Razón de Cambio Promedio Razón de Cambio instantánea (la derivada)

Razón de Cambio Promedio La razón de cambio promedio de “y” respecto a “x”, cuando x cambia de x1 a x2 corresponde a la razón de: el cambio en el valor de salida entre el cambio en el valor de entrada:

Ejemplo: Para f(x) = x2, determine la razón de cambio promedio cuando: a. x cambia de 1 a 3 b. x cambia de 1 a 2 c. x cambia de 2 a 3

Razones de cambio promedio Ls f (x+h) f (x) x + h x h

Razones de cambio promedio La razón promedio de f con respecto a x está dado por:

Ejercicio: Para f(x) = x2 determine la razón de cambio promedio en cada caso: a. x = 5 y h = 3 b. x = 5 y h = 0,1

Note que la razón de cambio promedio no es otra cosa que la pendiente de la recta secante (L s) la gráfica de la función. Es decir :

Razones de cambio promedio Ls f (x+h) f (x) x + h x h

La Derivada Si tomamos el límite de la razón de cambio promedio cuando “h” tiende a cero, la pendiente de la recta secante se convierte en la pendiente de la recta tangente, observemos:

h

h

h

h

Tangente!!!

En el límite, cuando h tiende a cero, la recta secante se confunde con la recta tangente en x0 , y podemos decir que :

Este último límite es conocido en el Cálculo Diferencial é Integral como la derivada de la función respecto de la variable x, en x = x0 .

En consecuencia, la derivada de una función es numéricamente igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x = x0 .

El valor de la derivada de una función indica la rapidez con que la función está cambiando en un valor específico de x, en x = x0.

entonces,la derivada de una función en x = x0 es: Conceptualización de la derivada de una función Pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x = x0 entonces,la derivada de una función en x = x0 es: La razón de cambio instantánea de la función en x = x0

Notación de la derivada de una función : La derivada de una función y = f(x) respecto de la variable x, se denota de las siguientes maneras :

Ejemplo: Usando la definición, determine las expresiones de la derivada de las siguientes funciones : a) f(x)=x b) f(x)= x2

Ejemplo Determine la ecuación de la tangente a la curva y = x2 en el punto donde x = 2.

Técnicas de derivación

Regla de la potencia ¿Cuáles eran las derivadas de las siguientes funciones? f(x) = x f(x) = x2 ¿Se puede generalizar?

Regla de la potencia Ejemplos

Derivada de una función constante La derivada de una función constante es cero Es decir : Ejemplos

Derivada de una constante por una función: La derivada de una constante por una función, corresponde a la constante multiplicada por la derivada de la función. Esto se puede escribir asi : Ejemplos

Derivada de una suma o diferencia de funciones La derivada de una suma o diferencia de funciones, es igual a la suma o diferencia de las derivadas de dichas funciones Ejemplos

Derivada del producto de funciones Ejemplos

Derivada del cociente de funciones Si : Entonces: Ejemplos

Aplicación de la razón de cambio instantánea Marginalidad

Razón de cambio instantánea

Análisis Marginal ¿Cómo podríamos determinar en forma aproximada el costo de producción de la novena unidad sin tener que hacer una diferencia de costos?

Análisis Marginal 8 9 C(8) C(9) Creal Caproximado C(q)

Análisis Marginal La pendiente de la recta tangente en q = 8 es la derivada del costo total en q = 8 Esta pendiente es numéricamente igual a cociente Caproximado / 1, es decir, al costo aproximado

Análisis Marginal De los párrafos anteriores se puede deducir que C´(8) = Caproximado unidad 9 A este costo aproximado se le conoce como el costo marginal de producir la novena unidad

En general podemos decir que : C marginal unidad “n” = C´(n-1) Análisis Marginal En general podemos decir que : C marginal unidad “n” = C´(n-1)

La función ingreso marginal es la derivada de la función ingreso Análisis Marginal La función ingreso marginal es la derivada de la función ingreso La función utilidad marginal es la derivada de la función utilidad