La plática del día de hoy forma parte de un esfuerzo conjunto que busca, principalmente, el motivar y promover el estudio de las matemáticas. El tema a tratar está relacionado con los temas de ecuaciones diferenciales y el de la tranformada de Laplace. Tu presencia el día de hoy nos motiva a seguir participando en este esfuerzo conjunto. Comité organizador

“Modelación y Estudio de las ecuaciones diferenciales l. c. c. c “Modelación y Estudio de las ecuaciones diferenciales l.c.c.c. en el dominio de Laplace (frecuencia) utilizando MATLAB-SIMULINK” Maestro: Francisco Palomera Palacios Departamento de Mecatrónica y Automatización, ITESM, Campus Monterrey fpalomera@itesm.mx

Motivación Análisis y estudio intuitivo (no formal) de las ecuaciones diferenciales lineales c.c.c. a través de la transformada de Laplace. Ilustrar el comportamiento de la respuesta de sistemas físicos con la ayuda del programa computacional MATLAB-SIMULINK. El que haya personas interesadas en promover, motivar y escuchar sobre el tema de ecuaciones diferenciales y la Transformada de Laplace.

Modelación de Sistemas Dinámicos utilizando Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) Sistema Mecánico (sistema de suspensión en los autos) Sistema Hidráulico (llenado de un tanque) Sistema térmico (temperatura en un horno) Sistema Eléctrico (velocidad de motores) Sistema Fisiológico (efecto de una dosis en el cuerpo h. ) Sistema Económico ( inflación) Sistema de producción (producción entre máquinas) Sistema Físico Sistema (Físico) a modelar y(t) u(t) Función forzante Respuesta del sistema Relación causal

Para obtener una ecuación diferencial, podemos utilizar: Leyes físicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema, rigen la relación causal entre las variables de interés. Pruebas experimentales (análisis de la respuesta transitoria del sistema ante una función forzante conocida). Por analogías de comportamientos entre sistemas que guardan un comportamiento similar, a pesar de ser de naturaleza diferente. Aplicación de algoritmos y recursos computacionales para procesar los datos obtenidos de pruebas experimentales. …

Sistemas físico: Temperatura en un horno Flujo de Combustible: qi(t) Horno Temperatura: T(t)horno Relación causal Temperatura Flujo de gas

Sistema Físico:Llenado de un tanque Nivel: h(t); Caudal de Salida, qo(t) Caudal de entrada qi(t) Relación causal

Análisis de una ecuación diferencial lineal c. c. c. Sistema (Físico) a modelar y(t) u(t) Función forzante Respuesta del sistema La respuesta y(t) de un sistema mecánico ante una función forzante u(t) está definida por la ecuación diferencial; y(0)= 2; y’(0) = 0 u(t): Comportamiento deseado

Función forzante: u(t)

Analogía de Sistemas de Primer Orden qi(t) 0(t) dq0(t) q dt d + q0(t) = R.A t K: Ganancia en estado estable : Constante de tiempo

La transformada de Laplace en la modelación, estudio y solución de las ecuaciones diferenciales.

Relación entre f(t) y su equivalente F(s). Plano Complejo: s =  + j j: Eje Imaginario tiempo Ejemplos  : Eje real

Principales funciones a obtener de una ecuación diferencial: G(s) y Y(s) Al aplicar la Transformada de Laplace a una ecuación diferencial, dos expresiones son de gran interés: 1) Y(S): La función respuesta de un sistema. (incluye las c.i. y a la función forzante) ; Función de transferencia del sistema (considera c.i.=0 y no se sustituye la función forzante. jw  x o o x Tanto G(s) como Y(s) estan formadas por los términos:

G(s) y Y(s) -0.1 -0.3 -0.1 0 Para la ecuación diferencial Obtener: a) G(s) y, b) Y(s) Solución: jw  X -0.1 jw  o X X -0.3 -0.1 0

Obtención del valor inicial y final de y(t) jw  o X X -0.3 -0.1 0 Polo dominante 2.4 0.8 t

Gráfica aproximada de y(t) a partir de Y(s) Un horno que se encuentra a 80°C se apaga para su enfriamiento. Considere que la relación Temperatura-flujo combustible, es representada por la ecuación Diferencial: 200y´(t) + y(t) = K u(t). Obtenga, y(0) y y() 80 ºC 0 ºC t Teorema de valor inicial: Teorema del valor final:

Programa MATLAB-SIMULINK (basado en la representación a bloques) Para modelar y analizar los elementos de una ecuación diferencial a partir de las ecuaciones de un sistema físico. Obtener la respuesta en el tiempo para una función Y(s). Obtener las gráficas de las diferentes variables dentro de mismo sistema físico, sin requerir obtener su representación en el tiempo. …

Modelación de una ecuación diferencial mediante Diagrama a bloques. Caudal Acumulado Caudal de entrada Caudal de salida = Qi(s) – Qo(s) Qi(s) + H(s) Qo(s) Qo(s)

Simulación del sistema hidráulico utilizando la herramienta computacional Matlab-Simulink

Dos Tanques Q01(s) - + Qi(s) – Q01(s) – Q02(s) Qi(s) H(s) Q02(s)

Modelaciòn y simulación del sistema de dos tanques mediante SIMULINK.

Gráficas de Simulación (tanque_1entrada_2salidas) Qi(t): Flujo de entrada h(t): Altura (nivel de llenado) del tanque Flujo de salida q02(t) Flujo de salida q02(t)

Sistema: Masa-Resorte-Amortiguador en la suspensión de un auto f(t)entrada: fuerza de entrada z(t): desplazamiento o respuesta del sistema Masa: m Resorte Amortiguador

Aplicación del sistema básico: masa-resorte-amortiguador

Simulación mediante SIMULINK Fi(s) - F(s)resorte – F(s)amortiguador = m s2 Z(s) F(s)resorte k fi(t) - + Z(s) Fi(s) z(t) B s F(s)amortiguador

Masa-Resorte-Amortiguador con SIMULINK

Paso por un bache sencillo

Masa-Resorte-Amortiguador en terrenos con superficie rugosa.

Agradecimiento Agradezco la invitación a este evento y me uno al esfuerzo y al interés mostrado no sólo de los profesores del Departamento de Matemáticas, sino también el de los alumnos de los cursos de ecuaciones diferenciales, y a los voluntarios proactivos para la organización de este evento. En lo personal: gracias a los organizadores, y a la audiencia que nos acompaña, por su tiempo para permitirme compartir un poco sobre el tema de la Transformada de Laplace.

Quedo a sus órdenes Maestro Francisco Palomera Palacios fpalomera@itesm.mx Departamento de Mecatrónica y Automatización, Campus Monterrey

Parte 1: Actividad en equipo (modificar el archivo correspondiente) Para el caso del tanque con dos válvulas de descarga: 1. Justifique el efecto sobre los dos flujos de salida en ambas válvulas, si las dos válvulas están igualmente abiertas: Rh1 = Rh2 = 2 2. Considere que Rh1 =1.5 y Rh2 = 3 ¿Cómo se afecta la altura del llenado del tanque, h(t), si se disminuye el valor del área del tanque de un valor A = 4 m2, por el de A = 2 m2?

Parte 2: actividad Obtenga: Para la función Obtenga: Su expansión en fracciones parciales sin calcular el valor de los coeficientes. 2) ¿A qué función en el tiempo corresponde cada uno de los término de la expansión realizada en el inciso anterior? 3) Obtenga el valor de y(0) y de y() a partir de la función Y(s).