Función Lineal

Diremos que una función f es una función lineal si y sólo si puede escribirse de la siguiente manera: Donde m y b son dos números reales. A m se lo llama pendiente y a b ordenada al origen (cuando veamos el gráfico de la función entenderemos la razón de estos nombres). Por ejemplo, son funciones lineales:

Observación: la ordenada al origen b es igual a , es decir el valor de la función cuando . Comprobémoslo: Si quiero calcular , donde decía x en la fórmula de f debo poner 0: donde se ve efectivamente que Una función lineal queda perfectamente definida al dar el valor de m y el valor de b. Por ejemplo: si yo digo que f es una función lineal con pendiente igual a 4 y ordenada al origen igual a -3, la única función lineal que lo verifica es:

Observación: Las relaciones de proporcionalidad directa forman un subconjunto del conjunto de todas las funciones lineales: son las funciones lineales con ordenada al origen igual a 0. Si pero es una relación de proporcionalidad directa donde la pendiente m es lo que llamamos constante de proporcionalidad.

Pasemos ahora a estudiar el gráfico de las funciones lineales. Para eso repasemos muy brevemente cómo se hacía el gráfico de una función. Matemáticamente, el gráfico de una función f es: Poniéndolo en palabras: El gráfico de la función f está formado por todos los puntos del plano cuya coordenada y es igual al valor que tiene la función para su coordenada x, es decir: son los puntos de la forma

Veamos ahora cómo es el gráfico de una función lineal: Una función f es lineal si y sólo si el gráfico de f es una recta. Esto quiere decir que el gráfico de una función lineal es una recta. Y si hay una función f cuyo gráfico es una recta entonces esa función f es lineal.

Veamos un ejemplo: . En este caso la pendiente m=1 y b=0. ¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la ordenada al origen b?

Vemos que el efecto que produce una modificación en el valor de b es el de desplazar el gráfico la cantidad que indique b hacia arriba si es positivo y hacia abajo si es negativo. Además, como se puede observar aquí, b es el valor del eje y en el que se intersecan el eje y con el gráfico de la función. Pero esto ya lo sabíamos de antes: El eje y corresponde a los puntos del plano que tienen coordenada x=0. El gráfico de la función son los puntos de la forma . Entonces el punto donde el eje y el gráfico de f “se cortan” tiene que cumplir las dos condiciones, es decir que ese punto tiene que ser de la forma con x=0, es decir y como vimos antes Con lo cual ya sabíamos que el gráfico de f tenía que cortar el eje y a “altura” b.

¿Cómo cambia el gráfico al modificar el valor de la pendiente m? Esto pone en evidencia por qué a m se la llama pendiente. Si m es positiva la función es creciente y si m es negativa la función es decreciente.

determinan una única recta. Veamos ahora cómo a partir del gráfico podemos obtener los valores de m y b que determinan unívocamente la función. Dos puntos y (con ) determinan una única recta. Esa recta, por lo dicho antes, será el gráfico de una única función lineal . Entonces en esos dos puntos tiene que haber información suficiente para hallar los valores de m y b.

Veamos cómo hacerlo en general y lo haremos luego para un ejemplo particular. Como , son dos puntos del gráfico de f, son de la forma . Es decir que: Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b). Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda ecuación nos queda: De donde puedo despejar m: Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en cualquiera de las ecuaciones originales.

Ejemplo: Sean , dos puntos del gráfico de f. Por lo tanto son de la forma . Es decir que: Con lo cual tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas (m y b). Despejando b en la primera ecuación y reemplazando en la segunda ecuación nos queda: De donde puedo despejar m: Y ahora que tengo m puedo averiguar el valor de b reemplazando en cualquiera de las ecuaciones originales. O sea que finalmente tenemos:

Miremos un poco qué es geométricamente esta cuenta que estamos haciendo para hallar la pendiente: Tenemos y1 e y2. Y tenemos que calcular la diferencia y2 – y1. Luego tenemos x1 y x2. Y debemos calcular la diferencia x2 – x1. Si se fijan bien estas dos diferencias son las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo que queda formado. Si llamamos a al ángulo que forma la recta con la dirección del eje x tenemos que: hacer esta cuenta es lo mismo que Es decir que la pendiente, teniendo en cuenta su signo, es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje x.

Observación: Cuando teníamos una relación de proporcionalidad directa necesitábamos tomar un único punto para hallar el valor de la pendiente (=constante de proporcionalidad). Pero en realidad, al igual que en este caso usábamos dos puntos sin darnos cuenta: los dos puntos que usábamos eran el que elegíamos nosotros y el origen de coordenadas, ya que sabíamos que si la relación era de proporcionalidad directa su gráfico era una recta que pasaba por el origen. O sea que nuestros puntos eran: y , con lo cual el cálculo para la pendiente queda: que es la cuenta que hacíamos siempre: tomábamos un punto y dividíamos su coordenada y por su coordenada x. Esto es válido en estos casos porque b=0.