f(x) = x2 R R 2 4 2,3 5,29 5 25 Concepto de función Una función es una ley que asigna a cada elemento x, de un conjunto un único elemento, f(x) llamado imagen, de otro o del mismo conjunto Dominio y recorrido El dominio, Dom(f), de una función es el conjunto de valores para los que está definida la función. Para que la función quede determinada se ha de definir su dominio. El recorrido, Rec(f), de una función es el conjunto de todas las imágenes. f(x) = x2 R R Dominio 2 2,3 5 4 5,29 25 Recorrido f(2) = 4 f(2,3) = 5,29 Final f(5) = 25

Dominio y recorrido X Y Rec(f) = [0, 2 ] Dom(f) = [-2, 2] Final

Ver cómo dibuja el ordenador una función: pasa el ratón por encima Gráfica de una función La gráfica de una función y = f(x) es el conjunto de todos los pares (x, y), donde x pertenece a dominio de la función e y = f(x) es el valor que toma la función f en el elemento x El ordenador puede dibujar funciones punto a punto. En el ejemplo la primera vez dibuja con puntos separados. La segunda vez con puntos muy cercanos. Si los puntos no están adecuadamente elegidos incluso el ordenador puede fracasar, y no ser capaz de darnos el aspecto de la función. Ver cómo dibuja el ordenador una función: pasa el ratón por encima Gráfica de la función y = x 1 + x2 Final

Ver cómo dibuja el ordenador una función: pasa el ratón por encima Gráfica de una función La gráfica de una función y = f(x) es el conjunto de todos los pares (x, y), donde x pertenece a dominio de la función e y = f(x) es el valor que toma la función f en el elemento x El ordenador puede dibujar funciones punto a punto. En el ejemplo la primera vez dibuja con puntos separados. La segunda vez con puntos muy cercanos. Si los puntos no están adecuadamente elegidos incluso el ordenador puede fracasar, y no ser capaz de darnos el aspecto de la función. Ver cómo dibuja el ordenador una función: pasa el ratón por encima Gráfica de la función y = x 1 + x2 Final

Gráficas de algunas funciones (II) Es una parábola Dom (f) = R Rec(f) = [0, +) Es una cúbica Dom (f) = R Rec(f) = R Final

Gráficas de algunas funciones (III) Es una hipérbola Dom (f) = R - {0} Rec(f) = R - {0} Dom (f) = [0, +) Rec(f) = [0, +) Final

Gráficas de algunas funciones (IV) Dom (f) = R Rec(f) = R Final

Funciones definidas a trozos Dom (f) = R Rec (f) = R X Y x + 1 si x  0 x - 1 si x >0 1 -1 -1 1 Final

Función y = |x| - x si x  0 x si x >0 Dom (f) = R Rec (f) = [0, +) - x si x  0 x si x >0 X Y Final

Función y = [ x ] Dom (f) = R Rec (f) = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ....} X Y 1 3 2 -1 -2 Final

Trasladamos la gráfica de y = f(x), 2 unidades hacia arriba Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable dependiente Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces la función y =f(x)+a pasa por el punto (xo, yo+a). La gráfica de y = f(x)+a se obtiene trasladando a unidades hacia la arriba (abajo) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0) Trasladamos la gráfica de y = f(x), 2 unidades hacia arriba Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = f(x)+2 Final

Trasladamos la gráfica de y = f(x) 2 unidades a la izquierda Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la variable independiente Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo, yo) entonces la función y =f(x+a) pasa por el punto (xo - a, yo). La gráfica de y = f(x+a) se obtiene trasladando a unidades hacia la izquierda (derecha) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0) Trasladamos la gráfica de y = f(x) 2 unidades a la izquierda Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = f(x+2) Final

Se dilata la gráfica verticalmente al doble Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable dependiente Si y = f(x) pasa por (xo,yo) entonces y = af(x) pasa por (xo, ayo). Por ello para a>1 esta transformación dilata verticalmente la gráfica, y para 0 < a < 1 la contrae verticalmente Se dilata la gráfica verticalmente al doble Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = 2f(x) Final

Gráficas de f(x) y de - f(x) (I) Conocida la gráfica de y = f(x), la gráfica de g(x) = - f(x) es simétrica respecto al eje de abcisas, ya que los puntos (x, f(x)), y (x, g(x)) = (x, -f(x)) son simétricos respecto a este eje Se simetriza la gráfica respecto al eje OX Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = - f(x) Final

Se contrae la gráfica horizontalmente a la mitad Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la variable independiente Si la función y = f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces y = f(ax) pasa por el punto (xo/a, yo). Si a > 1 la gráfica se contrae horizontalmente. Si 0 < a < 1 la gráfica se dilata horizontalmente Se contrae la gráfica horizontalmente a la mitad Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = f(2x) Final

Gráficas de f(x) y de f(-x) (II) Las gráficas de f(x) y de g(x) = f(-x) son simétricas respecto al eje de ordenadas ya que los puntos (x, f(x)) y (-x, g(-x)) = (-x, f(x)) son simétricos respecto a este eje Se simetriza la gráfica respecto al eje OY Gráfica de y = f(x) Gráfica de y = f(-x) Final

Funciones pares f(x) = x4 - 2x2 presenta simetría respecto a la recta x = 0 (Eje Y) ya que f(-x) = f(x) x  D. Se dice que es una función par P(-x, f(-x)) x = 0 P(x, f(x)) -x x Final

Funciones impares f(x) = x3/(x2-1) presenta simetría respecto al origen de coordenadas ya que f(-x) = - f(x) x  D. Se dice que es una función impar x P(x, f(x)) f(x) -x P(-x, f(-x)) f(-x) Final