10 Movimientos y semejanzas INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD 10 Movimientos y semejanzas Maurits Cornelius Escher exploró todas las posibilidades de representación artística de las transformaciones geométricas del plano, particularmente, los movimientos. LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD SALIR

Enlace a una edición completa de “Los Elementos” de Euclides INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD El papel de Euclides en las Matemáticas Busca en la Web Enlace a una edición completa de “Los Elementos” de Euclides Enlace a una biografía de Euclides ANTERIOR SALIR

Movimientos y semejanzas INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Esquema de contenidos Movimientos y semejanzas Vectores Características Coordenadas Movimientos en el plano Traslación Giro Simetrías Composición de movimientos Arte con simetrías Homotecias y semejanzas Homotecia Polígonos semejantes Razón de semejanza Teorema de Tales Aplicaciones Escalas Planos Mapas ANTERIOR SALIR

Identificación de transformaciones del plano INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Identificación de transformaciones del plano Los movimientos del plano y la homotecia son transformaciones que se presentan con frecuencia en la vida cotidiana. Un ejercicio interesante consiste en identificar cada caso, diferenciando cada transformación por su diferente relación con el original. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Identificación de transformaciones del plano INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Identificación de transformaciones del plano ¿Puedes localizar en este acuario las imágenes del pez azul del centro por una traslación, por una simetría, por un giro, por una simetría central y por una homotecia? SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Identificación de transformaciones del plano INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Identificación de transformaciones del plano ¿Puedes localizar las imágenes del pez azul del centro por una traslación, por una simetría, por un giro y por una homotecia? (En la figura puedes ver los elementos de cada transformación incluyendo el ángulo de giro y la razón de homotecia.) SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Acuario Identificación de transformaciones del plano INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Identificación de transformaciones del plano Si vas al enlace, puedes cambiar los datos de las transforma-ciones para ver como afectan a los peces imágenes. Acuario ANTERIOR SALIR

Composición de traslaciones INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Composición de traslaciones y de traslación con giro Sabes que al actuar sucesivamente dos traslaciones sobre una figura el resultado es una traslación. La traslación de vector transforma la Figura 1 en la Figura 2. La traslación de vector transforma la Figura 2 en la Figura 3. Finalmente, en un solo paso, la traslación de vector transforma la Figura 1 en la Figura 3. Compruébalo de un modo dinámico siguiendo el enlace. Composición de traslaciones SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Traslación y giro Composición de traslaciones y de traslación con giro INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Composición de traslaciones y de traslación con giro Al actuar una traslación, primero, y un giro después, el resultado es un giro del mismo ángulo, si bien de distinto centro. La traslación transforma la Figura 1 en la Figura 2. En segundo lugar, un giro de centro O transforma la Figura 2 en la Figura 3. De un golpe, el giro de centro C transforma la Figura 1 en la Figura 3. Lo puedes ver con más detalle si sigues el enlace. Traslación y giro ANTERIOR SALIR

Búsqueda de simetrías en obras de M. C. Escher INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Búsqueda de simetrías en obras de M. C. Escher Como hemos dicho, el artista holandés M. C. Escher utiliza en extenso los movimientos que estudias en esta Unidad para elaborar sus obras. Analizaremos alguna de ellas. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Búsqueda de simetrías en obras de M. C. Escher INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Búsqueda de simetrías en obras de M. C. Escher Como hemos dicho, el artista holandés M. C. Escher utiliza en extenso los movimientos que estudias en esta Unidad para elaborar sus obras. Analizaremos alguna de ellas. El lagarto B puede obtenerse a partir del lagarto A mediante un movimiento. ¿Cuál? SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Búsqueda de simetrías en obras de M. C. Escher INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Búsqueda de simetrías en obras de M. C. Escher Como hemos dicho, el artista holandés M. C. Escher utiliza en extenso los movimientos que estudias en esta Unidad para elaborar sus obras. Analizaremos alguna de ellas. El lagarto B puede obtenerse a partir del lagarto A mediante un movimiento. ¿Cuál? Se trata de una simetría central con centro en el punto O. El lagarto C también puede obtenerse a partir del lagarto A mediante un movimiento (si no tenemos en cuenta el color). ¿Cuál? SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Búsqueda de simetrías en obras de M. C. Escher INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Búsqueda de simetrías en obras de M. C. Escher Como hemos dicho, el artista holandés M. C. Escher utiliza en extenso los movimientos que estudias en esta Unidad para elaborar sus obras. Analizaremos alguna de ellas. El lagarto B puede obtenerse a partir del lagarto A mediante un movimiento. ¿Cuál? Se trata de una simetría central con centro en el punto O. El lagarto C también puede obtenerse a partir del lagarto A mediante un movimiento (si no tenemos en cuenta el color). ¿Cuál? SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Búsqueda de simetrías en obras de M. C. Escher INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Búsqueda de simetrías en obras de M. C. Escher Como hemos dicho, el artista holandés M. C. Escher utiliza en extenso los movimientos que estudias en esta Unidad para elaborar sus obras. Analizaremos alguna de ellas. El lagarto B puede obtenerse a partir del lagarto A mediante un movimiento. ¿Cuál? Se trata de una simetría central con centro en el punto O. El lagarto C también puede obtenerse a partir del lagarto A mediante un movimiento (si no tenemos en cuenta el color). ¿Cuál? Se trata de una traslación cuyo vector, en rojo, va de un punto original a su imagen. El lagarto C se convierte en el D mediante un movimiento. ¿Cuál? SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Búsqueda de simetrías en obras de M. C. Escher INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Búsqueda de simetrías en obras de M. C. Escher Como hemos dicho, el artista holandés M. C. Escher utiliza en extenso los movimientos que estudias en esta Unidad para elaborar sus obras. Analizaremos alguna de ellas. El lagarto B puede obtenerse a partir del lagarto A mediante un movimiento. ¿Cuál? Se trata de una simetría central con centro en el punto O. El lagarto C también puede obtenerse a partir del lagarto A mediante un movimiento (si no tenemos en cuenta el color). ¿Cuál? Se trata de una traslación cuyo vector, en rojo, va de un punto original a su imagen. El lagarto C se convierte en el D mediante un movimiento. ¿Cuál? Mediante un giro de 90º con centro en el punto O. ANTERIOR SALIR

Mosaicos que se reproducen INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Mosaicos que se reproducen Dibuja un triángulo cualquiera. Recórtalo y haz varias copias de él. ¿Puedes reunir varias de ellas para dar un triángulo mayor, semejante a él? (Una pista: bastará con cuatro triángulos.) SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Mosaicos que se reproducen INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Mosaicos que se reproducen Dibuja un triángulo cualquiera. Recórtalo y haz varias copias de él. ¿Puedes reunir varias de ellas para dar un triángulo mayor, semejante a él? (Una pista: bastará con cuatro triángulos.) La respuesta es el triángulo de la figura. El nuevo triángulo es semejante al inicial. ¿Cuál es la razón de semejanza? SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Mosaicos que se reproducen INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Mosaicos que se reproducen Dibuja un triángulo cualquiera. Recórtalo y haz varias copias de él. ¿Puedes reunir varias de ellas para dar un triángulo mayor, semejante a él? (Una pista: bastará con cuatro triángulos.) La respuesta es el triángulo de la figura. El nuevo triángulo es semejante al inicial. ¿Cuál es la razón de semejanza? El lado es el doble del original, luego la razón es 2. Observa que su área es cuatro veces la del original. Como sabes, la razón de áreas es el cuadrado de la razón de semejanza. Hay superficies que, al reunirse varias copias de sí misma, se forma otra mayor semejante a la original. En inglés, se llaman rep-tiles, que es una abreviatura de “mosaicos que se reproducen”. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Mosaicos que se reproducen INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Mosaicos que se reproducen Hay superficies que, al reunirse varias copias de sí misma, se forma otra mayor semejante a la original. En inglés, se llaman rep-tiles, que es una abreviatura de “mosaicos que se reproducen”. El triángulo que es la mitad de un cuadrado (o sea, la escuadra de dibujo) es rep-tile de orden 2, es decir, que con dos triángulos como él se forma un triángulo con la misma forma. Recorta en un papel dos triángulos como éste y encuentra la solución. El triángulo que tiene ángulos 30º-60º-90º (o sea, el cartabón de dibujo) es rep-tile de orden 3. Recorta en un papel tres triángulos como éste y forma uno mayor semejante a él. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Mosaicos que se reproducen INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Mosaicos que se reproducen Las soluciones a estos dos casos son las siguientes: SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Figura A Figura B Figura C Figura D INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Mosaicos que se reproducen Las figuras de esta diapositiva son rep-tiles de orden 4. Puedes recortarlas en papel, pues todas ellas son figuras simples: - La figura verde (A) está formada por 3 cuadrados, - el trapecio amarillo (B) es un cuadrado y la mitad de otro, - el trapecio azul (C) es la reunión de 3 triángulos equiláteros, - la figura en L (D) está formada por 4 cuadrados. Puedes intentar formar las correspondientes figuras semejantes siguiendo los respectivos enlaces: Figura A Figura B Figura C Figura D SIGUIENTE ANTERIOR SALIR

Mosaicos que se reproducen INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Mosaicos que se reproducen Las soluciones de cada caso se muestran a continuación. Observa la semejanza entre las figuras. La razón de semejanza es 2, puesto que la razón de semejanza de áreas es 4. Si haces las figuras en cartulina, tendrás interesantes rompecabezas. ANTERIOR SALIR

Enlaces de interés Transformaciones Geometría dinámica INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Enlaces de interés Transformaciones IR A ESTA WEB Geometría dinámica IR A ESTA WEB ANTERIOR SALIR

Actividad: Un juego sobre la razón entre dos números INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Actividad: Un juego sobre la razón entre dos números Dirección: http://www.bbc.co.uk/education/mathsfile/shockwave/games/bathroom.html En la sección de Educación de la BBC, hay una interesante actividad sobre movimientos. Para desarrollarla, sigue este enlace. ANTERIOR SALIR