Universidad de Managua Tema: Productos Notables y Factorización de Polinomios. Docente: Msc. Ing. Ariel Linarte Ulloa.

Definición Productos notables Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación Tipos de productos notables Cuadrado de la suma de dos cantidades: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Cuadrado de la diferencia de dos cantidades: (a - b)2 = a2 – 2ab + b2 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades: (a + b) (a - b) = a2 - b2

El cubo de la suma de dos cantidades: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 El cubo de la diferencia de dos cantidades: (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Ejemplos (ax + bx+1)2 = (3x4 – 5y2)2 = (xa+1 – 3xa-2)2 = (y2 – 3y) (y2 + 3y) = (a + 1)3 =

Descomposición Factorial Factores: se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera división. Descomponer en factores o facturar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores.

Caso 1: Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común Factor común monomio. Factor común polinomio: descomponer x (a + b) + m (a + b) los dos términos de esta expresión tienen de factor común al binomio (a + b); x (a + b) + m (a + b) = (a + b) (x + m)

Factorar a2 + 2a = 18mxy2 – 54m2x2y2 + 36my2 = 2x (a – 1) – y (a – 1) =

Caso II: Factor Común Por Agrupación De Términos Descomponer ax + bx + ay + by (ax + bx) + (ay + by) x (a + b) + y (a + b); R: (a + b) (x + y) Factorar: 3m2 – 6mn + 4m – 8n = 2x2 – 3xy – 4x + 6y =

Caso III: Trinomio Cuadrado Perfecto Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto: Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por si mismo o se eleva al cuadrado.

Factorar m2 + 2m + 1 1 – 16ax2 + 64a2x4

Caso IV: Diferencia de Cuadrados Perfectos (a2 – b2) = (a + b) (a – b) Regla: se extrae la raíz cuadrada al minuendo y sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo. Factorar 49 x2y6 z10 – a12 = A2 / 4 – b2 / 9 =

Caso V: Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción x4 + x2 y2 + y4 = 4a4 + 8a2 b2 + 9b4 =

Caso VI: Trinomio de la Forma x2 + bx + c y2 – 8y + 15 = x2 + 2x – 15

Caso VII: Trinomio de la Forma ax2 + bx + c 6x2 – 7x – 3 = 20x2 +7x – 6 =

Caso VIII: Cubo Perfecto de Binomios Para que una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra sea el cubo de un binomio tiene que cumplir las siguientes condiciones: Tener cuatro términos. Que el primero y el último términos sean cubos perfectos. Que el segundo término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término. Que el tercer término sea mas el triplo de la raíz cúbica del primer termino por el cuadrado de la raíz cúbica del último.

Factorar 8 + 36x + 54x2 + 27x3 = m3 – 3am2n + 3a2mn2 – a3n3 =

Caso IX: Suma o Diferencia de Cubos Perfectos a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) Regla 1: la suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: La suma de sus raíces cúbicas. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz. Regla 2 La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: La diferencia de sus raíces cúbicas. El cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda.

Factorar x3 + 1 = 1+a3 =

Expresiones Algebraicas: simplificación de fracciones Regla: se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se suprimen los factores comunes al numerador y denominador.