ANALISIS MATEMATICO PARA ECONOMISTAS III PROFESOR: LUIS FIGUEROA SALINAS TEMA: REGLA DE LA CADENA , DIFERENCIACION TOTAL INTEGRANTES: BENDRELL ZULOAGA, DEBORATH. DELGADO AZABACHE, MOISES. JARA VALLEJOS, STEFANIA. MARIN OLORTEGUI, ANGEL.

Ejercicio Nº 1: Use la regla de la cadena para hallar dz/dt.Compruebe su Escribiendo explícitamente z como una función de t y diferenciando directamente con respecto a z. Z = X + 2Y X = 3t , Y = 2t + 1 Por la fórmula de la Regla de la Cadena hallamos dz : dt dz = dz . dx + dz . dy ……………Formula de la Regla de la Cadena dt dx dt dy dt dz = 1*3 + 2*2 dz = 3 + 4 = 7

Comprobamos escribiendo explícitamente z en función de t Z = X + 2Y Z = 3t + 4t + 1 Z = 7t + 1…………….(a) Derivamos la ecuación (a) para la comprobación: dz = 7 dt Ejercicio Nº 2:   Una tienda de pinturas vende dos marcas de pintura plástica. Los cálculos de ventas indican que si la primera marca se vende a x dólares el galón y la segunda a y dólares el galón, la demanda de la primera marca será de Q = 200- 10x2 + 20y galones por mes. Se estima que dentro de t meses el precio de la primera marca será de X = 5 + 0.02t dólares el galón y el precio de la segunda marca será de Y = 6 + 0.4 √ t dólares el galón. ¿A qué ritmo estará cambiando la demanda de la primera marca de pintura dentro de 9 meses?

Q = 200- 10x2 + 20y X = 5 + 0.02t Y = 6 + 0.4 √ t dQ = dQ dx + dQ . dy ……………Formula de la Regla de la dt dx dt dy dt Cadena dQ = -20x(0.02) + 20( ½*(0.4) 1/ √t) dt   dQ = -0.4x + 4/√t   dQ = -0.4( 5 + 0.02t) + 4/√t dQ = -2 – 0.008t + 4/√t

dQ t = 9 dt dQ = -2 – 0.008(9) + 4/√9   dQ = -2.072 + 4/3 dQ =-0.739 Dentro de 9 meses la demanda decrecerá en 0.739 galones

Ejercicio 3: Resolver mediante Regla de la Cadena Z = x 1/2 y 1/3 x = 2 t y = 2 t 2 t = 2 Solución 1: Por Propiedad: dz/dt = (dz/dx) (dx/dt) + (dz/dy) (dy/dt) Resolvemos cada derivada de las funciones dadas: dz/dx = (y 1/3) / (2 x 1/2) dx/dt = 2 dz/dy = (x 1/2) / (3 y 2/3) dy/dt = 4 t Reemplazo en: dz/dt = (dz/dx) (dx/dt) + (dz/dy) (dy/dt) Entonces: dz/dt = (y 1/3 / 2 x 1/2) (2) + (x 1/2 / 3 y 2/3) (4 t) Por lo tanto: dz/dt = (3 y + 4 x t) / (3 x 1/2 y 2/3) Reemplazo los valores de “x” e “y”, ya que x = 2 t y = 2 t 2 t = 2; x = 4 y = 8 Ahora: dz/dt = (3 y + 4 x t) / (3 x 1/2 y 2/3) = (24 + 32) / (12) Entonces dz/dt = 56 / 12 = 14 / 3 RPTA

Solución 2: Convirtiendo z en función a t Reemplazo los valores de “x” e “y” X = 2 t y = 2 t 2 t = 2 Z = x 1/2 y 1/3 Z = (2 t) 1/2 (2 t 2) 1/3 derivamos respecto a t dz/dt = (2 t2)1/3 / (2 t) 1/2 + (4 t) (2 t) 1/2 / 3 (2 t2)2/3 = 3 (2 t2) + (4 t) (2 t) = 56 /12 = 14/3 3 (2 t) ½ (2 t 2) 2/3 RPTA

Ejercicio 4: Z = x y x = e 2 t y = e 3 t Solución 1: Por Propiedad: dz/dt = (dz/dx) (dx/dt) + (dz/dy) (dy/dt) Resolvemos cada derivada de las funciones dadas: Así tendremos: dz/dx = y dx/dt = 2 e 2 t dz/dy = x dy/dt = 3 e 3 t Reemplazo : dz/dt = (dz/dx) (dx/dt) + (dz/dy) (dy/dt) Obteniendo: dz/dt = (y) (2 e 2 t) + (x) (3 e 3 t) = (e 3 t) (2 e 2 t) + (e 2 t) (3 e 3 t) Por lo tanto: dz/dt = 2 e 5 t + 3 e 5 t = 5 e 5 t = 5e0 = 5 RPTA

Solución 2: Convirtiendo z en función a t Reemplazo los valores de “x” e “y”, ya que: Z = x y x = e 2 t y = e 3 t Z = (e 2 t ) (e 3 t) Z = e 5 t Por lo tanto obtendría: dz/dt = 5 e 5 t = 5e0 = 5 RPTA

Ejercicio 5:   Un comerciante de bicicletas ha encontrado que si las bicicletas de 10 velocidades se venden a x dólares cada una y el precio de la gasolina es de y centavos por galón, se venderán cada mes aproximadamente f(x, y) = 200- 24x1/2 + 4( 0.1y + 5)3/2 bicicletas. Se estima que dentro de t meses las bicicletas se venderán a 129 + 5t dólares cada una el precio de la gasolina será de 80 + 10 (3t)1/2 centavos por galón. ¿A qué ritmo estará cambiando la demanda mensual de bicicletas dentro de 3 meses? Tenemos que:  f(x, y) = 200- 24x1/2 + 4( 0.1y + 5)3/2..........demanda de bicicletas x = 129 + 5t.........................precio de las bicicletas y = 80 + 10 (3t)1/2................precio de la gasolina

Usando la Regla de la cadena:   df = f . dx + f . dy dt x dt y dt   df = (200 – 24x1/2 + 4( 0.1y + 5)3/2 ) d(129 +5t) + (200–24x1/2 + 4( 0.1y + 5)3/2) d(80+10*(3t)1/2) dt x dt df = -24 * 5 + 3/2*4 (0.1y + 5)1/2 0.1* 15 dt 2x1/2 (3t)1/2 df = -60/x1/2 + 9( 0.1y +5 )1/2 dt (3t)1/2

Reemplazando x e y:   df = -60/ (129 + 5t)1/2 + 9( 0.1(80 + 10(3t)1/2) + 5) 1/2 dt (3t)1/2 df = -60/(129+5*3)1/2+9(0.1(80+10*(3*3)1/2)+ 5) 1/2 dt t=3 (3*3)1/2 = -60/(144) ½ + 9(0.1*110 + 5) 1/2 3 = -5 + 12 = 7 Dentro de 3 meses la demanda de bicicletas aumentará en 7 bicicletas aproximadamente.

Ejercicio 6:   En una cierta fábrica la producción es de Q = 120K1/2 L 1/3 unidades, donde K represéntale capital invertido medido en unidades de 1000 dólares y L el tamaño de la fuerza de trabajo medida en horas-trabajador. El capital actualmente invertido es de 400000 dólares y se usan actualmente 1000 horas-trabajador. Use la diferencial total de Q para estimar el cambio en la producción que resultará si el capital invertido se aumenta en 500 dólares y el trabajo se aumenta en 4 horas- trabajador. Tenemos que: Q = 120K1/2 L 1/3 ...........Producción K = 400........................capital actual L = 1000......................Trabajo ∆K = 0.5 ∆L = 4

Por diferenciación total:   Q = Q ∆K + Q ∆L K L Q = 60 L1/3 ∆K + 40 K1/2 ∆L K1/2 L 1/3 Q = 60 (1000)1/3 0.5 + 40( 400)1/2 4 (400)1/2 (1000)1/3 Q = 15 + 320 Q = 335 La producción va a aumentar 335 unidades cuando el capital K aumente en 400000 dólares y cuando el trabajo L aumente en 4 horas- trabajador.

Ejercicio 7: La producción de una cierta fabrica es de Q(x,y)=0.08x^2+0,12xy+0.03y^2 unidades por día, donde “x” es el número de horas usadas de trabajo experimentado e “y” es el numero de horas usadas de trabajo no experimentado. Actualmente se usan cada día 80 horas de trabajo experimentado y 200 horas de trabajo no experimentado. Utilice la diferencial total de Q para estimar el cambio que resultara en la producción si se usa ½ hora adicional de trabajo experimentado junto con 2 horas adicionales de trabajo no experimentado. Resolución: Trabajo experimentado “x” =80 hrs. Trabajo no experimentado “y”=200 hrs. Variación de “x” =1/2 hr. Variación de “y” =2 hrs. ∆Q= ∂Q ∆x + ∂Q ∆y ∂x ∂y

Trabajo experimentado “x” =80 hrs. Resolución: Trabajo experimentado “x” =80 hrs. Trabajo no experimentado “y”=200 hrs. Variación de “x” =1/2 hr. Variación de “y” =2 hrs. ∆Q= ∂Q ∆x + ∂Q ∆y ∂x ∂y ∆Q= ∂(0.08x^2+0,12xy+0.03y^2) ∆x + ∂(0.08x^2+0,12xy+0.03y^2) ∆y ∂x ∂y = (0.16x+0.12y) ∆x+ (0.12x +0.06y) ∆y =(1.06(80)+0.12(200)) (1/2) + ( 0.12(80)+0.06(200)) (2) ∆Q= 61.6

Ejercicio 8 : Un editor estima que si se gastan “x” miles de dólares en desarrollo e “y” miles de dólares en promoción, se venderán aproximadamente Q(x,y)= 20x^3/2y ejemplares de un nuevo libro. Los planes actuales necesitan el gasto de 36.000 dólares en desarrollo y 25.000 en promoción. Use la diferencial total de Q para estimar el cambio de ventas que resultara si la cantidad gastada aumenta en 500 dólares y la cantidad gastada en promoción disminuye en 500 dólares. Resolución: Q(x,y)= 20x^3/2y Gasto en desarrollo “x” = 36 Gasto en promoción “y” = 25 Variación de “x”: ∆x = 0.5 Variación de “y” ∆y = -0.5 ∆Q= ∂Q ∆x + ∂Q ∆y ∂x ∂y

∆Q= ∂(20x^3/2y) ∆x + ∂(20x^3/2y) ∆y (30*36^1/2 *25) (0.5) + (20*36^3/2)(-0.5) ∆Q = 30*6*25*0.5 + 20*216*-0.5 ∆Q = 2250 – 2160 ∆Q = 90