Introducción a la Estadística

Introducción a la Estadística Descripción de los conjuntos de datos Uso de la Estadística para sintetizar conjuntos de datos Probabilidad Variables aleatorias discretas Variables aleatorias normales

Datos agrupados

Datos agrupados En el pasado, se prestaba atención considerable a la descripción de los datos agrupados, porque generalmente era conveniente agrupar los datos antes de calcular varios de los estadísticos muestrales. Este ya no es el caso, puesto que ahora los cálculos necesarios se pueden efectuar en cuestión de segundos usando computadoras o aun calculadoras de bolsillo.

Datos agrupados Sin embargo, dadas las carencias que tiene la población en México y dado que muchos conjuntos de datos están disponibles sólo en la forma de tablas de frecuencia de datos agrupados, estudiaremos la descripción de estos.

Datos agrupados Como ya hemos dicho repetidamente, la agrupación de los datos implica cierta pérdida de información.

Datos agrupados Como ya hemos dicho repetidamente, la agrupación de los datos implica cierta pérdida de información. Cada artículo pierde su identidad, por así decirlo; sólo sabemos cuántos artículos hay en cada clase, de modo que debemos estar satisfechos con las aproximaciones.

Datos agrupados Al transformar un conjunto de datos no agrupados (los datos brutos, los datos crudos) a un conjunto de datos agrupados, el reto es agrupar los datos en una forma que las características más importantes sean claramente visibles. No hay una solución única para este problema, y como tal involucra experiencia y juicio personal.

Datos agrupados Al transformar un conjunto de datos no agrupados (los datos brutos, los datos crudos) a un conjunto de datos agrupados, el reto es agrupar los datos en una forma que las características más importantes sean claramente visibles. No hay una solución única para este problema, y como tal involucra experiencia y juicio personal.

La estadística nos ofrece algunos lineamientos: Datos agrupados La estadística nos ofrece algunos lineamientos: Se deben usar al menos 5 clases y no más de 20.

2. Si es posible, hay que usar siempre el mismo ancho para las clases. Datos agrupados 2. Si es posible, hay que usar siempre el mismo ancho para las clases.

Datos agrupados 3. El ancho de las clases puede ser par o impar, pero es más conveniente utilizar números pares, ya que de tal manera la marca de clase será un paso unitario en la escala de medidas.

Datos agrupados 4. El ancho de las clases es arbitrario, pero para facilitar la comprensión se recomienda que sean múltiplos de 5, 10, 50, 100, 500 y así sucesivamente.

rango<[(número de clases utilizadas)x(ancho de clase)] Datos agrupados 5. Si se adopta un ancho de clase constante, hay que asegurarse que rango<[(número de clases utilizadas)x(ancho de clase)]

Datos agrupados 6. Hay que asegurarse que la clase con el menor límite inferior incluya al más pequeño de los datos y que la clase con el mayor límite superior incluya al más grande de los datos.

Datos agrupados 7. Es muy importante que el más pequeño de los datos esté tan cerca como sea posible del límite inferior de su clase y que el más grande de los datos esté tan cercano como sea posible del límite superior de su clase.

Datos agrupados 8. En general, entre mayor sea el número de datos mayor deberá de ser el número de clases.

Datos agrupados La estadística nos ofrece algunos lineamientos: 1. Se deben usar al menos 5 clases y no más de 20. 2. Si es posible, hay que usar siempre el mismo ancho para las clases. 3. El ancho de las clases puede ser par o impar, pero es más conveniente utilizar números impares, ya que de tal manera la marca de clase será un paso unitario en la escala de medidas. 4.El ancho de las clases es arbitrario, pero para facilitar la comprensión se recomienda que sean múltiplos de 5, 10, 50, 100, 500 y así sucesivamente. 5. Si se adopta un ancho de clase constante, hay que asegurarse que rango<[(número de clases utilizadas)x(ancho de clase)] 6. Hay que asegurarse que la clase con el menor límite inferior incluya al más pequeño de los datos y que la clase con el mayor límite superior incluya al más grande de los datos. 7. Es muy importante que el más pequeño de los datos esté tan cerca como sea posible del límite inferior de su clase y que el más grande de los datos esté tan cercano como sea posible del límite superior de su clase. 8. En general, entre mayor sea el número de datos mayor deberá de ser el número de clases.

Número de intervalos Repetimos: No hay un mejor valor para el número de intervalos en la agrupación de los datos, y diferentes números de intervalos pueden revelar diferentes aspectos de los datos.

Número de intervalos Siempre se debe experimentar con diferentes números de intervalos antes de escoger el que mejor ilustre las características de los datos.

Número de intervalos Algunos teóricos han intentado determinar el número óptimo de intervalos, pero estos métodos generalmente hacen suposiciones muy fuertes acerca de la forma de la distribución de los datos.

Número de intervalos

Mayor entero menor que o igual a: [ ]

Número de intervalos

Número de intervalos

Número de intervalos

Número de intervalos

Ejemplo Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. 166 82 175 181 169 177 180 185 159 164 170 149 188 173 170 164 158 177 173 175 190 172

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 166 82 175 181 169 177 180 185 159 164 170 149 188 173 158 190 172

Precio de las casas 166 82 175 181 169 177 180 185 159 164 170 149 188 173 158 190 172 3697 22 168.0455

Precio de las casas 166 -2.045 4.1839 82 -86.045 7403.8202 175 6.955 48.3657 181 12.955 167.8202 169 0.955 0.9112 177 8.955 80.1839 180 11.955 142.9112 185 16.955 287.4566 159 -9.045 81.8202 164 -4.045 16.3657 170 1.955 3.8202 149 -19.045 362.7293 188 19.955 398.1839 173 4.955 24.5475 158 -10.045 100.9112 190 21.955 482.0021 172 3.955 15.6384 3697.000 0.000 9794.955 22.000 21.000 168.045 466.426 21.597

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 166 82 175 181 169 177 180 185 159 164 170 149 188 173 158 190 172 Precio de las casas 82 149 158 159 164 166 169 170 172 173 175 177 180 181 185 188 190

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 82 149 158 159 164 166 169 170 172 173 175 177 180 181 185 188 190

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 82 149 158 159 164 166 169 170 172 173 175 177 180 181 185 188 190

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 82 149 158 159 164 166 169 170 172 173 175 177 180 181 185 188 190

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 82 149 158 159 164 166 169 170 172 173 175 177 180 181 185 188 190

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 82 149 158 159 164 166 169 170 172 173 175 177 180 181 185 188 190

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 82 149 158 159 164 166 169 170 172 173 175 177 180 181 185 188 190 Intervalo Frecuencia 80 a 90 1 90 a 100 100 a 110 110 a 120 120 a 130 130 a 140 140 a 150 150 a 160 2 160 a 170 4 170 a 180 9 180 a 190 190 a 200

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 82 149 158 159 164 166 169 170 172 173 175 177 180 181 185 188 190

Intervalo Frecuencia 80 a 105 1 105 a 130 130 a 155 155 a 180 15 Precio de las casas 82 149 158 159 164 166 169 170 172 173 175 177 180 181 185 188 190 Intervalo Frecuencia 80 a 105 1 105 a 130 130 a 155 155 a 180 15 180 a 205 5

Ejemplo 15.8 17.3 23.9 18.7 9.0 22.7 6.2 17.5 12.8 17.6 26.8 18.0 11.0 15.5 16.7 19.1 22.9 20.4 19.2 16.9 18.5 24.6 16.2 7.7 23.5 14.4 19.4 20.8 22.5 18.4 8.3 12.3 13.3 19.3 25.7 25.9 15.9 18.1 9.4 20.1 26.4 11.2 24.8 13.9 13.2 9.8 14.7 26.1 28.6 23.7 20.5 20.9 10.7 15.2 26.6 21.4 21.6 19.0 23.0 13.5 14.5 29.6 17.0 24.3 21.8 22.3 11.8 20.0 31.8 10.5 27.5 17.9 24.1 28.5 Los siguientes datos muestran la cantidad de oxido de azufre (en toneladas) emitido por una fábrica en un día durante 80 días:

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8 Suma 1,511.6 Total de datos 80.0 Media 18.8950

-12.7 -5.0 -0.9 1.5 5.2 -11.2 -4.5 1.6 5.4 -10.6 -4.4 -0.8 1.9 5.7 -9.9 -4.2 2.0 -9.5 -3.7 -0.5 2.5 5.9 -9.1 -3.4 -0.4 2.7 6.8 -8.4 -3.1 -0.2 2.9 7.0 -8.2 -3.0 0.1 3.4 7.2 -7.9 -2.7 0.2 3.6 7.5 -7.7 -2.2 0.3 3.8 7.7 -7.1 -2.0 0.4 7.9 -6.6 -1.9 0.5 4.0 8.6 -6.1 -1.6 4.1 9.6 -5.7 -1.4 1.1 4.6 9.7 -5.6 -1.3 1.2 4.8 10.7 -5.4 -1.0 5.0 12.9 Suma 0.000 6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8

161.2 25.0 0.8 2.3 27.1 125.3 20.2 2.6 29.2 112.3 19.3 0.6 3.6 32.5 97.9 17.6 4.0 90.2 13.7 0.2 6.3 34.9 82.7 11.5 7.3 46.3 70.5 9.6 0.0 8.4 49.1 67.2 9.0 11.6 51.9 62.3 13.0 56.3 59.2 4.8 0.1 14.5 59.4 50.3 62.5 43.5 0.3 16.0 74.0 37.1 2.5 16.9 92.3 32.4 1.9 1.2 21.2 94.2 31.3 1.7 1.5 23.1 114.6 29.1 1.0 25.1 166.5 Suma 2,527.058 n-1 79 Var 31.988 DT 5.656 6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8 Intervalo de clase Frecuencia Marca de clase 5.0 a 10.0 6 7.5 10.0 a 15.0 14 12.5 15.0 a 20.0 25 17.5 20.0 a 25.0 24 22.5 25.0 a 30.0 10 27.5 30.0 a 35.0 1 32.5

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8 Intervalo de clase Frecuencia 5 a 9 3 9 a 13 10 13 a 17 14 17 a 21 25 21 a 25 17 25 a 29 9 29 a 33 2 Total 80

Calculo de los Estadísticos cuando los datos están agrupados

Calculo de la media muestral cuando los datos están agrupados Para determinar la media, por lo regular podemos obtener una buena aproximación asignando a cada artículo que cae en una clase el valor de la marca de clase correspondiente.

Calculo de la media muestral cuando los datos están agrupados

Ejemplo Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. 166 82 175 181 169 177 180 185 159 164 170 149 188 173 170 164 158 177 173 175 190 172

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 166 82 175 181 169 177 180 185 159 164 170 149 188 173 158 190 172

Precio de las casas 166 82 175 181 169 177 180 185 159 164 170 149 188 173 158 190 172 3697 22 168.0455

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 166 82 175 181 169 177 180 185 159 164 170 149 188 173 158 190 172 Precio de las casas 82 149 158 159 164 166 169 170 172 173 175 177 180 181 185 188 190

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 82 149 158 159 164 166 169 170 172 173 175 177 180 181 185 188 190

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 82 149 158 159 164 166 169 170 172 173 175 177 180 181 185 188 190 Intervalo Frecuencia 80 a 90 1 90 a 100 100 a 110 110 a 120 120 a 130 130 a 140 140 a 150 150 a 160 2 160 a 170 4 170 a 180 9 180 a 190 190 a 200

Intervalo Frecuencia 80 a 90 1 90 a 100 100 a 110 110 a 120 120 a 130 130 a 140 140 a 150 150 a 160 2 160 a 170 4 170 a 180 9 180 a 190 190 a 200

Intervalo Frecuencia Marca de clase Producto 80 a 90 1 85 90 a 100 95 100 a 110 105 110 a 120 115 120 a 130 125 130 a 140 135 140 a 150 145 150 a 160 2 155 310 160 a 170 4 165 660 170 a 180 9 175 1575 180 a 190 185 740 190 a 200 195 Suma 3710 Datos 22 Media 168.636

Ejemplo 15.8 17.3 23.9 18.7 9.0 22.7 6.2 17.5 12.8 17.6 26.8 18.0 11.0 15.5 16.7 19.1 22.9 20.4 19.2 16.9 18.5 24.6 16.2 7.7 23.5 14.4 19.4 20.8 22.5 18.4 8.3 12.3 13.3 19.3 25.7 25.9 15.9 18.1 9.4 20.1 26.4 11.2 24.8 13.9 13.2 9.8 14.7 26.1 28.6 23.7 20.5 20.9 10.7 15.2 26.6 21.4 21.6 19.0 23.0 13.5 14.5 29.6 17.0 24.3 21.8 22.3 11.8 20.0 31.8 10.5 27.5 17.9 24.1 28.5 Los siguientes datos muestran la cantidad de oxido de azufre (en toneladas) emitido por una fábrica en un día durante 80 días:

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8 Suma 1,511.6 Total de datos 80.0 Media 18.8950

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8 Intervalo de clase Frecuencia 5 a 9 3 9 a 13 10 13 a 17 14 17 a 21 25 21 a 25 17 25 a 29 9 29 a 33 2 Total 80

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8 Intervalo de clase Frecuencia Marca de clase 5 a 9 3 7.0 21.0 9 a 13 10 11.0 110.0 13 a 17 14 15.0 210.0 17 a 21 25 19.0 474.9 21 a 25 17 23.0 390.9 25 a 29 9 27.0 243.0 29 a 33 2 31.0 62.0 Total 80 Suma 1,511.7 Media 18.8965

Calculo de los estadísticos cuando los datos están agrupados Una vez que hemos agrupado un conjunto de datos, aún podemos determinar la mayoría de las otras medidas estadística aparte de la media, pero tenemos que hacer suposiciones especiales o modificar las definiciones.

Calculo de la mediana muestral cuando los datos están agrupados La mediana de una distribución de datos es tal que la mitad del área total de los rectángulos del histograma de la distribución cae a su izquierda y la otra mitad cae a su derecha.

Calculo de la mediana muestral cuando los datos están agrupados Esta definición es equivalente a suponer que los valores de la clase que contiene a la mediana están distribuidos uniformemente dentro de la clase.

Calculo de la mediana muestral cuando los datos están agrupados

Ejemplo Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. 166 82 175 181 169 177 180 185 159 164 170 149 188 173 170 164 158 177 173 175 190 172

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 166 82 175 181 169 177 180 185 159 164 170 149 188 173 158 190 172

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 166 82 175 181 169 177 180 185 159 164 170 149 188 173 158 190 172 Precio de las casas 82 149 158 159 164 166 169 170 172 173 175 177 180 181 185 188 190

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 82 149 158 159 164 166 169 170 172 173 175 177 180 181 185 188 190

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 82 149 158 159 164 166 169 170 172 173 175 177 180 181 185 188 190

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 82 149 158 159 164 166 169 170 172 173 175 177 180 181 185 188 190 Intervalo Frecuencia 80 a 90 1 90 a 100 100 a 110 110 a 120 120 a 130 130 a 140 140 a 150 150 a 160 2 160 a 170 4 170 a 180 9 180 a 190 190 a 200

Intervalo Frecuencia 80 a 90 1 90 a 100 100 a 110 110 a 120 120 a 130 130 a 140 140 a 150 150 a 160 2 160 a 170 4 170 a 180 9 180 a 190 190 a 200

Intervalo Frecuencia 80 a 90 1 90 a 100 100 a 110 110 a 120 120 a 130 130 a 140 140 a 150 150 a 160 2 160 a 170 4 170 a 180 9 180 a 190 190 a 200

Ejemplo 15.8 17.3 23.9 18.7 9.0 22.7 6.2 17.5 12.8 17.6 26.8 18.0 11.0 15.5 16.7 19.1 22.9 20.4 19.2 16.9 18.5 24.6 16.2 7.7 23.5 14.4 19.4 20.8 22.5 18.4 8.3 12.3 13.3 19.3 25.7 25.9 15.9 18.1 9.4 20.1 26.4 11.2 24.8 13.9 13.2 9.8 14.7 26.1 28.6 23.7 20.5 20.9 10.7 15.2 26.6 21.4 21.6 19.0 23.0 13.5 14.5 29.6 17.0 24.3 21.8 22.3 11.8 20.0 31.8 10.5 27.5 17.9 24.1 28.5 Los siguientes datos muestran la cantidad de oxido de azufre (en toneladas) emitido por una fábrica en un día durante 80 días:

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8 Intervalo de clase Frecuencia 5 a 9 3 9 a 13 10 13 a 17 14 17 a 21 25 21 a 25 17 25 a 29 9 29 a 33 2 Total 80

Intervalo de clase Frecuencia 5 a 9 3 9 a 13 10 13 a 17 14 17 a 21 25 21 a 25 17 25 a 29 9 29 a 33 2 Total 80

Intervalo de clase Frecuencia 5 a 9 3 9 a 13 10 13 a 17 14 17 a 21 25 21 a 25 17 25 a 29 9 29 a 33 2 Total 80

Calculo de los percentiles cuando los datos están agrupados

Calculo de los percentiles cuando los datos están agrupados

Calculo de los percentiles cuando los datos están agrupados

Calculo de los percentiles cuando los datos están agrupados

Calculo de la desviación típica muestral cuando los datos están agrupados

Calculo de la desviación típica muestral cuando los datos están agrupados

Ejemplo Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. 166 82 175 181 169 177 180 185 159 164 170 149 188 173 170 164 158 177 173 175 190 172

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 166 82 175 181 169 177 180 185 159 164 170 149 188 173 158 190 172

Suma de las desviaciones 0.0000 Precio de las casas 166 -2.045 4.1839 82 -86.045 7403.8202 175 6.955 48.3657 181 12.955 167.8202 169 0.955 0.9112 177 8.955 80.1839 180 11.955 142.9112 185 16.955 287.4566 159 -9.045 81.8202 164 -4.045 16.3657 170 1.955 3.8202 149 -19.045 362.7293 188 19.955 398.1839 173 4.955 24.5475 158 -10.045 100.9112 190 21.955 482.0021 172 3.955 15.6384 Suma de los datos 3697 Total de datos 22 Media muestral 168.045   Suma de las desviaciones 0.0000 Suma de los cuadrados de las desviaciones 9794.955 Total de datos menos 1 21 Varianza 466.426 Desviación típica 21.597

Intervalo Frecuencia 80 a 90 1 90 a 100 100 a 110 110 a 120 120 a 130 130 a 140 140 a 150 150 a 160 2 160 a 170 4 170 a 180 9 180 a 190 190 a 200

DT 21.94 Varianza 466.426 Desviación típica 21.597 Varianza 481.39 Intervalo Frecuencia Marca de clase Producto 80 a 90 1 85 -83.64 6995.04 90 a 100 95 -73.64 5422.31 0.00 100 a 110 105 -63.64 4049.59 110 a 120 115 -53.64 2876.86 120 a 130 125 -43.64 1904.13 130 a 140 135 -33.64 1131.40 140 a 150 145 -23.64 558.68 150 a 160 2 155 310 -13.64 185.95 371.90 160 a 170 4 165 660 -3.64 13.22 52.89 170 a 180 9 175 1575 6.36 40.50 364.46 180 a 190 185 740 16.36 267.77 1071.07 190 a 200 195 26.36 695.04 Suma 3710 10109.09 Datos 22 21 Media 168.636 Varianza 481.39 DT 21.94 Varianza 466.426 Desviación típica 21.597

Ejemplo 15.8 17.3 23.9 18.7 9.0 22.7 6.2 17.5 12.8 17.6 26.8 18.0 11.0 15.5 16.7 19.1 22.9 20.4 19.2 16.9 18.5 24.6 16.2 7.7 23.5 14.4 19.4 20.8 22.5 18.4 8.3 12.3 13.3 19.3 25.7 25.9 15.9 18.1 9.4 20.1 26.4 11.2 24.8 13.9 13.2 9.8 14.7 26.1 28.6 23.7 20.5 20.9 10.7 15.2 26.6 21.4 21.6 19.0 23.0 13.5 14.5 29.6 17.0 24.3 21.8 22.3 11.8 20.0 31.8 10.5 27.5 17.9 24.1 28.5 Los siguientes datos muestran la cantidad de oxido de azufre (en toneladas) emitido por una fábrica en un día durante 80 días:

15.8 17.3 23.9 18.7 9.0 22.7 6.2 17.5 12.8 17.6 26.8 18.0 11.0 15.5 16.7 19.1 22.9 20.4 19.2 16.9 18.5 24.6 16.2 7.7 23.5 14.4 19.4 20.8 22.5 18.4 8.3 12.3 13.3 19.3 25.7 25.9 15.9 18.1 9.4 20.1 26.4 11.2 24.8 13.9 13.2 9.8 14.7 26.1 28.6 23.7 20.5 20.9 10.7 15.2 26.6 21.4 21.6 19.0 23.0 13.5 14.5 29.6 17.0 24.3 21.8 22.3 11.8 20.0 31.8 10.5 27.5 17.9 24.1 28.5 Suma 1,511.6 Total de datos 80.0 Media 18.8950

-3.1 -1.6 5.0 -0.2 -9.9 3.8 -12.7 -1.4 -6.1 -1.3 7.9 -0.9 -7.9 -3.4 -2.2 0.2 4.0 1.5 0.3 -2.0 -0.4 5.7 -2.7 -11.2 4.6 -4.5 0.5 1.9 3.6 -0.5 -10.6 -6.6 -5.6 0.4 6.8 7.0 -3.0 -0.8 -9.5 1.2 7.5 -7.7 5.9 -5.0 -5.7 -9.1 -4.2 7.2 9.7 4.8 1.6 2.0 -8.2 -3.7 7.7 2.5 2.7 0.1 4.1 -5.4 -4.4 10.7 -1.9 5.4 2.9 3.4 -7.1 1.1 12.9 -8.4 8.6 -1.0 5.2 9.6 Suma 0.0

9.6 2.5 25.1 0.0 97.9 14.5 161.2 1.9 37.1 1.7 62.5 0.8 62.3 11.5 4.8 16.0 2.3 0.1 4.0 0.2 32.5 7.3 125.3 21.2 20.2 0.3 3.6 13.0 112.3 43.5 31.3 46.3 49.1 9.0 0.6 90.2 1.5 56.3 59.2 34.9 25.0 32.4 82.7 17.6 51.9 94.2 23.1 2.6 67.2 13.7 59.4 6.3 16.9 29.1 19.3 114.6 29.2 8.4 11.6 50.3 1.2 166.5 70.5 74.0 1.0 27.1 92.3 Suma 2,527.1 79 Varianza 31.988

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8 Intervalo de clase Frecuencia 5 a 9 3 9 a 13 10 13 a 17 14 17 a 21 25 21 a 25 17 25 a 29 9 29 a 33 2 Total 80

Intervalo de clase Frecuencia Marca de clase 5 a 9 3 7.0 21.0 -11.9 141.5 424.6 9 a 13 10 11.0 110.0 -7.9 62.4 623.8 13 a 17 14 15.0 210.0 -3.9 15.2 212.8 17 a 21 25 19.0 474.9 0.1 0.0 0.2 21 a 25 17 23.0 390.9 4.1 16.8 285.6 25 a 29 9 27.0 243.0 8.1 65.6 590.2 29 a 33 2 31.0 62.0 12.1 146.3 292.7 Total 80 Suma 1,511.7   2,430.0 Media 18.8965 Varianza 30.7593

Calculo de la moda muestral cuando los datos están agrupados

Ejemplo Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. 166 82 175 181 169 177 180 185 159 164 170 149 188 173 170 164 158 177 173 175 190 172

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 166 82 175 181 169 177 180 185 159 164 170 149 188 173 158 190 172

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 166 82 175 181 169 177 180 185 159 164 170 149 188 173 158 190 172 Precio de las casas 82 149 158 159 164 166 169 170 172 173 175 177 180 181 185 188 190

Los siguientes datos son una muestra de precios de venta de casas en una comunidad clase media de California. Los datos están dados en miles de dólares. Precio de las casas 82 149 158 159 164 166 169 170 172 173 175 177 180 181 185 188 190

Intervalo Frecuencia 80 a 90 1 90 a 100 100 a 110 110 a 120 120 a 130 130 a 140 140 a 150 150 a 160 2 160 a 170 4 170 a 180 9 180 a 190 190 a 200

Ejemplo 15.8 17.3 23.9 18.7 9.0 22.7 6.2 17.5 12.8 17.6 26.8 18.0 11.0 15.5 16.7 19.1 22.9 20.4 19.2 16.9 18.5 24.6 16.2 7.7 23.5 14.4 19.4 20.8 22.5 18.4 8.3 12.3 13.3 19.3 25.7 25.9 15.9 18.1 9.4 20.1 26.4 11.2 24.8 13.9 13.2 9.8 14.7 26.1 28.6 23.7 20.5 20.9 10.7 15.2 26.6 21.4 21.6 19.0 23.0 13.5 14.5 29.6 17.0 24.3 21.8 22.3 11.8 20.0 31.8 10.5 27.5 17.9 24.1 28.5 Los siguientes datos muestran la cantidad de oxido de azufre (en toneladas) emitido por una fábrica en un día durante 80 días:

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8

6.2 13.9 18.0 20.4 24.1 7.7 14.4 20.5 24.3 8.3 14.5 18.1 20.8 24.6 9.0 14.7 20.9 9.4 15.2 18.4 21.4 24.8 9.8 15.5 18.5 21.6 25.7 10.5 15.8 18.7 21.8 25.9 10.7 15.9 19.0 22.3 26.1 11.0 16.2 19.1 22.5 26.4 11.2 16.7 19.2 22.7 26.6 11.8 16.9 19.3 26.8 12.3 17.0 19.4 22.9 27.5 12.8 17.3 23.0 28.5 13.2 17.5 20.0 23.5 28.6 13.3 17.6 20.1 23.7 29.6 13.5 17.9 23.9 31.8 Intervalo de clase Frecuencia 5 a 9 3 9 a 13 10 13 a 17 14 17 a 21 25 21 a 25 17 25 a 29 9 29 a 33 2 Total 80

Intervalo de clase Frecuencia 5 a 9 3 9 a 13 10 13 a 17 14 17 a 21 25 21 a 25 17 25 a 29 9 29 a 33 2 Total 80