Caracas, Mayo 2010 Universidad Metropolitana VII Congreso de Investigación y Creación Intelectual de la UNIMET Prof. Cipriano Cruz Universidad Central de Venezuela Universidad Metropolitana Prof. Sonia Chahin Universidad Nacional Experimental de VISUALIZACIÓN DE LAS FUNCIONES AFÍN Y CUADRÁTICA MEDIANTE EL USO DE UN SOFTWARE. VISUALIZACIÓN DE LAS FUNCIONES AFÍN Y CUADRÁTICA MEDIANTE EL USO DE UN SOFTWARE.

- El Problema - Preguntas y objetivos de la investigación - Marco Teórico - Metodología - Resultados - Conclusiones y Recomendaciones ESQUEMA DE LA PRESENTACIÓN

Desinterés Dificultades Desmotivación Limitaciones EL PROBLEMA

ARTIGUE (1995) “Los alumnos tienen dificultades en las articulaciones de los registros simbólicos de la noción de función, junto con las dificultades para hacer la conversión de un registro a otro”. DE LA ROSA (2000) “No se fomentan habilidades para trabajar con gráficos y existe la carencia de la habilidad de visualización”. CANTORAL (2002) “Se deben explorar las habilidades visuales para aprender el concepto de función y de allí la necesidad de utilizar la computadora para la enseñanza-aprendizaje de este concepto”. ANTECEDENTES

¿Cómo contribuirá el uso sistemático de un software educativo a que los alumnos de matemática I de los proyectos de carrera de Administración y Contaduría de la UNEG, visualicen las funciones afín y cuadrática como un objeto matemático y puedan resolver problemas aplicados? PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN

Describir, analizar y evaluar cómo el uso de un software educativo contribuye a desarrollar habilidades para que los alumnos de Administración y Contaduría de la UNEG visualicen a las funciones afín y cuadrática como objetos matemáticos, y resuelvan problemas aplicados a la Administración y a la Contaduría Describir, analizar y evaluar cómo el uso de un software educativo contribuye a desarrollar habilidades para que los alumnos de Administración y Contaduría de la UNEG visualicen a las funciones afín y cuadrática como objetos matemáticos, y resuelvan problemas aplicados a la Administración y a la Contaduría OBJETIVO GENERAL

1.Diseñar y aplicar una propuesta didáctica para el estudio de las funciones afín y cuadrática, utilizando como herramienta el software de graficación Graphmatica. 2.Describir cómo el uso de un software educativo, incide en el desarrollo de habilidades de un grupo de estudiantes de Administración y Contaduría para visualizar a las funciones afín y cuadrática como objetos matemáticos. 3.Describir e interpretar cómo los estudiantes, usando un software para representar funciones afín y cuadrática como un modelo matemático correspondiente a un problema de Administración y Contaduría, reconocen en dicho modelo los elementos críticos y los utilizan para dar respuesta al problema. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Uso del Software GRAPMATICA El Concepto de Función La Visualización Principios Constructivistas del Aprendizaje Principios teóricos de Duval MARCO TEÓRICO

“Las conexiones entre los diferentes registros constituyen la estructura cognitiva por la que los estudiantes pueden reconocer el mismo objeto a través de sus diferentes representaciones.” Aportes de la Teoría de Ausubel en el Constructivismo: Teoría de las Representaciones (Duval,1999)  El conocimiento no se descubre, se construye, el alumno elabora el conocimiento, a partir de su propia forma de ser, pensar e interpretar la información.  El alumno es un ser responsable que participa activamente en su proceso de aprendizaje.  Tres principios generales del aprendizaje significativo: Estructuración, diferenciación progresiva y reconciliación. MARCO TEÓRICO

Cantoral y colaboradores (2000)  Habilidad para: Representar Transformar Comunicar Documentar Reflejar información visual Duval (1999)  Capacidad de reconocer las unidades significativas de los registros para pasar de una representación a otra en forma bidireccional.  Desarrollo de tres capacidades cognitivas: FormaciónTratamiento Conversión Generar LA VISUALIZACIÓN

SOFTWARE GRAPHMATICA Editor gráfico interactivo que facilita el cambio de representación algebraica a representación gráfica. Ventajas:  Requerimientos mínimos de hardware.  No requiere conocimientos especializados sobre el uso de la computadora.  Permite visualizar en la gráfica cualquier cambio que se le hagan a los parámetros de la función.

PARADIGMA: CuantitativoCualitativo TIPO DE ESTUDIO: Estudio de Caso: - Particularista - Particularista - Descriptivo - Descriptivo - Inductivo - Inductivo SUJETOS DE ESTUDIO: En el estudio cuantitativo participaron los 15 alumnos que presentaron tanto la prueba inicial como la final. Para el análisis de las respuestas dadas a las pruebas y las sesiones prácticas se seleccionaron siete (7) alumnos del curso. CRITERIOS DE SELECCIÓN: Se utilizó una selección intencional:  2 alumnos con promedio de calificaciones bajo.  3 alumnos promedio de calificaciones medio.  2 alumnos promedio de calificaciones alto. MARCO METODOLÓGICO

CATEGORÍAS: 1. HABILIDADES VISUALES REPRESENTAR Capacidad para hacer un registro de una función tomando en cuenta las unidades y las reglas de formación que le son propias a éste.CONVERTIR Capacidad de hacer cambios de representación de un registro a otro.TRANSFORMAR Capacidad para hacer cambios en un mismo registro de representación. 2. ERRORES 2. ERRORESCONCEPTUALES Cuando el alumno manifiesta desconocimiento de las definiciones o uso incorrecto de las mismas. RELACIONALES Cuando el alumno no vincula o establece asociaciones incorrectas entre los elementos y sus modalidades de representación. PROCEDIMENTALES Cuando el alumno no respeta las reglas o no sigue secuencias o procedimientos válidos. MARCO METODOLÓGICO

CRITERIO PARA EL ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN RESPUESTASCORRECTAS(Aciertos)RESPUESTASINCORRECTAS(Errores) CON HABILIDADES PARA VISUALIZAR SIN HABILIDADES PARA VISUALIZAR MARCO METODOLÓGICO RESPUESTAS EN BLANCO

CRITERIO PARA EL ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN ERRORES CONCEPTUALES ERRORES CONCEPTUALES ERRORES RELACIONALES ERRORES RELACIONALES ERRORES PROCEDIMENTALES ERRORES PROCEDIMENTALES HABILIDADES PARA REPRESENTAR HABILIDADES PARA CONVERTIR MARCO METODOLÓGICO HABILIDADES PARA VISUALIZAR

ANÁLISIS DE RESULTADOS TIPO DE ERROR PRUEBA DIAGNÓSTICA (PD) PRUEBA FINAL (PF) RESULTADOSINTERPRETACIÓNRESULTADOSINTERPRETACIÓN CONCEPTUAL Todos los alumnos desconocen cual es el dominio de la función afín. Ningún alumno demostró tener habilidad para representar. No cometieron errores. Todos los alumno demostraron tener la habilidad para representar, ya que determinaron el dominio de una función afín. RELACIONAL Dos alumnos dijeron que la gráfica de la función afín tiene la forma de una esfera y los demás no contestaron nada. Ningún alumno demostró tener la habilidad para convertir, ya que no reconocieron a la función afín expresada en su forma gráfica. No cometieron errores. Todos los alumnos reconocen la gráfica de la función afín. PROCEDIMENTAL Los alumnos no hallaron la fórmula de la pendiente de una recta y no hallaron la ecuación punto pendiente. Ningún alumno demostró tener la habilidad para convertir, pues no hallaron la ecuación de la recta a partir de los puntos de corte de la misma con los ejes de coordenada. Desconocen la fórmula de la pendiente de una recta y la de la ecuación punto pendiente. Tres de los siete sujetos demostraron tener la habilidad hallaron la ecuación de la recta a partir de los puntos de corte de la misma con los ejes de coordenadas. FUNCIÓN AFÍN USO DEL SOFTWARE

ANÁLISIS DE RESULTADOS Los alumnos usando el software Graphmatica, estudiaron las características de las rectas del tipo y = ax, para lo cual graficaron las funciones que se indican a continuación: (a) y = x (b) y = 3x (c) y = 1,5x (d) y = -x (e) y = -2x (a) y = x (b) y = 3x (c) y = 1,5x (d) y = -x (e) y = -2x Gráfica de la función afín del tipo y = ax, usando el software Graphmatica. Tipo de habilidad desarrollada Indicadores de la habilidad PA Alumnos que adquirieron la habilidad Respuestas dadas por los alumnos que adquirieron la habilidad Errores cometidos por los alumnos que no adquirieron la habilidad Habilidad para convertir Identifican el dominio de la función afín. 2.2 Todos los sujetos El dominio de la función afín son todos los números reales. No cometieron errores Reconocen que la gráfica de la función afín es una la recta. 2.3 Todos los sujetos La recta es la representación gráfica de la función afín. No cometieron errores Reconocen los efectos que ocurren en la gráfica cuando se varia el parámetro “a” Todos los sujetos Todas las rectas variaron el ángulo de inclinación. No cometieron errores

ANÁLISIS DE RESULTADOS FUNCIÓN CUADRÁTICA TIPO DE ERROR PRUEBA DIAGNÓSTICA (PD) PRUEBA FINAL (PF) RESULTADOSDESCRIPCIÓNRESULTADOSDESCRIPCIÓN CONCEPTUAL Dos alumnos cometieron el error y dijeron que la función Dos alumnos cometieron el error y dijeron que la función y = ax 2 + bx + c, con a ≠ 0 es una función algebraica. y cuatro alumnos no respondieron. Un solo alumno demostró tener la habilidad para representar, ya que reconoce a la función cuadrática expresada en su forma algebraica. Un alumno respondió que función que la función del tipo y = ax 2 + bx + c, con a ≠ 0 define una función algebraica. a ≠ 0 define una función algebraica. Seis de los siete sujetos demostraron tener la habilidad para representar, ya que reconocieron a la función cuadrática expresada en su forma algebraica. RELACIONAL Cuatro alumnos cometieron el error y relacionaron a la expresión algebraica y = ax 2 + c, con una recta. Tres alumnos tenían la habilidad para relacionar a la función y = ax 2 + c, con su respectiva gráfica. y = ax 2 + c, con su respectiva gráfica. No cometieron error Todos los alumnos demostraron tener la habilidad para relacionan a la función y =ax 2, con su respectiva gráfica. PROCEDIMENTAL Ningún alumno determinó el corte de la parábola con los ejes de coordenadas. Ningún alumno tiene la habilidad para convertir. Tres alumnos no hallaron el corte de la parábola con los ejes de coordenadas y cuatro alumnos si hallaron el corte de la parábola con los ejes.. Cuatro de los siete sujetos demostraron tener la habilidad para convertir, ya que determinaron los cortes de la parábola con los ejes. USO DEL SOFTWARE

ANÁLISIS DE RESULTADOS Gráfica de la función cuadrática del tipo y = ax 2 + c, utilizando en software Graphmatica. Los alumnos usando el software Graphmatica, estudiaron las características de las parábolas del tipo y = ax 2 + c. para lo cual graficaron las siguientes funciones: (a) y = x^2, (b) y = x^2 + 2, (c) y = x^2 - 2, (d) y = x^2 – 4 Tipo de habilidad Indicadores de la habilidad PA Alumnos que adquirieron la habilidad Respuestas dadas por los alumnos que adquirieron la habilidad Errores cometidos por los alumnos que no adquirieron la habilidad Habilidad para convertir Relacionan a la expresión algebraica y =ax 2 + c,.con una parábola. 2.5 Todos los alumnos adquirieron la habilidad. La expresión algebraica y = ax 2 + c,. representa una parábola. y = ax 2 + c,. representa una parábola. Reconocen la traslación vertical que le ocurre a la gráfica y = ax2, cuando se le suma un número c positivo. 2.6 Seis alumnos adquirieron la habilidad La parábola se traslada hacia arriba tantas veces como lo indique el valor de “c”. Un alumno respondió que la parábola cuando “c” es positivo se traslada cóncava hacia arriba. Reconocen lo que representa el valor de “c” de la función algebraica y = ax 2 + c, en la gráfica. 2.8 Seis alumnos adquirieron la habilidad El valor de “c” representa el punto de corte de la parábola con el eje “y”. Un alumno respondió que el valor de “c” representa el traslado que tiene la gráfica en el eje x.

ANÁLISIS DE RESULTADOS Los alumnos usando el software Graphmatica, graficaron la función lineal de costo Ct(x) = x y la función cuadrática de ingreso I(x) = x x, obteniéndose el gráfico que se muestra a continuación, luego visualizando las gráficas y extrayendo de estas los elementos claves le dan respuesta a las siguientes preguntas del problema. PROBLEMA APLICADO

1. ¿Cuántas unidades se deben de producir y vender para que la empresa no tenga ni ganancia ni pérdida? Deben visualizar el punto donde se cortan las dos curvas y obtener su valor a través del software, el valor de x representa las unidades que se deben de producir y vender para que la empresa no tenga ni ganancia ni pérdida. 2. ¿Cuál es el costo y el ingreso donde la empresa no tienen ni ganancia no pérdida? Deben visualizar el punto donde se cortan las dos curvas y obtener su valor a través del software, el valor de y representa el precio en bolívares donde el costo y el ingreso son iguales, es decir donde la empresa no tiene ni ganancia ni pérdida. 3. ¿Cuál es el número de unidades diarias que deben venderse por día de modo que se maximice el ingreso? Deben visualizar el vértice de la parábola, y el valor de x del vértice representa las unidades que se deben de vender para obtener el máximo ingreso. 4. ¿Cuál es el ingreso máximo? Deben visualizar el vértice de la parábola el valor de y del vértice representa el ingreso máximo expresado en bolívares. ANÁLISIS DE RESULTADOS PROBLEMA APLICADO

ANÁLISIS DE RESULTADOS Tipo de habilidad Indicadores de la habilidad PA Alumnos que adquirieron la habilidad Respuestas dadas por los alumnos que adquirieron la habilidad Errores cometidos por los alumnos que no adquirieron la habilidad Habilidad para Convertir Determinan a través de las gráficas los valores de los puntos de corte entre ambas curvas. 1 Todos los sujetos Las coordenadas de los punto de corte entre ambas curvas esta dado por los puntos: (67,3506) y (3467,88000) No cometieron errores Identifican el significado del estos puntos de corte entre ambas curvas en la situación planteada. 1 Todos los sujetos Los puntos de corte entre las curvas de costo e ingreso representan los puntos de equilibrio de la empresa, en es decir donde la empresa no tiene ni ganancia ni pérdida. No cometieron errores Identifican que el valor de x de los puntos de corte entre ambas curvas representa el número de unidades producidas y vendidas donde la empresa no tiene ni ganancia ni perdida. 1 Todos los sujetos Cuando se producen 67 unidades y 3467 unidades la empresa no tiene ni ganancia ni perdida. No cometieron errores Identifican que el valor de y de los puntos de corte entre ambas curvas representa el costo y el ingreso en bolívares donde la empresa no tiene ni ganancia ni perdida. 2 Todos los sujetos El costo y el ingreso donde la empresa no tiene ni ganancia ni pérdida es de 3506 bolívares y de bolívares. No cometieron errores

Porcentaje de alumnos con respuestas en blanco, incorrectas y correctas en la prueba diagnóstica. Porcentaje de alumnos con respuestas en blanco, incorrectas y correctas en la prueba diagnóstica. Porcentaje de alumnos con respuestas en blanco, incorrectas y correctas en la prueba final. Porcentaje de alumnos con respuestas en blanco, incorrectas y correctas en la prueba final. ANÁLISIS DE RESULTADOS

HABILIDADES VISUALES. La propuesta didáctica y el uso del software permitieron que los alumnos visualizaran las distintas representaciones de una función y, más aún, pudieron visualizar familias de funciones que dependen de parámetros. La comparación entre las calificaciones obtenidas en la prueba inicial y final demuestra que hubo una mejora significativa en la eficiencia de los alumnos. Los alumnos fueron capaces de descubrir, identificar y deducir conceptos importantes de la función: paralelismo entre rectas, perpendicularidad, concavidad, intersecciones de las gráficas con los ejes, dominio y rango. CONCLUSIONES

HABILIDADES VISUALES PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS HABILIDADES VISUALES PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS Con el software los alumnos representaron funciones afín y cuadrática como modelos de costo, ingreso, oferta y demanda, vinculando los elementos contextuales con los del modelo matemático para interpretar en ellos los elementos claves que le permitieron dar respuesta al problema planteado. Con el software los alumnos representaron funciones afín y cuadrática como modelos de costo, ingreso, oferta y demanda, vinculando los elementos contextuales con los del modelo matemático para interpretar en ellos los elementos claves que le permitieron dar respuesta al problema planteado. El uso del software desarrolló, en los alumnos, la habilidad de visualizar y contribuyó en la disminución de los errores. Sin embargo, se pudo observar que los alumnos siguen cometiendo errores ocasionados por: falta de los conocimiento previos necesarios y de entrenamiento en la solución de problemas en contexto. CONCLUSIONES

A LA INSTITUCIÓN: Los resultados encontrados ponen de relieve que la enseñanza de las funciones no es tarea sencilla, por lo que se recomienda que para su enseñanza se utilicen software matemáticos acompañadas de propuestas didácticas que ayuden a desarrollar la visualización en los alumnos y a resolver problemas contextualizados. A LOS DOCENTES: Utilizar software matemático que ayuden a enfatizar la importancia de las representaciones en el concepto de funciones. Trabajar la visualización paralelamente con los procesos analíticos. RECOMENDACIONES