Fundamentos Matematicos IV Clase VI: Optimizacion.-Simplex.-Solver

Programacion Lineal Una funcion linear de una variable f:R->R tiene la forma f(x)=ax+b. Tang(α)=a b

En general, las funciones lineales no estan acotadas. Si la funcion esta acotada, el maximo y el minimo estaria en alguno de sus extremos. Region Factible

Generalizacion a funciones de varias variables: Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones: y ≤ 7 x+y ≤ 8 x + y≥2 x ≥0,y ≥0 Y ≤ 7

Generalizacion a funciones de varias variables: Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones: y ≤ 7 x+y ≤ 8 x + y≥2 x ≥0,y ≥0 x+y ≤ 8 x+y ≤ 8 Y ≤ 7

Generalizacion a funciones de varias variables: Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones: y ≤ 7 x+y ≤ 8 x + y≥2 x ≥0,y ≥0 x+y ≤ 8 x+y ≤ 8 Y ≤ 7

Generalizacion a funciones de varias variables: Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones: y ≤ 7 x+y ≤ 8 x + y≥2 x ≥0,y ≥0 x+y ≤ 8 x+y ≤ 8 Y ≤ 7

Generalizacion a funciones de varias variables: Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones: y ≤ 7 x+y ≤ 8 x + y≥2 x ≥0,y ≥0 x+y ≤ 8 x+y ≤ 8 Y ≤ 7 (1,7) (0,7) (0,2) (8,0) (2,0)

Generalizacion a funciones de varias variables: Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones: y ≤ 7 x+y ≤ 8 x + y≥2 x ≥0,y ≥0 f(1,7)=22 Max f(0,7)=21 f(8,0)=8 f(0,2)=6 f(2,0)=2 Min x+y ≤ 8 x+y ≤ 8 Y ≤ 7 (1,7) (0,7) (0,2) (8,0) (2,0)

Ejemplo B: Dada la funcion B(x,y)=3x+8y con las restricciones Determinar cual de los siguientes puntos pertenece a la region factible y calcular es el valor de la funcion B: (1,1),(1,4),(1,a),(2,1),(2,2),(2,a),(3,3),(6,6). Encontrar el valor maximo de la funcion B sobre las restricciones del problema. (1,1) pertenece ya que 1+1 ≤ 3 y 2+1 ≤ 5, B(1,1)=11 (1,4) NO pertenece ya que 1+4 no es menor que 3 (1,a) pertenece cuando 0 ≤ a ≤ 2 y el valor es 3 + 8a (2,1) pertenece ya que 2+1 ≤ 3 y 4+1 ≤5, el valor es 14 (2,2) no pertenece ya que 2+2 no es menor que 3 (2,a) pertenece cuando 0 ≤ a ≤ 1 y el valor es 6 +8a (3,3) no pertenece ya que 3+3 no es menor que 3 (6,6) no pertenece ya que 6+6 no e menor que 3

Maximizar B(x,y)=3x+8y x+y ≤ 3 2x+y ≤ 5 0≤ x, 0 ≤y (0,3)24 (0,5) (2,1)14 (0,3) (2.5,0)7,5 (2,1) (3,0) (5/2,0)

Problema 1: Una planta Industrial tiene tres tipos de maquinas M1, M2 y M3 que fabrican dos productos Pr1 y Pr2. Para producir una unidad de Pr1 se necesitan 2 horas de M1, 1 hora de M2 y 1 hora de M3. Para producir una unidad de Pr2 se necesita una hora de M1,1 hora de M2 y 3 horaw de M3. Si el numero de horas disponibles de M1 es 70, de M2 es 40 y de M3 es 90 y el beneficio de Pr 1 es 40 euros y el de Pr2 es 60 euros. ¿Cual es el numero de unidades de Pr1 y Pr2 que se necesitan para maximizar el beneficio? Maximizar X1*40+X2*60 2*X1+X2 ≤70 1*X1+X2 ≤40 1*X1+3*X2 ≤90

(0,30)->1800 (15,25)->2100 (30,10)->1800 (0,0)->0 (35,0)->1400 Maximizar X1*40+X2*60 2*X1+X2 ≤70 1*X1+X2 ≤40 1*X1+3*X2 ≤90 (15,25) (0,30) (30,10) (0,0) (35,0)

Problema 2 Un fabricante de juegos produce dos juegos (Zip y Zap). El margen de los beneficios es de 30 euros y del segundo es 20 euros. Zip requiere 6 horas de elaboracion, 4 de ensamblaje y 5 de embalaje. Zap requiere 3 horas de elaboracion, 6 de ensamblaje y 5 de embalaje. Si se disponen de 54 horas de elaboracion, 48 de montaje y 50 de embalaje, ¿ Cuantas unidades de cada juego se deben producir para obtener el maximo beneficio? Maximixar X1*30+X2*20 6*X1 +3*X2 ≤ 54 4*X1 +6*X2 ≤ 48 5*X1 +5*X2 ≤ 50

Maximixar X1*30+X2*20 6*X1 +3*X2 ≤ 54 4*X1 +6*X2 ≤ 48 5*X1 +5*X2 ≤ 50 (0,8)->160 (6,4)->260 (8,2)->280 (9,0)->270 (0,0)->0 (6,4) (0,8) (8,2) (9,0)

El metodo Simplex de optimizacion Imaginemonos que queremos maximizar Z= 3x+5y Sujeto a x≤4 2y ≤12 2x+3y ≤18 0 ≤x,0 ≤y (2,6) (0,6) (4,3) (0,0) (4,0)

(2,6) (0,6) (4,3) (0,0) (4,0) Empezamos en (0,0) y miramos si la funcion crece cuando nos desplazamos por alguna de las dos aristas que son incidentes a (0,0)

(2,6) (0,6) (4,3) (0,0) (4,0) Iteracion 1: Nos movemos a traves de la recta que crece mas rapido(mayor coeficiente) Nos detemos cuando llegemos a su frontera ( 0,6)

(2,6) (0,6) (4,3) (0,0) (4,0) Iteracion 2: Nos movemos a traves de la recta que crece mas rapido(mayor coeficiente) Nos detemos cuando llegemos a su frontera ( 2,6)

Ejemplo Simplex: Maximizar Z=2x1+4x2-x3 con las restricciones 3x2-x3 ≤ 30 2x1-x2+x3 ≤ 10 4x1+2x2-2x3 ≤ 40 0 ≤x1, 0 ≤ x2, 0 ≤ x3 Primer Paso: Construir la matriz ampliada Z-2x1-4x2+x3=0 3x2-x3+x4 = 30 2x1-x2+x3 +x5 = 10 4x1+2x2-2x3 +x6 = 40

Segundo Paso: Construir la tabla asociada a lamatriz ampliada Z-2x1-4x2+x3=0 3x2-x3+x4 = 30 2x1-x2+x3 +x5 = 10 4x1+2x2-2x3 +x6 = 40 Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes Z 1 -2 -4 1 0 0 0 0 X4 0 0 3 -1 1 0 0 30 X5 0 2 -1 1 0 1 0 10 X6 0 4 2 -2 0 0 1 40

Z-2x1-4x2+x3=0 3x2-x3+x4 = 30 2x1-x2+x3 +x5 = 10 4x1+2x2-2x3 +x6 = 40 Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes Z 1 -2 -4 1 0 0 0 0 X4 0 0 3 -1 1 0 0 30 X5 0 2 -1 1 0 1 0 10 X6 0 4 2 -2 0 0 1 40 Iteracion I Paso 1: Seleccionar la variable saliente (que tiene el coeficiente más negativo) x2 Paso 2: Calculamos coeficientes para determinar qeu variable sale. X4 30/3=10 X5 10/-1=-10 X6 40/2=20 (tiene el coeficiente positivo mas pequeño)

Z-2x1-4x2+x3=0 3x2-x3+x4 = 30 2x1-x2+x3 +x5 = 10 4x1+2x2-2x3 +x6 = 40 Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes Z 1 -2 0 -1/3 4/3 0 0 40 X2 0 0 3 -1 1 0 0 10 X5 0 2 0 2/3 1/3 1 0 20 X6 0 4 0 -4/3 -2/3 0 1 20 Iteracion I Paso 3: Hacemos Gauss en la variable elegida

Z-2x1-4x2+x3=0 3x2-x3+x4 = 30 2x1-x2+x3 +x5 = 10 4x1+2x2-2x3 +x6 = 40 Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes Z 1 -2 0 -1/3 4/3 0 0 40 X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10 X5 0 2 0 2/3 1/3 1 0 20 X6 0 4 0 -4/3 -2/3 0 1 20 Iteracion I Paso 3: Hacemos que el pivote sea 1 para que luego seamas facil Solucion iteracion 1: (0 10 0 0 20 20) Z=40

Prueba de optimalidad: Existen valores negativos en la ecuacion principal? Z-2x1-4x2+x3=0 3x2-x3+x4 = 30 2x1-x2+x3 +x5 = 10 4x1+2x2-2x3 +x6 = 40 Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes Z 1 -2 0 -1/3 4/3 0 0 40 X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10 X5 0 2 0 2/3 1/3 1 0 20 X6 0 4 0 -4/3 -2/3 0 1 20 Iteracion II Paso 1: Seleccionar la variable que tiene el coeficiente más negativo x1 Paso 2: Calculamos coeficientes para determinar qeu variable sale. X2 10/0=INF X5 20/2=10 X6 20/4=5 (tiene el coeficiente positivo mas pequeño)

Z-2x1-4x2+x3=0 3x2-x3+x4 = 30 2x1-x2+x3 +x5 = 10 4x1+2x2-2x3 +x6 = 40 Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes Z 1 0 0 -1 1 0 1/2 50 X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10 X5 0 0 0 4/3 2/3 1 -1/2 10 X1 0 1 0 -1/3 -1/6 0 1/4 5 Iteracion II Solucion iteracion 2: (5 10 0 0 10 0) Z=50

Z-2x1-4x2+x3=0 3x2-x3+x4 = 30 2x1-x2+x3 +x5 = 10 4x1+2x2-2x3 +x6 = 40 Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes Z 1 0 0 -1 1 0 1/2 50 X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10 X5 0 0 0 4/3 2/3 1 -1/2 10 X1 0 1 0 -1/3 -1/6 0 1/4 5 Iteracion II Paso 1: Seleccionar la variable que tiene el coeficiente más negativo x3 Paso 2: Calculamos coeficientes para determinar qeu variable sale. X2 10/(-1/3)=-30 X5 10/(4/3)=30/4 X1 5/(-1/3)=-15 (tiene el coeficiente positivo mas pequeño)

Z-2x1-4x2+x3=0 3x2-x3+x4 = 30 2x1-x2+x3 +x5 = 10 4x1+2x2-2x3 +x6 = 40 Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes Z 1 0 0 0 3/2 3/4 1/8 230/4 X2 0 0 1 0 1/2 1/4 -1/8 50/4 X3 0 0 0 1 1/2 3/4 -3/8 30/4 X1 0 1 0 0 0 1/4 1/8 30/4 Iteracion III Sol Final: (30/4, 50/4, 30/4, 0 0 0) Z=230/4