La distribución normal

Presentación del tema: "La distribución normal"— Transcripción de la presentación:

1 La distribución normal
Un ejemplo es la llamada distribución normal, donde la probabilidad de caer en el intervalo [a, b] es:

2 La distribución normal
El valor mu siempre denota el centro de la distribución, es decir, el promedio de los valores observados. El parámetro sigma nos indica la "dispersión" de la distribución: valores grandes de sigma indican que las observaciones estarán muy lejanas de mu y valores de sigma pequeños indicarán gran concentración de las observaciones alrededor de mu.

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4 La distribución normal
La distribución normal nos servirá para modelar los montos totales de las pérdidas generadas por muchas pólizas de seguros. Frecuentemente usaremos riesgos individuales donde sus posibles pérdidas son

5 En el caso de la rifa, tenemos que c = ?
Y q = ? En el caso de la fianza tenemos que c = ?

6 La distribución normal
Considera que tenemos un número n grande de pólizas donde los riesgos son de este tipo. Entonces, para describir el monto de las pérdidas totales generadas por las n pólizas, usaremos la distribución normal con

7 La distribución normal
Imaginemos que el afianzador a vendido 1000 fianzas idénticas, con los valores de c y p arriba mencionados. Entonces la distribución normal tendrá como parámetros:

8 Ley de Grandes Números Tenemos 2000 asegurados, todos ellos con pólizas de seguro de vida que pagan $100,000 en caso de fallecer. Si la probabilidad de morir es de 0.05, igual para todos, simula los fallecimientos en un año y grafica los promedios parciales de las indemnizaciones conforme aumenta el número de asegurados. ¿A qué valor debe aproximarse esta sucesión de promedios?

9 Ley de Grandes Números Nuevamente, utilizando Excel simulamos el pago de cada póliza mediante la función SI(ALEAT ORIO() <= 0.05, , 0) y obtenemos una sucesión de promedios parciales similar a la de la siguente lamina Sin ver esta gráfica podemos decir que los promedios parciales convergerán al costo promedio por póliza, que es $100, 000 (0.05) = $5, 000.

10 Ley de Grandes Números Hemos determinado que los promedios parciales se aproximan a la media teórica. Sin embargo, el asegurador no paga "indemnizaciones promedio" sino indemnizaciones totales. Veamos cómo se comportan las indemnizaciones totales. El promedio de los costos totales del grupo es $100, 000 (0.05) (2000) = $10, 000, 000.

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12 ¿Será cierto que los costos totales se aproximan a este valor?
Utilicemos los mismos datos generados en el ejemplo anterior, pero esta vez agregando los costos (es decir, sin dividir entre el número de asegurados). El proceso de las sumas parciales de las indemnizaciones, claramente forma una gráfica escalonada. Más aún, podemos ver que este valor NO se aproxima a $10,000,000 como los promedios se acercaban a $5,000.

13 Ley de Grandes Números Repitamos el mismo procedimiento varias veces, obteniendo la gráfica anterior. Ahora es mucho más claro ver lo que realmente sucede: los costos totales de un grupo de 2000 asegurados no se aproximan a los 10 millones, pero si este procedimiento se repite muchas veces, el promedio (sobre las repeticiones) de los costos totales sí se aproxima a los 10 millones. Sin embargo, la variabilidad de los resultados AUMENTA con el número de asegurados.

14 La LGN nos dice 1. Si tenemos un número grande de observaciones del mismo fenómeno aleatorio, los promedios parciales y las frecuencias relativas se aproximarán a los promedios y probabilidades teóricas. En seguros, esto implica que la indemnización promedio en un número grande de pólizas idénticas se aproximará al costo promedio que estima el actuario, dado que ha estimado las probabilidades correctamente.

15 La LGN nos dice 2. Si tenemos un número grande de observaciones del mismo fenómeno aleatorio, y no conocemos las probabilidades teóricas que gobiernan dicho fenómeno, entonces podemos usar dichas observaciones para estimarlas. Esto se realiza mediante procedimientos estadísticos. En seguros, ésto implica que un actuario puede utilizar experiencia histórica para estimar las probabilidades de las pérdidas potenciales. Sin embargo, estas probabilidades sólo serán válidas si las pólizas y los riesgos futuros son idénticos al pasado.

16 Lo que NO nos dice 1. Que en un número grande de asegurados los montos de las indemnizaciones totales están perfectamente pronosticados y por tanto, el asegurador no está expuesto a ningún riesgo, salvo "algunas" fluctuaciones alrededor del promedio, seguramente debidos a que el número de asegurados no es suficientemente grande. 2. Que el riesgo para el asegurador disminuye conforme el número de pólizas aumenta.