ECUACIONES DE PRIMER GRADO INSTITUTO TECNICO AGROPECUARIO

Propuesta de enseñanza de Ecuaciones Lineales, haciendo énfasis en la solución de problemas. CONTENIDO Objetivo. Marco teórico. Problema inicial. Definición. Formas elementales de ecuaciones lineales. Forma General de una ecuación lineal. Interpretación Gráfica. Problemas propuestos. Conclusión.

Objetivo. Informativo: El alumno recordará y ampliará los aspectos fundamentales de los números reales, así como las operaciones básicas, sus propiedades y su jerarquía, identificando a éstas como su herramienta para poder resolver problemas a través de ecuaciones. Formativo: Se mostrará al alumno que mediante una correcta y oportuna vinculación de sus conocimientos pre algebraicos con los del álgebra, resolver problemas que involucren ecuaciones lineales puede resultarle asequible.

PROBLEMA. Un número es el quíntuple de otro. La suma de ambos es 90. Determinar los dos números. Solución:

UNA ECUACIÓN ES UNA IGUALDAD DEFINICIÓN. UNA ECUACIÓN ES UNA IGUALDAD ENTRE DOS EXPRESIONES Si las expresiones son sólo numéricas, se dice que son aritméticas. Si las expresiones son algebraicas, se dice entonces que ahora son ecuaciones de tipo algebraico. Serán trigonométricas, logarítmicas o exponenciales si incluyen expresiones de este tipo. 2 + 3 = 5 a x + b = c

ECUACIÓN IDENTICA O IDENTIDAD a + a + a = 3a ECUACIÓN LINEAL. DEFINICIÓN. ECUACIÓN IDENTICA O IDENTIDAD La igualdad se satisface para cualquier valor de a a + a + a = 3a ECUACIÓN LINEAL. Es una igualdad en la que interviene una sola variable con exponente igual a uno y que sólo se satisface para determinado valor, encontrar dicho valor significa resolver la ecuación. x - 2 = 6

DEFINICIÓN. ECUACIONES EQUIVALENTES Dos o mas ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución. x + 4 = 9 x – 3 = 2 x = 5 x = 5

x + a = b a x = b a x + b = c ax + b = cx + d a(x + b) = c FORMAS ELEMENTALES DE ECUACIONES LINEALES. x + a = b a x = b a x + b = c ax + b = cx + d a(x + b) = c a(x + b) = c(x + d) ax2 + bx + c = ax2 + dx + f ECUACIONES

ECUACIONES DE LA FORMA x + a = b Solución: x + 8 = 30 x = 30 – 8 x = 22 Comprobación: 22 + 8 = 30 30 = 30

ECUACIONES DE LA FORMA: a x = b Solución: 4 x = 20 x = 20 / 4 x = 5 Comprobación: 4(5) = 20 20 = 20

ECUACIONES DE LA FORMA a x + b = c Solución: 3 x – 8 = 7 3 x = 7 + 8 3 x = 15 x = 15 / 3 x = 5 Comprobación: 3 (5) – 8 = 7 15 – 8 = 7 7 = 7

ECUACIONES DE LA FORMA ax + b = cx + d Solución 8y + 27 = 2y – 3 8y – 2y = - 3 – 27 6y = - 30 y = -5 Comprobación 8(-5) + 27 = 2(-5) – 3 - 40 + 27 = - 10 – 3 - 13 = - 13

ECUACIONES DE LA FORMA a(x + b) = c Solución: 9(x + 2) = 9 9x + 18 = 9 9x = 9 – 18 9x = - 9 x = - 1 Comprobación: 9(-1 +2) = 9 9(1) = 9 9 = 9

ECUACIONES DE LA FORMA a(x +b) = c(x + d) Solución: 6(x – 2) = 3(x + 1) 6x – 12 = 3x + 3 6x – 3x = 3 + 12 3x = 15 x = 5 Comprobación: 6(5 – 2) = 3(5 + 1) 6(3) = 3(6) 18 = 18

ECUACIONES DE LA FORMA Comprobación: Solución:

ax2 + bx + c = ax2 + dx + f ECUACIONES DE LA FORMA Solución: x2 – 2x + 21 = x + x2 – 3 - 2x + 21 = x – 3 - 2x – x = - 3 – 21 - 3 x = - 24 x = 8 Comprobación: (8)2 – 2(8) +21 = 8 + (8)2 – 3 64 – 16 + 21 = 8 + 64 – 3 69 = 69

Nótese que al final de cuentas, después de realizar adecuadamente las operaciones correspondientes así como la aplicación apropiada de sus propiedades , el resolver una ecuación lineal con una incógnita del tipo que sea nos lleva a: ax + b = 0 , con a ≠ 0. Forma General. Cuya solución es: x = - FORMA GENERAL DE UNA ECUACIÓN LINEAL.

INTERPRETACIÓN GRÁFICA. En la grafica se puede observar que la solución a la ecuación: 5 – x = 0 Es donde la recta corta al eje x, es decir: x = 5 x = 5

PROBLEMA. Un número es el quíntuple de otro. La suma de ambos es 90. Determinar los dos números. Solución:

PROBLEMA. Una mezcla de 16 litros de alcohol y agua contiene un 25 por ciento de alcohol. ¿Cuántos litros de alcohol deben añadirse para obtener una mezcla que contenga el 50 por ciento de alcohol? Solución: 8 + 2x = 16 + x x = 8 litros de alcohol

PROBLEMA. La diferencia de dos números es 4 y la diferencia de sus cuadrados es 5 unidades menos que 9 veces el menos de los números. Obtener los dos números.

PROBLEMAS PROPUESTOS. Un número es 40 unidades menor que otro. Determinar los números si su suma es 280. Solución: los números son 120 y 160.   La suma de tres números es 44. El segundo es el doble del primero y el tercero es cuatro unidades menor que el primero. ¿Cuáles son los números? Solución: los números son 8, 12 y 24. El dígito de las unidades de un número de dos cifras es 2 unidades menor que el dígito de las decenas. Si el número es una unidad menor que 8 veces la suma de sus dígitos ¿Cuál es el número? Solución: el número es 31. 

PROBLEMAS PROPUESTOS. La edad de un padre sumada con la de su hijo es 58 años. Dentro de 10 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuál es la edad del hijo? Solución: la edad del hijo es 16 años.  Se invierten $30 000, una parte a 6% y la otra a 9% de interés anual. ¿Cuánto debe invertir a 6% y cuánto a 9% si queremos que en total las dos inversiones produzcan una ganancia de $2340? Solución: $12,000 al 6% y $18,000 al 9%.  Usando una manguera, una alberca se llena en 8 horas. Con otra manguera de mayor capacidad se llena en 5 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará la alberca si se usan las dos mangueras al mismo tiempo? Solución: tardará 40/13 hr.

Conclusión. El tema de ecuaciones dentro del estudio de las matemáticas es uno de los mas extensos y profundos. Aquí, sólo se han abordado las más sencillas de ellas, las lineales. Sin embargo, en la actividad que desarrollamos como profesores de matemáticas es innegable que el principal obstáculo al resolver ecuaciones de mayor complejidad es que en éstas básicas no se tuvo el dominio suficiente y sobretodo no se capta el concepto de ecuación, de tal manera que el alumno piensa que resolver un tipo u otro de ecuaciones implica un nuevo procedimiento y un nuevo tema, por ejemplo cuando se enfrenta a las ecuaciones trigonométricas. Así, no es infructuoso tener presentes las formas elementales de ecuaciones lineales.