Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 1 Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón Departamento de Electrónica. Universidad de Alcalá. Estas transparencias se han realizado contando con los apuntes confeccionados sobre el tema por los profesores Felipe Espinosa y Luis M. Bergasa CONTROL BORROSO

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 2 1.Control borroso frente a control convencional. 2.Fundamentos de lógica borrosa. 3.Fundamentos de control borroso. 4.Aspectos formales de lógica borrosa. 5.Ajuste de controladores borrosos. 6.Fuzzy toolbox de Matlab (introducción). Contenido

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 3 Control borroso frente a control convencional

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 4 Introducción al control borroso So far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain. And so far as they are certain, they do not refer to reality. Albert Einstein As complexity rises, precise statements lose meaning and meaningful statements lose precision Lotfi A. Zadeh

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 5 Introducción al control borroso Proceso Reference Input r(t) Inputs u(t) Outputs y(t)  ¿Por qué?: Dar solución al control de plantas de difícil modelado matemático.  ¿Cómo?: Mediante el uso de la lógica borrosa.  ¿Qué permite la lógica borrosa?: Proporciona una metodología formal para aplicar el conocimiento heurístico humano al control de procesos.  Algunos ejemplos cotidianos: Conducir una bicicleta, mantener una escoba en posición vertical sobre un dedo, conducir un coche. Controlador borroso

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 6 Introducción al control borroso  Algunas razones que justifican el control borroso Es conceptualmente fácil de entender. Es flexible y tolerante a la imprecisión de datos. Permite modelar funciones no lineales, aunque su complejidad sea elevada. Se describe a partir del conocimiento e intuición de expertos. Los controladores borrosos no son incompatibles con los convencionales.  ¿Qué se va a abordar en lo que sigue? El estudio del control borroso como alternativa al control realimentado sincronizado, continuo o periódicamente actualizado.  Control borroso y control convencional Control convencional: está basado en el modelo del proceso a controlar: lineal y no lineal, continuo y discreto, en el dominio del tiempo o transformado. El lenguaje propio son ecuaciones diferenciales/diferencias. Control borroso: parte del comportamiento del proceso a controlar, donde la intuición pesa tanto como la razón. El lenguaje propio son las reglas heurísticas.

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 7 Diseño de sistemas de control convencional Proceso (Process) Modelo Matemático Reference Input r(t) Inputs u(t) Outputs y(t) Controlador PID, polo-cero, etc Modelado matemático del proceso Diseño del controlador Evaluación diseño

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 8 Diseño de sistemas de control convencional  Modelado matemático: Fundamental para obtener un buen comportamiento del sistema realimentado. Es importante conjugar, para obtener el modelo, tanto el estudio físico como la identificación utilizando datos experimentales. Por muy bueno que sea el modelo nunca será un fiel reflejo de la planta (pero en muchos casos un modelo aproximado es suficiente).  Diseño del controlador: A nivel de algoritmo: estabilidad, rechazo a perturbaciones externas, insensibilidad a variaciones de parámetros de la planta, régimen transitorio, régimen permanente. A nivel de implementación: simplificación hardware, disponibilidad de sistemas electrónicos, mantenimiento, fiabilidad, costes de desarrollo, etc. A nivel de soluciones: si se trata de sistemas lineales con modelo de función de transferencia: PID´s, red cero-polo; si VVEE: realimentación del vector de estado con o sin observadores. Se pueden usar técnicas óptimo, robusto y adaptativo.  Evaluación del diseño: Estudio matemático basado en el modelo de la planta. Simulación del sistema en lazo cerrado. Ensayo experimental.

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 9 Diseño de sistemas de control borroso  Elementos básicos de un controlador borroso: Base de conocimiento (“rule-base”). Mecanismo de inferencia (“inference mechanism”). Interfaz de borrosificación (“fuzzification”). Interfaz de desborrosificación (“defuzzification”). Borrosificación (Fuzzification) Base conocimientio (Rule-base) Mecanismo inferencia (Inference mechanism) Desborrosificación (Defuzzification) Proceso (Process) Controlador Borroso (Fuzzy Controller) Reference Input r(t) Inputs u(t) Outputs y(t) Inputs e(t) Entradas borrosificadas Conclusiones borrosas comparador

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 10 Fundamentos de la lógica borrosa

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 11  La lógica borrosa es una extensión de la lógica booleana.  Se basa en la experiencia humana, y la pertenencia a un grupo u otro es una cuestión de grado de precisión.  En lógica borrosa cada afirmación es un problema “de grado de verdad”.  Un conjunto borroso es un conjunto sin límites abruptos ni claramente definidos. Pueden existir elementos con un cierto grado de pertenencia.  El conjunto borroso está asociado a un valor lingüístico, definido por una palabra, adjetivo o etiqueta lingüística (muy joven, joven, adulto, mayor, muy mayor, etc).  La certeza o certidumbre con que una variable x se le puede asignar el valor lingüístico (conjunto borroso) “i” se indica por una función de pertenencia μ i (x). Fundamentos de la lógica borrosa

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 12 Fundamentos de la lógica borrosa La lógica borrosa es un procedimiento de análisis del razonamiento aproximado, que utiliza las imprecisiones del mismo. Incluye (a grandes rasgos): (1)Se puede considerar que es el acto de obtener un valor de entrada y encontrar el valor numérico de la función de pertenencia que esta definida para ese valor. Es otra forma de representación los valores numéricos de las variables de entrada. Variables de entrada Entradas borrosas Conjuntos Borrosos Funciones de pertenencia Borrosificador (1) (Fuzzification) Inferencia (reglas) Desborrosificador (Defuzzification) Salidas borrosas Conjuntos Borrosos Funciones de pertenencia Variables de salida

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 13 Borrosificación 1.-Definir las variables de entrada y salida: temperatura, edad, estatura, velocidad, fuerza, Definir el margen de variación (universo de discurso) de cada variable Temperatura: - 40 a 70 ºC, Edad: 0 a 100 años, Estatura: 0 a 200 cm. 2.- Definir todos los conjuntos borrosos y el valor lingüístico, asociado a cada uno: Variable: Temperatura Valores lingüísticos: negativa_alta, negativa_baja, cero, positiva_baja, positiva_alta Variable: Edad Valores lingüísticos: muy_joven, joven, maduro, viejo 3.- Para cada conjunto (valor lingüístico) definir una función de pertenencia o inclusión (membership function) que indique el grado en que una variable “x” está incluida en los conceptos representados por las variables lingüísticas. μ i (x) indica el grado en que “x” está incluida en el conjunto “i”. A μ i (x) se le conoce como función de pertenencia de “x” en “i”. El valor de pertenencia tiene que variar entre 0 y 1.

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 14 1.Variable: x= edad. Universo de discurso: 0 ≤ x ≤ 100 años. 2.Valores lingüísticos (conjuntos): MJ = muy_joven, JO= joven, MA=maduro, VI=viejo. 3.Definición de las funciones de pertenencia, μ i (x).  Con conjuntos booleanos μ i (x) sólo puede tomar dos valores: 0 ó 1.  μ i (x) = 0 indica negación, μ i (x) = 1 indica afirmación. x = edad = 27 años: μ MJ (x) = 0, μ JO (x) = 1, μ MA (x) = 0, μ VI (x) = x = edad 1010 μ MJ (x) μ JO (x) μ MA (x) μ VI (x) MJ JO MA VI Borrosificación: Caso de “Lógica clásica” Ejemplo: Edad de las personas

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 15 1.Variable: x= edad. Universo de discurso: 0 ≤ x ≤ 100 años. 2.Valores lingüísticos (conjuntos): MJ = muy_joven, JO= joven, MA=maduro, VI=viejo. 3.Definición de las funciones de pertenencia, μ i (x).  Al tratarse de conjuntos borrosos μ i (x) puede tomar cualquier valor entre 0 y 1. x = edad = 27 años: μ MJ (x) = 0.4, μ JO (x) = 0.6, μ MA (x) = 0, μ VI (x) = x = edad μ MJ (x) μ JO (x) μ MA (x) μ VI (x) MJ JO MA VI Borrosificación: Caso de “Lógica borrosa” Ejemplo: Edad de las personas

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 16  La función de pertenencia puede ser una curva arbitraria.  Dependiendo de la aplicación y del diseñador se pueden elegir diferentes tipos de funciones de pertenencia (“membership function”). Las más frecuentes son: triangular, trapezoidal, gausiana. Funciones de pertenencia

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 17  Los conjuntos y operadores borrosos se pueden considerar como los sujetos y los verbos de la lógica borrosa.  Los conjuntos borrosos se combinan en reglas para definir acciones como por ejemplo, si la temperatura es alta entonces enfría mucho.  Para poder expresar algo útil es necesario hacer frases completas. Las afirmaciones condicionales, reglas if-then, son las que lo hacen posible.  La estructura general de una regla borrosa es: If CONDICIONES then ACTUACIONES If x 1 es F 1 and x 2 es F 2 and x 3 es F 3 then u 1 es G 1 and u 2 es G 2 “condiciones”= “antecedentes” = “premisas”: es un escalar comprendido entre 0 y 1 “actuaciones” = “consecuencia” = “conclusión”: es un conjunto borroso Inferencia: Reglas borrosas

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 18  Las reglas pueden ser tipo SISO, SIMO, MISO, MIMO: SISO: If x es A 1 then u es B 1. SIMO: If x es A 1 then u 1 es B 1 and u 2 es B 2 MISO: If x es A 1 and y es A 2 then u es B 1 MIMO: If x es A 1 and y es A 2 then u 1 es B 1 and u 2 es B 2  Las reglas SIMO y MIMO se pueden convertir en SISO y MISO, respectivamente. Ejemplo: If x es A 1 and y es A 2 then u 1 es B 1 and u 2 es B 2 Es equivalente a: If x es A 1 and y es A 2 then u 1 es B 1 If x es A 1 and y es A 2 then u 2 es B 2 Inferencia: Reglas borrosas

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 19 Inferencia: Operadores borrosos Caso de “Lógica clásica”  Sean dos conjuntos A y B, asociados a la variable x.  Se definen tres funciones básicas: Intersección (AND): min(A,B): μ A∩B (x) =min[μ A (x), μ B (x) ] Unión (OR): máx(A,B): μ A  B (x) = max[μ A (x), μ B (x)] Complemento (NOT): μ A (x) = 1- μ A (x) ANDORNOT(A) A B μ A (x) μ B (x) mín(A,B) μ A∩B (x) = min[μ A (x), μ B (x) ] máx(A,B) μ A  B (x) = máx[μ A (x), μ B (x) ] μ A (x) = 1- μ A (x)

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 20  Sean dos conjuntos A y B, asociados a la variable x.  Se definen tres funciones básicas: intersección (AND), unión (OR) y complemento 1. Intersección (AND) borrosa (norma triangular): Alternativa 1: mín (A,B): μ A∩B (x) = min[μ A (x), μ B (x)] Alternativa 2: prod(A,B): μ A∩B (x) = [μ A (x).μ B (x)] 2.Unión (OR) borrosa (co-norma triangular): Alternativa 1: máx(A,B): μ A  B (x) =max[μ A (x), μ B (x) ] Alternativa 2 (suma algebraica): probor(A,B): μ A  B (x) =[μ A (x)+μ B (x) - μ A (x).μ B (x)] 3.Función NOT: μ A (x) = 1- μ A (x) A B min(A,B) A B prod(A,B) A B max(A, B) A B probor(A, B) Inferencia: Operadores borrosos Caso de “Lógica borrosa”

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica Matching o correspondencia: Evalúa el grado de certeza de la premisa para los valores actuales de las variables de entrada, determina la función de pertenencia de la premisa. Si regla que se evalúa es la “n”: el grado de certeza se representa por μ Premisa(n) 2.- Conclusiones (Inferencia): Establece las conclusiones en función de las entradas actuales. Asigna a cada variable de salida del consecuente el conjunto borroso correspondiente modificado en el grado especificado por μ Premisa(n). La función de pertenencia del conjunto modificado se representa por μ (n) (u). Aquí “n” es la regla evaluada y “u” es la variable de salida.  Se entiende por inferencia borrosa la interpretación de las reglas if-then, con el objetivo de obtener las conclusiones de las variables lingüísticas de salida a partir de los valores actuales de las variables lingüísticas de entrada.  Conlleva dos fases: Inferencia

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 22 Inferencia  ¿Cómo se obtiene el grado de certeza de una premisa, μ premisa (n) ? Supongamos la regla (n): If x 1 es F 1 and x 2 es F 2 and x 3 es F 3 then u 1 es G 1 1.Evaluar para cada entra (x 1, x 2, …), en función de su valor actual, la función de pertenencia: μ F1 (x 1 ), μ F2 (x 2 ), μ F3 (x 3 )… certeza con que la variable de entrada “x i “ pertenece al conjunto borroso F i 2.Evaluar la función “and”, para obtener μ premisa (n). Existen dos alternativas: Mínimo: Producto:

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 23 Regla 1: If x es A and y es B then u es D μ premisa(1) = min{μ A (x), μ B (x)} = 0.4: “tenemos una certeza de 0.4 de que esta regla (regla 1) es aplicable a la situación actual (valores actuales)” “x es A and y es B” A B μ A (x)=0.6 x y Valor de x actual Valor de y actual μ B (y)=0.4 Cuantificado con μ A (x) Cuantificado con μB(y)μB(y) Inferencia Ejemplo de inferencia

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 24 Inferencia  ¿Cómo se modifica el conjunto borroso de salida, en el grado especificado por μ Premisa(n) ?.  Principio general: “La acción no puede tener un nivel de certeza superior al que tiene la premisa”.  Llamando μ accion(n) (u 1 ) el conjunto borroso de salida de la acción “u 1 ”, y μ regla_n (u 1 ) al conjunto borroso de salida de la acción “u 1 ” modificado por μ Premisa(n), las dos alternativas más frecuentes son: Truncamiento (chop off the top): μ regla_n (u) = mín{μ Premisa(n), μ acción(n) (u)} Escalado (product): μ regla_n (u) = μ Premisa(n).μ acción(n) (u)

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 25 Inferencia  Truncamiento (chop off the top): Conjunto borroso de salida: μ acción (n) (u) μ Premisa (n) μ regla_n (u) = min{μ Premisa(n), μ acción(n) (u)} u  Escalado (product): Conjunto borroso de salida: μ acción (n) (u) μ Premisa(n) μ regla_n (u) = μ Premisa(n).μ acción(n) (u) u Las áreas dan idea de certidumbre de la conclusión

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 26 Inferencia Ejemplo: Control de frenado  Control de frenado de un vehículo en función de su velocidad y distancia al que le precede.  Variables de entrada: x= velocidad, y= distancia  Valores entradas de velocidad (conjuntos borrosos):  Valores entradas de distancia  Variable de salida: u= fuerza_sobre_ freno  Valores de salida:

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 27 Baja Media Alta Débil fuerte muy_fuerte μ alta (x) x=Velocidad (Km/h) μ media (x) μ Baja (x) muy_pequeña pequeña grande y= distancia (m) μ muy_pequeña (y) μ pequeña (y) μ grande (y) u=Fuerza (N) μ debil (u) μ fuerte (u) μ muy_fuerte (u) Salidas nunca saturadas Inferencia Ejemplo: Control de frenado

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica x=Velocidad (Km/h) y= distancia (m) μ muy_pequeña (y) μ media (x) μ alta (x) μ Baja (x) μ pequeña (y) μ grande (y)  Supongamos: x=70Km/h, y=10m  Y dos reglas: 1.If x es baja and y muy_pequeña then u es fuerte 2.If x es media and y muy_pequeña then u es muy_fuerte Inferencia Ejemplo: Control de frenado

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 29 “x es baja and y muy_pequeña” Cuantificado con Cuantificado con y μ muy_pequeña (y) x μ Baja (x) 0.2 μ premisa(1) =min{μ Baja (x), μ muy_pequeña (y)} = x μ media (x) y μ muy_pequeña (y) 0.4 “x es media and y muy_pequeña ” μ premisa(1) =min{μ media (x), μ muy_pequeña (y)} = 0.4 Inferencia Ejemplo: Control de frenado

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 30 1.If x es baja and y muy_pequeña then u es fuerte 2.If x es media and y muy_pequeña then u es muy_fuerte x μ media (x) y μ muy_pequeña (y) u μ muy_fuerte (u) μ regla_2 (u) μ fuerte (u) y μ muy_pequeña (y) x μ Baja (x) u μ regla_1 (u) Inferencia Ejemplo: Control de frenado

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 31 If x es baja and y muy_pequeña then u es fuerte If x es media and y muy_pequeña then u es muy_fuerte u μ fuerte (u) u μ muy_fuerte (u) u μ Premisa(1) =min [μ baja (x), μ muy_pequeña (y)] = μ regla_1 (u) μ Premisa(1) =min [μ media (x), μ muy_pequeña (y)] =0.4 μ regla_2 (u) Implicación 0.4 u Inferencia Ejemplo: Control de frenado

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 32  En general se requieren dos o más reglas de forma que compitan unas con otras.  La salida de cada regla es un conjunto borroso (modificado por la correspondiente premisa μpremisa(n)).  La salida para un conjunto de reglas debe ser un único número.  ¿Cómo se agregan (mezclan) los conjuntos borrosos, μregla(n)(u), que resultan de cada regla para que la variable de salida sea un único número?: se agregan en un solo conjunto borroso y a partir de este último se obtiene el valor de la salida. μ rgla_1 (u) μ regla_2 (u) μ regla_n (u) Agregación Desborrosificador u crisp Inferencia: Agregación de salida de reglas

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 33 If x es A and y es B then u es C μ Premisa(1) =mín [μ A (x), μ B (y)] Premisa (1) If x es D and y es E then u es F μ C (u) Truncamiento Concl. Conclusión Premisa (2) Concl. μ Premisa(2) =mín [μ D (x), μ E (y)] u 1 u μ F (u) u 2 u Truncamiento Conclusión u 2 u u 1 u 2 u Salida u crisp Implicación Agregación de reglas μ regla_1 (u) μ regla_1 (u)=mín [μ Premisa(1), μ C (u)] μ regla_2 (u)=mín [μ Premisa(2), μ F (u)] μ regla_2 (u) Inferencia: Agregación de salida de reglas

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 34 If x es A and y es B then u es C μ Premisa(1) =min [μ A (x), μ B (y)] Premisa (1) If x es D and y es E then u es F μ C (u) Escalado Concl. Conclusión Premisa (2) Concl. μ Premisa(2) =min [μ D (x), μ E (y)] u 1 u μ F (u) u 2 u Escalado Conclusión u 2 u u 1 u 2 u Implicación Agregación de reglas μ regla_1 (u) μ regla_1 (u)=μ Premisa(1). μ C (u) μ regla_2 (u)=μ Premisa(2). μ F (u) μ regla_2 (u) Salida u crisp Inferencia: Agregación de salida de reglas

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 35  La entrada para la desborrosificación es un conjunto borroso, el que resulta de la agregación, y la salida es un número (u crisp ).  Se puede entender como el proceso de decodificación de la información borrosa producida por los procesos de inferencia y agregación.  De entre las diferentes alternativas de desborrosificación, las dos más conocidas son: Centro de gravedad (COG) del área definida por el conjunto borroso resultante de la agregación. Centros ponderados (center-average).  Existen otras alternativas de desborrosificación, pero no existen argumentos para decidir cuál es la mejor. Desborrosificación

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 36 Desborrosificación: COG Se suele utilizar para el caso de truncamiento. b i = centro de las funciones de pertenencia del conjunto para la regla “i”, μ regla_i = área bajo la función de pertenencia μ regla_i Recordad: Para un trapecio de base “w” y altura “h”, su área es: Hay que asegurar que el denominador sea distinto de cero …. b 1 b 2 b 3 b i b N u μ regla_1 μ regla_3 μ regla_i μ regla_N μ regla_2

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 37 Desborrosificación: Centros ponderados Se suele utilizar para el caso de escalado Para el cálculo de la función de pertenencia de la premisa μ premisa(i) se puede utilizar el mínimo o el producto …. b 1 b 2 b 3 b i b N u μ premisa(1) μ premisa(N)

Daniel Pizarro Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 38 Desborrosificación Ejemplos u(t), (N) NP CE  μ (i) u=-6.81 COG Centros ponderados u(t), (N) NP CE u b crisp ireglai i i i        _ _    [(. (.) ]()[(.. ) (.. )(.. )