CLASE 3: Técnicas de Conteo y Probabilidades Sector: Matemáticas Curso: 1° Medio B Subsector: Matemáticas Profesora: Daniela Gaete CLASE 3: Técnicas de Conteo y Probabilidades VARIACIONES COMBINACIONES

VARIACIONES

Variaciones sin repetición También conocida como r-permutaciones, consiste en seleccionar r objetos de un total de n y ordenar esta selección de todas las maneras posibles, de manera que difieran en el orden o de algún elemento. La variación sin repetición se calcula mediante la expresión. 𝑉 𝑟 𝑛 = 𝑛! 𝑛−𝑟 ! No entran todos los elementos. Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

Ejemplo: 𝑉 3 5 = 5! 5−3 ! = 5∙4∙3∙2∙1 2∙1 =5∙4∙3=60 ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ? No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321. No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes. 𝑉 3 5 = 5! 5−3 ! = 5∙4∙3∙2∙1 2∙1 =5∙4∙3=60

Ejemplo 𝑉 3 8 = 8! 8−3 ! = 8! 5! = 8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 5∙4∙3∙2∙1 En una carrera de atletismo compiten 8 alumnos, si se les premiará a los alumnos con un diploma para el primer, segundo y tercer lugar ¿Cuántos diplomas se pueden formar para los ganadores? No entran todos los elementos. De 8 candidatos entran sólo 3. Sí importa el orden. No es lo mismo quedar en primer lugar que tercer lugar No se repiten los elementos. Suponemos que cada candidato presenta una sola obra 𝑉 3 8 = 8! 8−3 ! = 8! 5! = 8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 5∙4∙3∙2∙1 =8∙7∙6=336

Variaciones con Repetición Consiste en determinar el número del subconjunto de r elementos de un total de n elementos dados, de manera que en algunos de ellos se repitan los elementos. La variación con repetición se obtiene mediante la expresión No entran todos los elementos si n > r.  Sí pueden entrar todos los elementos si n ≤ r Sí importa el orden. Sí se repiten los elementos 𝑉 𝑟 𝑛 = 𝑛 𝑟

Ejemplo: ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ? No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321. Sí se repiten los elementos. 𝑉 3 5 = 5 3 =125

Combinaciones

Combinaciones sin repetición Consiste en determinar el número de subconjuntos de r elementos de un total de n elementos dados, de manera que ellos difieran en algún elemento, no importando el orden en que estos se encuentren. La combinatoria se calcula mediante la expresión: 𝐶 𝑟 𝑛 = 𝑉 𝑟 𝑛 𝑃 𝑟 = 𝑛! 𝑛−𝑟 !∙𝑟! No entran todos los elementos. No importa el orden No se repiten los elementos

Ejemplo De los nueve candidatos presidenciales, se sabe que dos de ellos pasarán a segunda vuelta. ¿Cuántas combinaciones existen? 𝐶 2 8 = 9! 9−2 !∙2! = 9! 7!∙2! = 9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 (7∙6∙5∙4∙3∙2∙1)∙(∙2∙1) = 362880 5040∙2 = 362880 10080 =36

Ejemplo: Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4. 𝐶 4 10 = 10! 10−4 !∙4! = 10! 6!∙4! = 10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 (6∙5∙4∙3∙2∙1)∙(4∙3∙2∙1) = 10∙9∙8∙7 4∙3∙2∙1 = 5040 24 =210

Ejemplo: En un curso de 32 alumnos se quiere elegir la directiva formada por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? 𝐶 3 32 = 32! 32−3 !∙3! = 32! 29!∙3! = 32∙31∙30∙29! 29!∙(3∙2∙1) = 32∙31∙30 3∙2∙1 = 29760 6 =4960

Combinaciones con repetición Son los distintos grupos formados por n elementos de manera que: No entran todos los elementos. No importa el orden. Sí se repiten los elementos. 𝐶 𝑟 𝑛 = (𝑛+𝑟−1)! 𝑟! 𝑛−1 !

Ejemplo En un supermercado hay cinco tipos diferentes de bebidas. ¿De cuántas formas se pueden elegir tres bebidas? No entran todos los elementos. Sólo elije 3. No importa el orden. Sí se repiten los elementos. 𝐶 3 5 = (5+3−1)! 3! 5−1 ! = 7! 3!∙4! = 5040 6∙24 = 5040 144 =35