VARIOGRAMA

VARIOGRAMA EXPERIMENTAL VARIOGRAMA TEÓRICO Contenido VARIOGRAMA EXPERIMENTAL VARIOGRAMA TEÓRICO Propiedades básicas Definición Estudio de modelos de variograma Cálculo a partir de los datos Características básicas Definición Ajuste de modelos de variograma

Variograma Teórico-Definición Es una herramienta que permite analizar el comportamiento espacial de una propiedad o variable sobre una zona dada Detectar direcciones de anisotropía Ejemplo: Zonas de influencia y su extensión (correlación espacial) Variabilidad con la distancia

Variograma Teórico-Definición Continuidad espacial B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5 3 7 9 8 2 4 6 MEDIA = 5 VARIANZA=50/9 HISTOGRAMAS IGUALES

Variograma Teórico-Definición Continuidad espacial

Variograma Teórico-Definición Continuidad espacial

Variograma Teórico-Definición Curva de proporción vertical Unidad 2 Unidad-5 Unidad 1 Unidad-4

Variograma Teórico-Definición Curva de proporción vertical

Variograma Teórico-Definición es estacionaria o intrínseca Si

Variograma Teórico-Características Valor promedio de la diferencia al cuadrado de los valores de la propiedad en dos puntos separados por una distancia |h| es independiente de la localización x depende del módulo y de la dirección del vector h

Variograma Teórico-Características Detección de características que varían según la dirección y la distancia

Variograma Teórico-Características

Variograma Experimental-definición Variograma Experimental Variograma Teórico Variograma Experimental

Variograma Experimental-definición Coordenadas estratigraficas La correlación espacial se debe calcular dentro de la misma unidad estratigráfica

Variograma Experimental-obtención Se escoge una dirección Se escoge una distancia o lag h Se calcula para valores de h,2h, 3h,...,nh Se grafica versus los valores h,2h, 3h,...,nh

Variograma Experimental-obtención Datos Igualmente espaciados: h

Variograma Experimental-obtención Datos Igualmente espaciados: h

Variograma Experimental-obtención Datos Irregularmente espaciados: Puede ocurrir que no existan valores de la variable a la distancia h Puede ocurrir que no existan valores de la variable en la dirección

Variograma Experimental-distancia Clases de distancia: Para cada lag h se define una tolerancia y se utilizan únicamente los puntos que se encuentran a una distancia mayor o igual a y menor que h 2h 3h

Las clases de distancia no se superponen Variograma Experimental-distancia Clases de distancia: El valor de se escoge como el 50% del valor del lag h. De esta forma: Las clases de distancia no se superponen No hay valores de la variable fuera de una clase de distancia

Variograma Experimental-distancia 1.2 2.4 2.8 4.9 1 2 3 4 5 6 1.2 2.4 2.8 4.9 1.2 2.4 2.8 4.9

Variograma Experimental-distancia

Variograma Experimental-dirección Clases de dirección : Para cada dirección se define una tolerancia y se utilizan únicamente los puntos que se encuentran entre las direcciones y

Variograma Experimental-dirección puntos descartados puntos aceptados

Variograma Experimental-dirección puntos aceptados puntos descartados b = ancho de banda

Variograma Experimental-distancia & dirección clase de distancia h h 2h 3h clase de distancia 2h clase de distancia 3h z(x)

Variograma Experimental-obtención

Variograma Experimental-obtención Valor del lag h Número n de lags Valor de y n: Cuando se calcula el variograma sobre un dominio D se escoge n de forma tal que: n*h < | D | / 2 h: Distancia promedio entre los pozos A partir del variogram cloud A partir del variograma omnidireccional Se escoge como la dirección de anisotropía de la variable. Se puede obtener a partir de: Información geológica, petrofísica, etc Mapa de variograma :

Variograma Experimental-lag Lag h muy grande 1.2 2.4 2.8 4.9 Lag h pequeño, n muy grande 1.2 2.4 2.8 4.9 Lag h adecuado, valor de n ?

Variograma Experimental-lag

Variograma Omnidireccional: Es aquel que no depende de la dirección Se obtiene al escoger la tolerancia angular de forma tal que las direcciones y sean opuestas y perpendiculares a la dirección Se puede pensar como el promedio del variograma experimental en todas las direcciones posibles

Variograma Omnidireccional Variograma direccional Variograma omnidireccional

Variogram Cloud Variogram Cloud: Al graficar el valor de los pares versus la distancia se obtiene el variogram cloud

Permite detectar valores atípicos o cambios bruscos Variogram Cloud Variogram Cloud: Permite detectar valores atípicos o cambios bruscos Permite escoger un valor inicial del lag Permite observar la dispersión alrededor del valor de

Variogram Cloud

Mapa de Variograma Mapa de Variograma : Es una herramienta que permite determinar las direcciones de anisotropía de la variable en estudio

Definir una malla (2n+1)*(2n+1) Mapa de Variograma Definir una malla (2n+1)*(2n+1) Definir el valor del lag h Asignar a cada bloque el valor de h

Mapa de Variograma

Variograma Experimental-tolerancia angular

CARACTERÍSTICAS BÁSICAS

Variograma-Características Básicas 1) RANGO Y SILL 2) COMPORTAMIENTO A PEQUEÑAS DISTANCIAS 3) COMPORTAMIENTO A GRANDES DISTANCIAS 4) ANISOTROPÍAS

Variograma-Rango & Sill Distancia a la cual el variograma se estabiliza Sill : Valor constante que toma el variograma en distancias mayores al rango

Variograma-Rango & Sill Si para una distancia dada d las variables Z(x) y Z(x+h) son no correlacionas entonces el variograma es constante Rango: Distancia a partir de la cual no hay correlación Sill: Varianza de la función aleatoria Z

Variograma-Rango & Sill

COMPORTAMIENTO A PEQUEÑAS DISTANCIAS Permite estudiar cuán rápido puede variar la variable en estudio a pequeñas distancias. Básicamente el variograma presenta las 4 formas siguientes: 1) DISCONTINUO 2) LINEAL 3) CUADRÁTICO 4) HÍBRIDOS

Comportamiento discontinuo Efecto pepita o nugget effect Puede ocurrir que para distancias cercanas a cero el valor del variograma no se aproxima a cero

Z(x) y Z(x+h) difieren mucho Comportamiento discontinuo Interpretación del nugget effect 1) Variable muy irregular a distancias cortas Z(x) y Z(x+h) difieren mucho no se aproxima a cero

Comportamiento discontinuo Interpretación del nugget effect 2) Errores de medición en las variables

Comportamiento discontinuo Interpretación del nugget effect 3) presencia de estructuras o ausencia de valores en distancias inferiores a las que se tomaron las muestras

Comportamiento Lineal Comportamiento lineal Indica que para distancias pequeñas, el variograma tiene un comportamiento lineal. Representa variables continuas pero no diferenciables. Así, la propiedad puede cambiar rápidamente de un punto a otro.

Comportamiento Lineal Comportamiento lineal La variabilidad de la propiedad dependerá de la pendiente de la recta en el origen A mayor pendiente, mayor variabilidad A menor pendiente, menor variabilidad

Comportamiento Cuadrático Comportamiento Cuadrático Indica que para distancias pequeñas, el variograma tiene un comportamiento cuadrático. Representa variables sumamente continuas e infinitamente diferenciables. Así, la propiedad NO puede cambiar rápidamente de un punto a otro.

Comportamiento Híbrido Comportamiento Híbrido: Variación más suave a distancias cortas Variación más fuerte a distancias grandes Indica presencia de estructuras actuando a diferentes escalas

Comportamiento-grandes distancias VARIABLE NO ESTACIONARIA Comportamiento a grandes distancias : NO TODOS LOS VARIOGRAMAS POSEEN UN RANGO Y UN SILL FINITO INDICA LA PRESENCIA DE UNA DERIVA O DRIFT VARIABLE NO ESTACIONARIA

Comportamiento-grandes distancias Drift Estimación del variograma Variograma Teórico Sesgo

Comportamiento-grandes distancias D1=E-O D2=N-S

Anisotropía Geométrica Anisotropías Anisotropías : Generalmente cuando el variograma experimental es calculado en distintas direcciones presenta distintos comportamientos con la variación de la distancia. Anisotropía Geométrica Anisotropía Zonal Anisotropía Híbrida

Anisotropía Geométrica Anisotropía Geométrica : Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta el mismo sill pero rangos distintos Mayor continuidad espacial en la dirección de mayor rango Menor continuidad espacial en la dirección de menor rango

Anisotropía Geométrica

Anisotropía Geométrica

Anisotropía Zonal : Anisotropía Zonal Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta el mismo rango pero diferente sill Presencia de diferentes estructuras

Anisotropía Zonal

Anisotropía Híbrida : Anisotropía Híbrida Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta rangos diferentes y distintos sill. Presencia de diferentes estructuras Característico de variogramas horizontales y verticales

COMENTARIOS

COVARIANZA VS VARIOGRAMA El variograma se puede utilizar para modelar fenómenos no estacionarios y la covarianza no, por el desconocimiento de la media. Cuando la media es constante pero desconocida no se necesita para el cálculo del variograma, pero si para el de la covarianza. Si la función tiene varianza infinita (no estacionaria) la covarianza no está definida en 0, sin embargo el variograma si y es idénticamente nulo

Comentarios CORRELACIÓN VS VARIOGRAMA Fuente información 1 La correlación estadística usual es calculada a distancia cero (dos observaciones en el mismo punto del espacio) y puede no ser representativa El variograma toma en cuenta el espaciamiento y por lo tanto permite ”correlacionar espacialmente” Fuente información 2

Es un estadístico de 2 puntos Comentarios LIMITACIONES DEL VARIOGRAMA Es un estadístico de 2 puntos Utilizar técnicas multipuntos y reconocimiento de patrones

LIMITACIONES DEL VARIOGRAMA Comentarios LIMITACIONES DEL VARIOGRAMA Es extremadamente sensible a valores extremos 7 10 11 12 13 14 9 8 7 10 11 12 25 14 13 2 9 8

DEL VARIOGRAMA EXPERIMENTAL AL MODELO DE VARIOGRAMA

Ajustar POR QUE HAY QUE CONSTRUIR MODELOS DE VARIOGRAMA ? El variograma experimental no se puede evaluar en distancias o direcciones intermedias Una interpolación entre los puntos del variograma experimental no garantiza la existencia y unicidad de la solución del sistema de kriging La interpolación no satisface las condiciones que todo variograma debe satisfacer El variograma experimental no satisface las condiciones que todo variograma debe satisfacer

Variograma Teórico-propiedades LOS VARIOGRAMAS TIENEN PROPIEDADES ESPECIALES, CUALQUIER FUNCIÓN QUE DEPENDA DE LA DISTANCIA Y LA DIRECCIÓN NO NECESARIAMENTE ES UN VARIOGRAMA 1) 2) El variograma calculado en la dirección de h es igual al variograma calculado en la dirección de -h h -h

Variograma Teórico-propiedades 3) Todo variograma es una funcion definida positiva condicional Para cualquier n, cualesquiera puntos en el espacio y cualesquiera valores tales que se tiene que Esta propiedad permite calcular en forma consistente la varianza de combinaciones lineales de funciones aleatorias

Variograma Teórico-propiedades 4) Relación con la función de covarianza Para funciones aleatorias estacionarias se tiene que

Variograma Teórico-propiedades 4) Si es el variograma de una funcion aleatoria estacionaria o intrínseca entonces En particular para h suficientemente grande existe una constante c tal que Criterio para el comportamiento del variograma a grandes distancias Criterio para detectar un comportamiento no estacionario

Variograma Teórico-propiedades 4) Combinacion lineal de variogramas Si son modelos de variograma y son valores positivos entonces Permite modelar/ajustar las estructuras imbricadas (nested structures) Permite modelar la anisotropía zonal

Variograma Teórico-propiedades + =

Variograma Teórico-propiedades Modelar la anisotropía zonal

MODELOS DE VARIOGRAMA

Modelos de variograma isotrópicos más comunes: Modelo Efecto Pepita Puro Modelo Esférico Modelo Exponencial Modelo Gaussiano Modelo Cúbico Modelo Seno Cardinal Modelo Potencia

Modelo Efecto Pepita Puro Este modelo representa a un fenómeno completamente aleatorio, en el cual no hay correlación espacial No importa cuán cerca se encuentren los valores de las variables, siempre serán no correlacionados

Comportamiento lineal en el origen Modelo Esférico Rango s y sill a Comportamiento lineal en el origen Pendiente igual a Representa fenómenos continuos pero no diferenciables Es uno de los modelos de variograma más utilizados

Comportamiento lineal en el origen Modelo Exponencial Sill s que alcanza asintóticamente Rango aparente igual a a Rango experimental igual a 3a Comportamiento lineal en el origen Pendiente igual a Representa fenómenos continuos pero no diferenciables

Rango experimental igual a Modelo Gaussiano Sill s que alcanza asintóticamente Rango aparente igual a a Rango experimental igual a Comportamiento cuadrático en el origen Representa fenómenos continuos infinitamente diferenciables (sumamente continuos)

Comportamiento cuadrático en el origen Modelo Cúbico Rango a y sill s Comportamiento cuadrático en el origen Representa fenómenos bastante continuos

Comportamiento cuadrático en el origen Modelo Seno Cardinal Sill s que alcanza asintóticamente Rango aparente igual a a Rango experimental igual a 3a Comportamiento cuadrático en el origen Se utiliza para representar fenómenos continuos con periodicidades

s se denomina factor de escala Modelo Potencia s se denomina factor de escala El comportamiento en el origen depende del valor de p Representa fenómenos no estacionarios

DE MODELOS ISOTRÓPICOS A MODELOS ANISOTRÓPICOS

Modelo Anisotrópicos X Y Los ejes de anisotropía coinciden con los ejes de coordenadas Variograma isotrópico de sill 1 y rango 1 Variograma anisotrópico de sill s con rango en la dirección del eje X y rango en la dirección del eje Y

Es un variograma anisotrópico en la dirección Modelo Anisotrópicos X’ Y’ X Y Los ejes de anisotropía NO coinciden con los ejes de coordenadas 1) Transformar los puntos del sistema de coordenadas XY al sistema de coordenadas X’Y’ = matriz de rotación 3) Evaluar el variograma isotrópico en el resultado. Es un variograma anisotrópico en la dirección con eje mayor igual a y eje menor igual a 2) Proceder como antes para ajustar la longitud de los ejes de anisotropía = matriz para transformar las distancias

comportamiento espacial en conjunto VARIOGRAMA CRUZADO comportamiento espacial en conjunto

Variograma Cruzado Si Z, Y son funciones aleatorias estacionarias o intrínsecas, el variograma cruzado de ellas se define como : Para su estimación se utiliza el variograma cruzado experimental

Variograma Cruzado-propiedades 1) 2) 3) El variograma cruzado es una función simétrica 4) Relación con la función de covarianza cruzada

Variograma Cruzado-propiedades 4) Desigualdad de Hölder Consecuencias: El modelo de variograma cruzado no puede ser escogido independientemente de cada uno de los variogramas individuales El producto de cada uno de los sill de los variogramas individuales es mayor que el cuadrado del sill del variograma cruzado

Variograma Cruzado-propiedades 4) Modelo lineal de coregionalización Permite modelar en forma consistente el variograma cruzado y los variogramas individuales modelos de variogramas

VARIOGRAMA DE FUNCIONES INDICADORAS Modelando el comportamiento espacial de Facies

Funciones Indicadoras La función indicadora de la facies F se define como Si se considera la facies F como un conjunto aleatorio entonces su función indicadora es una función aleatoria que puede ser estacionaria o no. En lo sucesivo asumiremos que la función indicadora de F es estacionaria

Funciones Indicadoras 3) Relación con la función de covarianza Propiedades 1) 2) El sill de variogramas de funciones indicadoras no puede ser mayor a 0.5 3) Relación con la función de covarianza

Funciones Indicadoras 4) Desigualdad Triangular En particular Consecuencia : Un variograma con comportamiento en el origen de la forma no puede ser el variograma de una función indicadora

Funciones Indicadoras 5) Rango y Anisotropías R2 R1