''Jugando Con Sólidos Geométricos'' COLEGIO SANTA MARÍA MARIANISTAS WebQuest ''Jugando Con Sólidos Geométricos''   Integrantes: Pedro Pablo Arrese Alejandro Fiocco Juan Diego Mujica Felipe Palomares

Introduccion Alguna vez te has puesto a pensar y te has preguntado ¿que forma tiene una caja de galletas?, ¿y un tubo?, ¿y una pelota?, ¿y un lapicero?, ¿y un cono de helado?,... Todos los objetos que nos rodean son cuerpos. Tienen tres dimensiones: altura, ancho y espesor.

Estos ocupan un lugar en el espacio Estos ocupan un lugar en el espacio. Dentro de este mundo, hay una clase especial: Los sólidos geométricos. No creo que nunca hayas escuchado hablar de ellos. De hecho que te suenan los prismas, cubos o cilindros. Pero otros te preguntaras que son: tetraedro, octaedro,..., pero en el planeta en el que nos movemos vivimos rodeados y manipulando consecutivamente sólidos geométricos. 

Según las características de los elementos de los sólidos geométricos, se pueden clasificar en dos grandes grupos los poliedros y los cuerpos redondos … creo que me estoy adelantando. Eso lo veremos después.

Poliedros Los poliedros son sólidos cuyas caras son polígonos regulares. En los poliedros distinguimos: Vértices: puntos donde concurren tres aristas Aristas: lados de los polígonos regulares

Caras: polígonos regulares Además podemos fijarnos en: Ángulos planos: cuyos lados son dos aristas convergentes. Ángulos diedros: cuyas caras son dos polígonos adyacentes. Ángulos triedros: formados por tres caras convergentes en un vértice.

Tipos de Poliedros Poliedro convexo: si todo él está en el mismo semiespacio respecto al plano de cada una de sus caras. Poliedro cóncavo: es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa a la figura. Poliedro simple: es el que no tiene orificios que lo atraviesen. En todo poliedro simple se cumple el teorema de Euler.

Teorema De Euler Teorema que relaciona el número de caras, vértices y aristas de un poliedro simple (sin orificios) cualquiera. Establece lo siguiente: en un poliedro simple, el número de caras, C, más el número de vértices, V, es igual al número de aristas, A, más dos. Es decir: C + V = A + 2

Propiedad En un vértice pueden concurrir m polígonos regulares de n lados unidos vértice a vértice. La suma de los ángulos de cada uno de estos polígonos no debe ser mayor de 360º, pues de lo contrario no formarían un “ángulo sólido”. <360º Por tanto debe considerarse que:

Sólidos platónicos Los poliedros más sencillos son aquellos que se forman a partir de un solo polígono regular. Este grupo de poliedros ya era conocido por Euclides (330 a.C.) y estos cinco sólidos estuvieron acompañados de cierto misticismo. Se asociaban con los cuatro elementos supuestos y con el Universo y reciben el nombre de sólidos platónicos. Los únicos sólidos platónicos son:

Tetraedro Formado por tres triángulos equiláteros. Es el que tiene menor volumen de los cinco en comparación con su superficie. Representa el fuego. Está formado por 4 caras, 6 aristas y 4 vértices.

Hexaedro Formado por seis cuadrados. Permanece estable sobre su base. Por eso representa la tierra. Está formado por 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.

Octaedro Formado por ocho triángulos equiláteros. Gira libremente cuando se sujeta por vértices opuestos. Por ello, representa al aire en movimiento. Está formado por 8 caras, 12 aristas y 6 vértices.

Dodecaedro Formado por doce pentágonos regulares. Corresponde al Universo, pues sus doce caras pueden albergar los doce signos del Zodiaco. Tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vértices.

Icosaedro Formado por veinte triángulos equiláteros. Es el que tiene mayor volumen en relación con su superficie y representa al agua. Tiene 20 caras, 30 aristas y 12 vértices.

Figuras que forman las caras En todos ellos se cumple la relación: CARAS + VÉRTICES – ARISTAS = 2 Nombre Nº de Caras Nº de aristas Nº de vértices Nº de Ángulos Diedros Figuras que forman las caras Tetraedro 4 6 Triángulo equilátero. Cubo 12 8 Cuadrado Octaedro Triángulo equilátero Dodecaedro 30 20 Pentágono Icosaedro

Poliedros Conjugados Dos poliedros regulares se llaman conjugados si cada uno de ellos se obtiene del otro uniendo mediante segmentos los puntos medios de cada dos caras contiguas. Así, el tetraedro es conjugado de sí mismo, el dodecaedro es conjugado del icosaedro y el cubo lo es del octaedro:

Prismas El prisma es un poliedro limitado por varios paralelogramos y dos polígonos congruentes llamados bases, cuyos planos son paralelos.

En los prismas distinguimos: Bases: dos polígonos congruentes, cuyos planos son paralelos. Caras laterales: polígonos regulares. Arista: lados de los polígonos regulares. Vértices: puntos donde concurren tres aristas. Altura: distancia entre las dos bases. Diagonal: segmento que une dos vértices que no pertenecen a una misma cara.

En un prisma, el número de caras laterales es igual al número de lados del polígono de la base. Nombre de un Prisma El nombre de un prisma se da según el polígono de la base. Prisma Cuadrangular Prisma Hexagonal

Prisma oblicuo Es el poliedro convexo cuyas caras son regiones paralelogramos inclinadas y sus bases son regiones poligonales pertenecientes a planos paralelos.

Prisma Recto Es el que tiene sus caras laterales perpendiculares a las bases En el prisma recto, las caras laterales son todas rectángulos. Si sus bases son polígonos regulares, el prisma se llama regular.

Paralelepípedos Los prismas cuyas bases son paralelogramos se llaman paralelepípedos. En un paralelepípedo, sus seis caras son paralelogramos.

Tronco de prisma Cada uno de los dos cuerpos geométricos que se obtienen al partir un prisma por un plano que corta a todas sus aristas laterales se llama tronco de prisma.

N° de Caras, Vértices y Aristas Prisma Nº Caras Nº Vértices Nº Aristas Triangular 3 6 9 Cuadrangular 4 8 12 Pentagonal 5 10 15 Hexagonal 18

Desarrollo del prisma triangular, cuadrangular y hexagonal Prisma Cuadrangular Prisma Hexagonal

ATOTAL = ALATERAL + 2ABASE Área de un Prisma Para calcular su área lateral se emplea la siguiente fórmula: ALATERAL = (perímetro de la base) (altura del prisma) Y para obtener el área total del prisma solamente tendríamos que sumar, al área lateral, el área de las dos bases del prisma. ATOTAL = ALATERAL + 2ABASE

VPRISMA = [Área de la base] · [Altura del prisma] Volumen de un Prisma Para calcular el volumen de un prisma se deben multiplicar sus dimensiones. V = largo x ancho x altura Observa que el producto de las dos primeras dimensiones (largo y ancho) es precisamente el área de la base. Para hallar el volumen de un prisma, podemos utilizar la relación: VPRISMA = [Área de la base] · [Altura del prisma]

Muestra en la Realidad Prisma Óptico Sólido Cristalino

Piramides La pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono y por caras laterales varios triángulos con un vértice en común. La altura de la pirámide es la distancia del vértice a la base.

Nombre de una Pirámide Una pirámide se llama triangular, cuadrangular, pentagonal … según que su base sea un triángulo, un cuadrilátero, un pentágono … Pirámide Triangular Pirámide Cuadrangular

Pirámide Regular Una pirámide es regular si su base es un polígono regular y el vértice se proyecta (cae perpendicularmente) sobre el centro de la base. En una pirámide regular las caras laterales son triángulos isósceles cuyas alturas se llaman apotemas de la pirámide.

Tronco de Pirámide Un tronco de pirámide es el poliedro comprendido entre la base de la pirámide y un plano que corta a todas las aristas laterales.

Apotemas del tronco Si el plano es paralelo al plano de la base se dice que el tronco es de bases paralelas. La distancia entre las bases es la altura del tronco. Un tronco de bases paralelas de una pirámide regular está formado por dos bases, polígonos regulares semejantes, y varias caras laterales que son trapecios isósceles. Las alturas de estos trapecios se llaman apotemas de estos troncos.

Desarrollo de la pirámide triangular y cuadrangular Pirámide Cuadrangular

Nº de Caras, Vértices y Aristas Pirámide Nº Caras Nº Vértices Nº Aristas Triangular 3 4 6 Cuadrangular 5 8 Pentagonal 10 Hexagonal 7 12

Área Lateral de una Pirámide En una pirámide regular se cumple que: El área lateral es igual al producto del semiperímetro de la base por la longitud de la apotema de la pirámide. ALATERAL = semiperímetro · apotema

Área total de una Pirámide En una pirámide cualquiera se cumple que : El área total esta determinada por la suma de las áreas de las caras laterales y el área de la base ATOTAL = ALATERAL + ABASE

Volumen de una Pirámide VPIRÁMIDE = 1/3 (ABASE) (altura) El volumen de una pirámide es igual a un tercio del volumen del prisma. VPIRÁMIDE = 1/3 VPRISMA VPIRÁMIDE = 1/3 (ABASE) (altura)

Muestra en la Realidad Las pirámides de Egipto son un ejemplo de construcciones de pirámides. Los Egipcios, según lo que se observa en las pirámides sabían algo de geometría.

Cuerpos Redondos En la naturaleza observamos muchos cuerpos geométricos. En esta sección estudiaremos sobre los cuerpos redondos. Los cuerpos redondos tienen algo esférico. Como la esfera por ejemplo, si se dan cuenta no tiene lados es todo circular. El cilindro solo tiene bases aunque ups creo que me estoy adelantado a lo que sigue...bueno...allá vamos...

Cilindro Recto Sólido generado por la rotación completa de un rectángulo alrededor de uno de sus lados, llamado eje. Radio Altura Generatriz Bases A O B O’

Bases: dos círculos paralelos Radio (r): AO = BO’ Altura (h): OO’, perpendicular trazada entre las bases. Generatriz (g): AB, lado del rectángulo que gira alrededor del eje. Area Total (AT) AT = AL + 2ABASE AT = AL + 2πr2 Área lateral (AL) AL = 2πr · g Volumen (V) V = ABASE · h V = πr2 · h

Desarrollo del Cilindro y Muestra en la Realidad Desarrollo de Cilindro Tubo de Telescopio

Cono Recto Es el sólido originado por la rotación completa de un triangulo rectángulo alrededor de uno de los lados que forman el ángulo recto. V O B Radio Vértice Base Altura Generatriz

Elementos del Cono Vértice: V, punto cúspide del sólido Altura (h): VO, perpendicular trazada del vértice a la base. Base: circulo generado por la base del triangulo rectángulo que rota. Generatriz (g): VB, lado del triangulo que rota alrededor del eje.

Area y Volumen del Cono Área Lateral (AL): AL =πr · g Área Total (AL): AT = AL + πr2 Volumen (V): V = 1/3 πr2h

Desarrollo del Cono Desarrollo del Cono

Muestra en la Realidad Fuji-Yama El Teide

Esfera Es el sólido limitado por una superficie cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto interior llamado centro. Diámetro Radio Centro

Elementos, Area y Volumen Diámetro: segmento que pasa por el centro y cuyos extremos son dos puntos de la superficie de la esfera. Radio (r): segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Area (A): A = 4πr2 Volumen (V): V = 4/3πr3

Muestra en la Realidad Reactor de una central eléctrica La Tierra