemático desde situaciones problemáticas, por medio del debate y el análisis de los procedimientos de los alumnos y docentes; Incentivar la organización de un trabajo en conjunto acerca del estudiar matemáticas por medio de la resolución de problemas; Formar equipos de trabajo docente donde se pueda estimular a la investigación de los contenidos que se desarrollan en el aula; analizar los aportes que se hacen desde la didáctica y su influencia directa en los alumnos. www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

SEGUNDO CICLO 2011 TRAMO I: 9 DE MARZO 27 DE ABRIL 29 DE JUNIO 6 JORNADAS TRAMO I: 4 JORNADAS DE 8 Hs RELOJ CADA UNA 9 DE MARZO CARGA HORARIA: 105 Hs DIDACTICAS = 70 Hs RELOJ 27 DE ABRIL 32 Hs RELOJ - PRESENCIAL 29 DE JUNIO 20 Hs RELOJ - TUTORIA 31 DE AGOSTO 18 Hs RELOJ – NO PRESENCIAL TRAMO II: 2 JORNADAS DE 8 Hs RELOJ CADA UNA CARGA HORARIA: 22 DE SEPTIEMBRE 80 Hs DIDACTICAS = 53 Hs RELOJ 7 DE OCTUBRE 16 Hs RELOJ - PRESENCIAL 12 Hs RELOJ - TUTORIA 25 Hs RELOJ – NO PRESENCIAL www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

CRONOGRAMA DE LA JORNADA. 08:00 – 09:00 – PARTE 1: ANÁLISIS DE PROPUESTAS MATEMÁTICAS. OBSERVACIÓN Y EXPOSICIÓN DE CONTENIDOS MATEMÁTICOS. 09:00 – 10:30 – PARTE 2: OBSERVACIÓN DE UNA PELÍCULA. 10:30 – 10:45 – RECREO. 10:45 – 12:00 – ANÁLISIS DE LAS CUESTIONES EN LA PELÍCULA. CUESTIONES A ANALIZAR. 12:00 – 13:00 – RECREO. 13:00 – 15:00 – PARTE 3: ANÁLISIS MATEMÁTICO POR MEDIO DE LA GUIA DE PROBLEMAS: FUNCIONES . 15:00 – 16:00 – PROPUESTAS ABORDADAS EN CEPICH. 15:15 – 17:00 – PUESTA EN COMUN DE LOS APORTES DE LA JORNADA. www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

ENFOQUE ANTROPOLÒGICO (YVES CHEVALLARD) TEORÍA DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS (GUY BROUSSEAU) HACER SITUACIONES MATEMÁTICA www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

En la TSD, Brousseau parte de un modelo general del “conocimiento matemático” SABER MATEMÁTICA no es solamente saber definiciones y teoremas para conocer la ocasión de utilizarlos y de aplicarlos… es “ocuparse de problemas” en un sentido amplio que incluye encontrar BUENAS PREGUNTAS tanto como encontrar soluciones. Una buena reproducción, por parte del alumno, de la actividad matemática exige que éste intervenga en la actividad matemática, lo cual significa que formule enunciados y pruebe proposiciones, que construya modelos, lenguajes, conceptos y teorías, que los ponga a prueba e intercambie con otros, que reconozca los que están conformes con la cultura matemática y que tome los que le son útiles para continuar su actividad. www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

ENSEÑAR MATEMÁTICA se refiere entonces a crear las condiciones que producirán la apropiación del conocimiento por parte de los alumnos. El docente no puede responsabilizarse del aprendizaje de los alumnos, no puede obligarlos desde afuera, pero sí debería garantizar que con las condiciones que organizó para el aprendizaje, los alumnos pueden aprender. www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

Se puede plantear un sistema de ecuaciones: DEVOLUCIÓN Consiste, no solamente en presentar al alumno la actividad (consigna, regla, finalidad…) sino también en hacer de tal forma que los alumnos se sientan responsables, en el sentido del conocimiento y no de culpa, del resultado que debe encontrar. PROBLEMA: Dos números A y B sumados dan por resultados 147; A es el doble de B. ¿Cuánto vale A y cuánto vale B? Se puede plantear un sistema de ecuaciones: A + B = 147 A = 2B Alumno: 2 + A + B = 147 Prof. : No me esta gustando nada ese 2 Alumno: ¿No le gusta?.... No hay problemas, se lo borro… www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

El profesor debe lograr que los conocimientos sean para los alumnos una respuesta bastante natural, a condiciones relativamente particulares, condiciones indispensables para que tengan un sentido para él. Cada conocimiento debe nacer de la adaptación a una situación específica, ya que no se crea la probabilidad en un mismo tipo de contexto y de relaciones con el “medio” que aquéllos en los cuales se inventa o utiliza la aritmética y el álgebra. www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

En la VALIDACIÓN el alumno debe demostrar por qué el modelo que ha creado es válido. Pero para que el alumno construya una demostración y que ésta tenga sentido para él es necesario que la construya en una situación, llamada validación, en la que debe convencer a alguna otra persona. Ejemplo: Alumno 1: (hablándole al docente)…. ¿estoy haciendo bien, profe? Profesor: No sé Alumno 2: (hablándole al Alumno 1)… Si te da 20 estás haciendo bien www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

HALLA, SI ES POSIBLE, UN NÚMERO ENTERO QUE MULTIPLICADO POR - 3 DÉ 3. CUESTIONES MATEMÁTICAS: HALLA, SI ES POSIBLE, UN NÚMERO ENTERO QUE MULTIPLICADO POR - 3 DÉ 3. Para resolver el planteo se necesita un número m tal que 3 x m = 3. Una primera opción para analizar es m = 1. Pero - 3 x 1 representa una vez – 3, por lo tanto - 3 x 1 = 3. www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

- 3 + (-3) x (-1) = 0 Se usa que – 3 x 1 = - 3 El siguiente razonamiento permite encontrar el número pedido usando propiedades válidas en el conjunto de números naturales y enteros: - 3 x 0 = 0 Cualquier número multiplicado por cero da cero. - 3 x (1 + (-1)) = 0 La suma de un número y su opuesto es 0. 3 x 1 + (-3) x (-1) = 0 Propiedad distributiva del producto respecto de la suma. - 3 + (-3) x (-1) = 0 Se usa que – 3 x 1 = - 3 - 3 x (-1) = 0 Como – 3 es el opuesto de 3, entonces también debe ser el opuesto de (- 3) x (- 1) ya que al sumarlos se obtiene 0. como el opuesto es único, 3 debe ser igual a (-3) x (-1).

Con este razonamiento podemos concluir que si a cualquier número entero lo multiplicamos por – 1 obtenemos su opuesto. Es decir, si a es un número entero: a x (- 1) = - a

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA PROBABILIDAD Y ESTADISTICA Ñ O CURRICULARES NAP EGB 3: NUMEROS Y OPERACIONES ALGEBRA Y FUNCIONES GEOMETRIA Y MEDIDA PROBABILIDAD Y ESTADISTICA POLIMODAL: CONJUNTOS NUMERICOS FUNCIONES PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

CONTENIDOS MATEMATICOS 7mo - EGB 3 www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

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8vo - EGB 3 www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

9no - EGB 3 www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

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1er AÑO - POLIMODAL > FUNCIONES. > FUNCIONES LINEALES. > FUNCIONES Y ECUACIONES LINEALES. > SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. > FUNCIONES CUADRÁTICAS www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

2do AÑO - POLIMODAL > FUNCIONES CUADRÁTICAS. > FUNCIONES POLINÓMICAS: - F(x) = x ^ 2 - Transformación de Gráficas y Fórmulas. - Factorización de fórmulas de funciones polinómicas - División de un polinomio por polinomio de grado 1 > FUNCIONES RACIONALES. www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

2do AÑO - POLIMODAL > FUNCIONES CUADRÁTICAS. > FUNCIONES POLINÓMICAS: - F(x) = x ^ 2 - Transformación de Gráficas y Fórmulas. - Factorización de fórmulas de funciones polinómicas - División de un polinomio por polinomio de grado 1 > FUNCIONES RACIONALES. www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

3er AÑO - POLIMODAL > FUNCIONES EXPONENCIALES. > FUNCIONES LOGARÍTMICAS. > FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

GUÍAS DE PROBLEMAS ¿Qué temas se están estudiando en esta guía de Analizar las posibles estrategias de los alumnos y las que el docente puede determinar. Analizar qué es lo que necesitan los alumnos para abordar estos temas. Determinar el posible año de escolarización para presentar estas guías. Analizar el tiempo posible para tratar estos problemas en el aula. www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

PROBLEMA 1. Sin hacer la división y sin usar criterios de divisibilidad, determinen si el número 534484 tiene resto 4 al ser dividido por 8. 534 484 = 534 000 + 480 + 4 Descomponemos el número 534 484 = 534 x 1000 + 480 +4 Dado que 534 000 = 534 x 1000 534 484 = 534 x 125 x 8 + 60 x 8 +4 Porque 1000 = 125 x 8 y 480 = 60 x 8 Al ser los dos múltiplos de 8 la suma de ellos también será múltiplo de 8 534 x 125 x 8 es un múltiplo de 8 60 x 8 es un múltiplo de 8 Por lo tanto 534 484 supera en 4 unidades a un múltiplo de 8, por lo que tiene resto 4 al ser dividido por 8 www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

¿POR QUÉ SE DESCOMPUSO AL 534 484? PORQUE LA DESCONPOSICIÓN NOS PERMITIÓ PONER EN EVIDENCIA LAS RELACIONES QUE NECESITÁBAMOS ANALIZAR. CUALQUIER FORMA DE DESCOMPONER EL NÚMERO DONDE APAREZCAN MÚLTIPLOS DE 8 ES ÚTIL. 534 484 = 5 x 100 000 + 3 x 10 000 + 4 x 1000 + 4 x 100 + 8 x 10 + 4 534 484 = 5 x 12 500 x 8 + 3 x 1250 x 8 + 4 x 125 x 8 + 4 x 2 x 50 +8 x10 + 4 534 484 = 8 x 5 x 12500 + 8 x 3 x 1250 + 8x 4 x 125 + 8 x 50 + 8 x 10 + 4 www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

a) Relación de la división: D = d x c + r PROBLEMA 2. Encuentren un número que tenga cociente 12 y resto 7 al ser dividido por 15. ¿Cuántos números hay que verificar esa condición? b) Encuentren números que tenga cociente 12 al ser dividido por 15. ¿Cuántos números hay que verifican esa condición? c) Encuentren un número que, al ser dividido por otro, tenga resto 12 y cociente 15. ¿Cuántos números hay que verifican esa condición? a) Relación de la división: D = d x c + r D = 15 x 12 + 7 = 187 COMO SE ENCONTRÓ UN ÚNICO VALOR AL REEMPLZAR LOS DATOS, HAY UNA ÚNICA DIVISIÓN QUE CUMPLE CON LAS CONDICIONES ESTABLECIDAS. www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

b) Al saber que c = 12 y d = 15 Como el divisor es 15 el resto puede variar de 0 a 14 Si r = 0, D = 15 X 12 + 0 = 180 Si r = 1, D = 15 x 12 + 1 = 181 Si r = 2, D = 15 X 12 + 2 = 182 … Si r = 14, D = 15 X 12 + 14 = 194 www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

Los números entre 180 y 194 tienen cociente 12 al ser divididos por 15 Los números entre 180 y 194 tienen cociente 12 al ser divididos por 15. Hay 15 divisiones posibles. Si se analizan las soluciones en la recta numérica puede verse que son los números desde 15 x 12, incluido, hasta 15 x 13 sin incluir. www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

c) c = 15 y r = 12, entonces: D = d x 15 + 12 Como el divisor debe ser mayor que el resto, d puede tomar cualquier valor mayor o igual que 13. En este caso hay infinitas soluciones. www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

Una recta numérica es una buena herramienta para hacer el análisis. PROBLEMA 3. Un número A tiene resto 3 al ser dividido por 8. ¿Qué número hay que sumarle para que el resto del nuevo número al ser dividido por 8 sea 1? ¿Hay una única solución? Una recta numérica es una buena herramienta para hacer el análisis. Los múltiplos de 8 pueden expresarse como el producto entre 8 y un número natural, 8 x n, y que hay 8 unidades entre dos múltiplos consecutivos de 8. www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

Al agregar una unidad más, se encuentra Se puede ver que si al número 8 x n + 3 se le suman 5 unidades se llega al múltiplo siguiente de 8, 8 x n + 8. Al agregar una unidad más, se encuentra el número 8 x n 8 + 1, que tiene resto 1 al ser dividido por 8. ¿Cómo podemos estar seguro si no sabemos cuánto vale n? Porque como 8 x n y 8 son múltiplos de 8, 8 x n + 8 es múltiplo de 8. Al agregarle 1 se obtiene un número que supera en una unidad a un múltiplo de 8. www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

¿Será la única respuesta posible? NO. Porque si al número obtenido le sumamos 8 vamos a obtener 8 x n + 8 + 8 + 1, que también tiene resto 1 al ser dividido por 8. Lo mismo ocurre si al número inicial se le suma cualquier múltiplo de 8. POR LO TANTO HAY INFINITAS SOLUCIONES También es posible demostrarlo de manera general: 8 x n + 3 + 5 + 1 + 8 + p = 8 x n + 8 + 8 x p + 1 8 x n + 8 + 8 x p + 1 es una unidad mayor que un múltiplo de 8, y por lo tanto, tiene resto 1 www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

PROBLEMA 4. Si b es un número natural, ¿cuáles son los valores de b que verifican que el número 5 x ( 2 x b + 1) sea un número par? Para comenzar se puede reemplazar a b por distintos números y analizar que sucede Si b = 1 5 x (2 x b + 1) = 5 x ( 2 x 1 + 1) = 5 x 3 = 15 No es par Si b = 2 5 x (2 x b + 1) = 5 x ( 2 x 2 + 1) = 5 x 5 = 25 Si b = 3 5 x (2 x b + 1) = 5 x ( 2 x 3 + 1) = 5 x 7 = 35 www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

¿Será cierto que 2 x b + 1 es siempre un número impar? Al seguir reemplazando se ve que el número que multiplica a 5 es impar y por lo tanto el resultado también. Pero esta afirmación no asegura que sea así para cualquier valor numérico por el que se reemplace a b. ¿Será cierto que 2 x b + 1 es siempre un número impar? ¿Es posible encontrar una explicación que sirva para todos los valores posibles de b? El análisis de la expresión que interviene en el producto va a permitir llegar a la conclusión. www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

Trabajo Práctico N° 3 www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com PARTE I – Grupal: 3 Integrantes. Analizar e Implementar una Guía de Problemas de FUNCIONES LINEALES (desde el 1 hasta el problema 8 inclusive) a tres alumnos, teniendo en cuenta lo siguiente: a) Detallar el año en el que se puede llevar a cabo. b) Establecer tiempos en los cuales los alumnos van a resolver los problemas. Por ejemplo, 4 encuentros de 30 min.b) Resolver, detalladamente, cada uno de los problemas. c) Mostrar cómo los alumnos van resolviendo los problemas y sus distintas cuestiones planteadas. d) Describir cuáles son dificultades que los alumnos plantean al ir resolviendo la Guía. e) Establecer cuáles podrían ser, dentro de la Guía, los problemas que presentarían mayores dificultades a los alumnos a la hora de resolverlos. f) Registrar y escribir los diálogos en las intervenciones de los alumnos y de los profesores en la resolución de los problemas. Seleccionar párrafos que consideren importantes comentarlos. ESTE TRABAJO DEBE SER “SUBIDO” EN EL AULA VIRTUAL HASTA EL 4to ENCUENTRO, EL MIÉRCOLES 31 DE AGOSTO. www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com

1) Participar de los FOROS. Comentar en el debate que se establece. PARTE II – Individual 1) Participar de los FOROS. Comentar en el debate que se establece. Recorrer el Aula y resolver las actividades. . 2) Resolver las siguientes cuestiones matemáticas: a) Analizar que contenidos matemáticos se están tratando en la película “El Cubo”. b) Plantear si es posible trabajar en el aula con este material. c) Pensar y analizar qué preguntas matemáticas responde el planteo de la película 3) CON UNA HOJA SE ARMAN DOS CILINDROS, TENIENDO COMO EJE DE GIRO EL ANCHO DE LA HOJA EN UN CASO Y EL LARGO EN OTRA. ESTUDIAR EL VOLUMEN DE AMBOS CILINDROS. www.estudiarmatematicasenelaula.ecaths.com