Equilibrio de cuerpos rígidos. Elasticidad AREA DE FISICA UNIDAD 4: Equilibrio de cuerpos rígidos. Elasticidad 8-1 Equilibrio de un cuerpo rígido: Primera condición de equilibrio del cuerpo 8-2 Equilibrio de un cuerpo rígido: Segunda condición de equilibrio del cuerpo 8-3 Composición de fuerzas paralelas, Centro de gravedad 8-4 Deformación de los sólidos. Ley de Hooke. Módulo de Young. 8-4 Relación de Poisón. Dilatación cúbica. Módulo de rigidez. Torsión

AREA DE FISICA Resultante de un sistema de fuerzas concurrentes A la fuerza única que produce el mismo efecto que las individuales, aplicadas simultáneamente, se las denomina Resultante.

Resultante de un sistema de fuerzas concurrentes AREA DE FISICA Resultante de un sistema de fuerzas concurrentes Ya vimos que a la fuerza única que produce el mismo efecto que las individuales, aplicadas simultáneamente, se las denomina Resultante. Si además las fuerzas se aplican en un mismo punto, se llaman concurrentes Esto sucede normalmente cuando trabajamos sobre partículas, entendiendo como tales a cuerpos tan pequeños que se los puede suponer como un punto

Resultante de un sistema de fuerzas concurrentes AREA DE FISICA Resultante de un sistema de fuerzas concurrentes Cualquier fuerza puede ser sustituida por sus vectores componente, actuando en el mismo punto  y    O x

Resultante de un sistema de fuerzas concurrentes AREA DE FISICA Resultante de un sistema de fuerzas concurrentes

AREA DE FISICA 8-1 Equilibrio de un cuerpo rígido: Primera condición de equilibrio del cuerpo primera condición de equilibrio de un cuerpo.

AREA DE FISICA 8-1 Equilibrio de un cuerpo rígido: Primera condición de equilibrio del cuerpo

AREA DE FISICA Equilibrio unidimensional y x

AREA DE FISICA  y T3y T3  T2 T3 T2 x T1 T3x T1 Equilibrio bidimensional T3y T3 T2 T1 o  T3 T2  x T3x T1

AREA DE FISICA Equilibrio bidimensional y T2 T1 o  T3 T1 x W

AREA DE FISICA  y T3y T3  T2 T3 T2 x T1 T3x T1 Equilibrio bidimensional T3y T3 T2 T1 o  T3 T2  x T3x T1

AREA DE FISICA Ejemplo T2 T1 P=80N 40° 30° Determinar las tensiones T1 y T2 de las cuerdas que sostienen la lámpara de peso P en la posición indicada de la figura

AREA DE FISICA 8-2 Equilibrio de un cuerpo rígido: Segunda condición de equilibrio del cuerpo Consideremos la figura. Si se aplican dos fuerzas iguales F, en el centro de una regla rígida ligera, la regla queda en equilibrio, ya que se cumple la primera condición de equilibrio dada por la ecuación F=0. O A O Si una de las fuerzas se aplica en el punto O y la otra en el punto A, la regla comenzará a girar, en sentido contrario a las aguas del reloj. La regla no está en equilibrio y sin embargo se cumple que F=0. Las fuerzas no concurrentes pueden producir una rotación o momento que hacen girar el cuerpo. En este caso el cuerpo no está en equilibrio, ya que está girando, y sin embargo cumple la primera condición de equilibrio.

AREA DE FISICA 8-2 Equilibrio de un cuerpo rígido: Segunda condición de equilibrio del cuerpo En el juego del sube y baja, los niños aprenden muy pronto que la distancia a la cual se sientan respecto al eje de giro, es tan importante como su peso. El niño que es mas pesado se sienta a una distancia mas corta que el niño que es mas liviano El equilibrio se consigue cuando el torque que tiende a producir una rotación en sentido de las agujas del reloj, es igual al torque que tiende a producir una rotación en sentido contrario al de las agujas del reloj La Segunda condición de equilibrio dice que la suma de todos los torques debido a las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo, respecto a cualquier punto, debe ser cero

AREA DE FISICA 8-2 Equilibrio de un cuerpo rígido: Segunda condición de equilibrio del cuerpo De manera general, para que un cuerpo esté en equilibrio se debe cumplir: Primera Condición de Equilibrio: Segunda Condición de Equilibrio:

AREA DE FISICA Ejemplo Supongamos tener una regla de peso despreciable y un metro de longitud, suspendida de su centro. Un bloque de 20N cuelga en la marca correspondiente a 80cm. Otro bloque cuyo peso se desconoce equilibra exactamente el sistema cuando cuelga en la marca de 10cm. ¿Cuánto pesa el segundo bloque? 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 P1 P2=20N

AREA DE FISICA Ejemplo Un anuncio metálico de peso W=100N de una tienda cuelga del extremo de una varilla horizontal de longitud L=1,2m y peso 30N. La varilla se sostiene mediante un cable que forma un ángulo =30° con la horizontal, y tiene una articulación en el punto P. Calcular la tensión del cable y las componentes de la fuerza que la articulación ejerce sobre la varilla en P 1,2m 100N 30° P

AREA DE FISICA 8-3 Composición de fuerzas paralelas, Centro de gravedad

Composición de fuerzas paralelas AREA DE FISICA Composición de fuerzas paralelas Encontrar la fuerza resultante y su punto de aplicación del sistema mostrado, considerando despreciable el peso de la barra.

Multiplicando y dividiendo por la masa total: AREA DE FISICA Torque y Centro de masa Multiplicando y dividiendo por la masa total:

Propiedades elásticas de la materia AREA DE FISICA 8-4 Deformación de los sólidos. Ley de Hooke. Módulo de Young Propiedades elásticas de la materia Un cuerpo elástico es aquel que regresa a su forma original después de una deformación. Un cuerpo inelástico es aquel que no regresa a su forma original después de una deformación.

AREA DE FISICA Ley de Hooke: Un resorte es un ejemplo de un cuerpo elástico que se puede deformar al estirarse. Cuando un resorte se estira, hay una fuerza restauradora que es proporcional al desplazamiento. k FR FP x La constante de resorte k es una propiedad del resorte dada por: La constante de resorte k es una medida de la elasticidad del resorte. 22

Esfuerzo y deformación AREA DE FISICA Esfuerzo y deformación Esfuerzo se refiere a la causa de una deformación, y deformación se refiere al efecto de la deformación. La fuerza descendente F causa el desplazamiento x. L Por tanto, el esfuerzo es la fuerza; la deformación es la elongación. DL

AREA DE FISICA Tipos de esfuerzo F Un esfuerzo de tensión ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas se dirigen alejándose mutuamente. Tensión F || Un esfuerzo de compresión ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas se dirigen una hacia la otra. Compresión

AREA DE FISICA 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜= 𝑭 𝑨 Esfuerzo es la razón de una fuerza aplicada F al área A sobre la que actúa: 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜= 𝑭 𝑨 Deformación es el cambio relativo en las dimensiones o forma de un cuerpo como resultado de un esfuerzo aplicado. Ejemplos: Cambio en longitud por unidad de longitud; cambio en volumen por unidad de volumen.

Esfuerzo y deformación longitudinales AREA DE FISICA Esfuerzo y deformación longitudinales Para alambres, varillas y barras, existe un esfuerzo longitudinal F/A que produce un cambio en longitud por unidad de longitud. En tales casos: L DL A F 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜= 𝑭 𝑨 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛= ∆𝑳 𝑳

AREA DE FISICA L 𝐴= 𝜋. 𝐷 2 4 = 𝜋 .(0,002𝑚) 2 4 A F A = 3.14 x 10-6 m2 Ejemplo. Un alambre de acero de 10 m de largo y 2mm de diámetro se une al techo y a su extremo se une un peso de 200 N. ¿Cuál es el esfuerzo aplicado? Primero encuentre el área del alambre: L DL 𝐴= 𝜋. 𝐷 2 4 = 𝜋 .(0,002𝑚) 2 4 A F A = 3.14 x 10-6 m2 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜= 𝐹 𝐴 = 200𝑁 3,14. 10 −6 𝑚 2 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜=6,37. 10 7 𝑃𝑎

AREA DE FISICA 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛= ∆𝐿 𝐿 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛= 0,00308𝑚 10𝑚 Ejemplo. Si el alambre de acero de 10 m se estira 3.08 mm debido a la carga de 200 N. ¿Cuál es la deformación longitudinal? L DL 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛= ∆𝐿 𝐿 A F 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛= 0,00308𝑚 10𝑚 Deformación=3,08. 10 −4

Resistencia a la rotura AREA DE FISICA El límite elástico El límite elástico es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede experimentar sin quedar deformado permanentemente. Resistencia a la rotura La resistencia a la rotura es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede experimentar sin romperse.

El módulo de elasticidad AREA DE FISICA El módulo de elasticidad Siempre que el límite elástico no se supere, una deformación elástica (deformación) es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada por unidad de área (esfuerzo). 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑= 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛

AREA DE FISICA Recordando: A=3,14. 10 −6 𝑃𝑎 F =779N Ejemplo. Si el límite elástico para el acero del alambre es 2.48 x 108 Pa. ¿Cuál es el peso máximo que puede soportar sin superar el límite elástico? L DL Recordando: A=3,14. 10 −6 𝑃𝑎 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜= 𝐹 𝐴 =2,48. 10 8 𝑃𝑎 A F 𝐹= 2,48. 10 8 𝑃𝑎 .𝐴 𝐹= 2,48. 10 8 𝑃𝑎 .3,14. 10 −6 𝑚 2 F =779N

AREA DE FISICA Recordando: A=3,14. 10 −6 𝑃𝑎 F =1536N Ejemplo. Si La resistencia a la rotura para el acero es 4089 x 108 Pa. ¿Cuál es el peso máximo que puede soportar sin romper el alambre? L DL Recordando: A=3,14. 10 −6 𝑃𝑎 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜= 𝐹 𝐴 =4,89. 10 8 𝑃𝑎 A F 𝐹= 4,89. 10 8 𝑃𝑎 .𝐴 𝐹= 4,89. 10 8 𝑃𝑎 .3,14. 10 −6 𝑚 2 F =1536N

𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑌𝑜𝑢𝑛𝑔= 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 AREA DE FISICA Módulo de Young Para materiales cuya longitud es mucho mayor que el ancho o espesor, se tiene preocupación por el módulo longitudinal de elasticidad, o módulo de Young (Y). 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑌𝑜𝑢𝑛𝑔= 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑌= 𝐹 𝐴 ∆𝐿 𝐿 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠:𝑃𝑎 𝑜 𝑙𝑏 𝑖𝑛 2

𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜= 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 AREA DE FISICA Ejemplo. En el ejemplo anterior, el esfuerzo aplicado al alambre de acero fue 6.37 x 107 Pa y la deformación fue 3.08 x 10-4. Encuentre el módulo de elasticidad para el acero L DL 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜= 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 A F 𝑌= 6,37. 10 7 𝑃𝑎 3,08. 10 −4 𝑌=207. 10 9 𝑃𝑎

Valores representativos para módulos elásticos AREA DE FISICA Valores representativos para módulos elásticos

AREA DE FISICA ∆x F l  F Módulo de corte Un esfuerzo cortante altera sólo la forma del cuerpo y deja el volumen invariable. Por ejemplo, considere las fuerzas cortantes iguales y opuestas F que actúan sobre el cubo siguiente: ∆x F l  F La fuerza cortante F produce un ángulo cortante . El ángulo  es la deformación y el esfuerzo está dado por F/A como antes.

AREA DE FISICA ∆x F l  F 𝑆= 𝐹 𝐴 ∆𝑥 𝑙 = 𝐹 𝐴 ∅ 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠:𝑃𝑎 𝑜 𝑙𝑏 𝑖𝑛 2 Módulo de corte El esfuerzo es fuerza por unidad de área: ∆x F 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜= 𝑭 𝑨 l  La deformación es el ángulo expresado en radianes: F 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛=∅= ∆𝒙 𝒍 El módulo de corte S se define como la razón del esfuerzo cortante F/A a la deformación de corte  : 𝑆= 𝐹 𝐴 ∆𝑥 𝑙 = 𝐹 𝐴 ∅ 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠:𝑃𝑎 𝑜 𝑙𝑏 𝑖𝑛 2

AREA DE FISICA ∆x= 0,222mm 𝑙 𝐴= 𝜋. 𝐷 2 4 = 𝜋 .(0,01𝑚) 2 4 ∆𝑥 Ejemplo. Un perno de acero (S = 8.27 x 1010 Pa) de 1 cm de diámetro se proyecta 4 cm desde la pared. Al extremo se aplica una fuerza cortante de 36,000 N. ¿Cuál es la desviación ∆x del perno? 𝑙 𝐴= 𝜋. 𝐷 2 4 = 𝜋 .(0,01𝑚) 2 4 ∆𝑥 A = 7.85 x 10-5 m2 F 𝑆= 𝐹 𝐴 ∆𝑥 𝑙 = 𝐹.𝑙 ∆𝑥.𝐴 ∆𝑥= 𝐹.𝑙 𝑆.𝐴 ∆𝑥= 36000𝑁.0,04𝑚 8,27. 10 10 𝑃𝑎.7,85. 10 −5 𝑚 2 ∆x= 0,222mm

Elasticidad volumétrica AREA DE FISICA Elasticidad volumétrica No todas las deformaciones son lineales. A veces un esfuerzo aplicado F/A resulta en una disminución del volumen. En tales casos, existe un módulo volumétrico B de elasticidad. 𝐵= 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝐵=− 𝐹 𝐴 ∆𝑉 𝑉 =− ∆𝑃 ∆𝑉 𝑉 El signo (-) es para que B sea (+) ya que un aumento de presión ∆P(+) implica disminución de volumen ∆V(-) y viceversa.

AREA DE FISICA 𝐵=− ∆𝑃 ∆𝑉 𝑉 =− ∆𝑃.𝑉 ∆𝑉 ∆𝑉=− ∆𝑃.𝑉 𝐵 Ejemplo. Una prensa hidrostática contiene 5 litros de aceite. Encuentre la disminución en volumen del aceite si se sujeta a una presión de 3000 kPa. (Suponga que B = 1700 MPa.) 𝐵=− ∆𝑃 ∆𝑉 𝑉 =− ∆𝑃.𝑉 ∆𝑉 ∆𝑉=− ∆𝑃.𝑉 𝐵 =− 3. 10 6 𝑃𝑎.5𝑙 1700. 10 6 𝑃𝑎 ∆𝑉=−8,82ml