MATRICES Concepto Se llama matriz de orden m x n a todo conjunto de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij) con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Ejemplo a23= a34= a41= a32= a43=

Clasificación de matrices: Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n. Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1.

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n. Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria o contradiagonal

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc. De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j. Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji " i, j.

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0 es una matriz nula de orden 3 es una matriz nula de orden 2 x4 La matriz

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " i < j. Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " j < i. matriz triangular inferior matriz triangular superior

Operaciones con matrices Trasposición de matrices Suma y diferencia de matrices Producto de una matriz por un número Propiedades simplificativas Producto de matrices Matrices inversibles

Trasposición de matrices Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir: Propiedades de la trasposición de matrices: 1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única. 2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. (At)t = A.

Operaciones con matrices Suma y diferencia de matrices La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión. La suma de las matrices A y B se denota por A+B. Ejemplo                                                        Sin embargo,                            no se pueden sumar. La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)

Propiedades de la Suma de matrices 1ª. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad Asociativa 2ª. A + B = B + A Propiedad conmutativa Matriz Nula 3ª. A + 0 = A (0 es la matriz nula) 4ª. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.

Producto de una matriz por un escalar El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij. Ejemplo:

Propiedades del Producto de una matriz por un escalar 1ª. k (A + B) = k A + k B Propiedad distributiva 1ª 2ª. (k + h)A = k A + h A Propiedad distributiva 2ª Propiedad asociativa mixta 3ª. k [h A] = (k h) A . 4ª. 1 · A = A · 1 = A Elemento unidad

Propiedades simplificativas Si A + C = B + C Û A = B Si k A = k B Û A = B si k es distinto de 0 Si k A = h A Û h = k si A es distinto de 0

Producto de matrices Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma: Pij = aik bkj Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p, Es decir:

Ejemplo Calcule A.B Calcule A. Bt Calcule At.B

Aplicación pan carne leche 2000 2001 2002 2003

Propiedades del producto de matrices A·(B·C) = (A·B)·C (Propiedad asociativa) El producto de matrices en general no es conmutativo. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 . El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C

Consecuencias de las Propiedades Si A · B = 0 no implica que A = 0 ó B = 0 Si A · B = A · C no implica que B = C

Matrices inversibles Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular.

La matriz inversa, si existe, es única Propiedades de la inversión de matrices La matriz inversa, si existe, es única A-1·A = A·A-1= I (A·B)-1 = B-1·A-1 (A-1)-1 = A (kA)-1 = (1/k) · A-1 (At) –1 = (A-1) t

det (A) o |A| DETERMINANTES Sea se llama determinante de A a una función definida de Rnxn en R, de modo que la imagen de cada matriz es un número real. El determinante de una matriz se obtiene realizando operaciones con sus elementos, el procedimiento depende del orden de la matriz en cuestión. det (A) o |A|

Determinante de una matriz de orden 1 AR1x1 entonces |A| = a

Determinante de una matriz de orden 2 AR2x2 entonces

Ejemplo:

Determinante de una matriz de orden 3 AR3x3 entonces Este procedimiento se conoce como la regla de Sarrus

Ejemplo

Determinantes de orden mayor a 3 A través de los elementos de una línea o Regla de Laplace. Regla de Chio.

Menor complementario Se llama menor complementario de un elemento aij de una matriz cuadrada de orden n al determinante asociado a la matriz cuadrada de orden n-1 que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j donde se encuentra el elemento. Se lo denomina ij.

Ejemplo

Adjunto de un elemento Se llama adjunto de un elemento aij al número que se obtiene al multiplicar su menor complementario por (-1)i+j. Se simboliza Aij. Entonces Aij = (-1)i+j. ij.

Cálculo de determinantes a través de los elementos de una línea Cálculo de determinantes a través de los elementos de una línea. Regla de Laplace El valor de un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea cualquiera por su correspondiente adjunto |A|= aij.Aij

Ejemplo

Adjunta de una matriz Es la traspuesta de la matriz que se obtiene al reemplazar en la matriz, cada elemento por su adjunto. Se simboliza Adj A Adj A = (Aij)t

Ejemplo

Regla de Chio Este procedimiento permite reducir el orden de una matriz de orden n a una de orden n – 1 y de esa manera poder calcular más fácilmente su determinante. La regla a seguir es la siguiente: Tomar un elemento cualquiera no nulo, al que lo llamaremos pivote y se lo escribe como factor del determinante multiplicado por (-1)i+j. Marcar la fila y la columna del pivote.

Determinar los nuevos valores correspondientes a los elementos que estén en líneas distintas a las del pivote, para ello al elemento se les resta el producto de los elementos que figuren en la misma fila y columna que el pivote (los marcados) dividido por el pivote. El determinante así obtenido es de orden n – 1 y puede resolverse por cualquiera de los métodos aprendidos, incluso volver a aplicar la regla de Chio.

Ejemplo

sigue…

Operaciones elementales entre líneas de una matriz Permutar dos líneas paralelas entre sí. Multiplicar o dividir una línea por un escalar no nulo. Adición de una línea a otra paralela multiplicada por un escalar.

Ejemplo

Rango de una matriz El rango de una matriz es el mayor número de líneas (columnas o filas) linealmente independientes. Es el orden del determinante de mayor orden no nulo que se puede obtener con los elementos de la matriz. Es la mayor cantidad de vectores columna canónicos distintos que se pueden obtener en una matriz aplicando sucesivas operaciones elementales.

Vectores fila de una matriz: Las filas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Es posible que sean linealmente Independientes (L.I.) y es posible que unos dependan linealmente de otros. Por ejemplo: Sus dos filas son linealmente independientes Las dos primeras líneas son L.I., las otras dos dependen linealmente de las primeras Las dos primeras filas son L.I. la tercera depende linealmente de las dos primeras Se llama rango de una matriz al número de filas Linealmente Independientes

Vectores columna de una matriz: También las columnas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Podríamos definir rango de la matriz como el número de columnas linealmente independientes, pero aparece la duda de si esa definición puede contradecir en algún caso la anterior. Es decir: ¿Es posible que en una matriz el número de filas linealmente independientes sea distinto del número de columnas linealmente independiente?. El siguiente teorema nos asegura que no. Teorema En una matriz el número de filas L.I. coincide con el número de columnas L.I. Por esto podemos dar una nueva definición de Rango: Rango de una matriz es el número de filas, o columnas, linealmente independientes.

Rango de una matriz Usando Determinantes El rango de una matriz lo podemos calcular por dos métodos diferentes: Por el método de Gauss Usando Determinantes

Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss El método de Gauss consiste en aplicar transformaciones elementales a una matriz con objeto de conseguir que los elementos que están por debajo de la diagonal principal se anulen (aij = 0,para i > j). Para conseguir "triangular" la matriz debemos dejar en la diagonal principal elementos no nulos, salvo que la fila sea nula. Una vez aplicado este proceso de triangulación, el rango de la matriz es el número de filas no nulas de la matriz obtenida. Esto es fácil probarlo usando las propiedades de los determinantes.

Cálculo del rango de una matriz aplicando el método de Gauss Jordan Este método consiste en obtener una matriz equivalente a la dad en la cual aparezcan la mayor cantidad posible de vectores columna canónicos aplicando operaciones elementales

Procedimiento Se elige el pivote (distinto de 0, preferentemente 1). La fila del pivote de divide por el pivote. Los elementos de la columna del pivote se trasforman en 0, excepto del pivote. Los demás elementos se transforman por la regla del rectángulo. Se repite el procedimiento eligiendo otro pivote que no pertenezca ni a la fila ni a la columna del pivote elegido anteriormente.

Ejemplo Calcular r(A)

A-1. A = A . A-1 = I Inversa de una matriz Sea A una matriz cuadrada de orden n se llama inversa de A y se denota A-1, a la matriz tal que multiplicada por A se obtiene la identidad A-1 es la inversa de A si y solo sí A-1. A = A . A-1 = I

Método de Gauss Jordan Usando determinantes Para calcular la inversa de una matriz podemos utilizar uno de estos métodos: Método de Gauss Jordan Usando determinantes

Método de Gauss Jordan Para aplicar este método se escribe a la derecha de A la matriz identidad de orden n, obteniéndose así una matriz ampliada de orden 2nxn. Se aplica el método de Gauss Jordan visto anteriormente hasta que la matriz A se haya convertido en identidad. La matriz que queda a la derecha es la inversa de A. La condición necesaria para que una matriz cuadrada de orden n tenga inversa es que: r(A) = n

Ejemplo Encontrar la inversa de A

Usando determinantes

Ejemplo