Bondad de Ajuste, MRLC Y MCO BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚ CURSO DE ACTUALIZACIÓN PARA PROFESORES ECONOMETRÍA Bondad de Ajuste, MRLC Y MCO Profesora: Donita Rodríguez. Agosto 2011

ESQUEMA El MRLCK en Desviaciones Muestrales Descomposición de la Suma de Cuadrados El Coeficiente de Determinación o R2 Algunas observaciones sobre el R2 Otros criterios de Bondad de Ajuste Aplicaciones

1. EL MRLCK EN DESVIACIONES MUESTRALES El MRLK en desviaciones, para la “t-ésima” observación, está dado por la siguiente expresión (minúsculas son desvíos): Dado que desaparece el término constante, este se obtiene de: Para expresar matricialmente el modelo en desviaciones, utilizamos la matriz de desvíos A:

1. EL MRLCK EN DESVIACIONES MUESTRALES La matriz A es simétrica (A’=A), idempotente (AA=A), Ae=e y Ai=0. Con A se obtiene el MRLK en desviaciones: Para obtener las ecuaciones normales en términos de desviaciones, multiplicamos el modelo por X*’ y obtenemos:

2. DESCOMPOSICIÓN DE SUMA DE CUADRADOS. Para el caso del modelo de 2 variables: SCT = SCE + SCR. donde: SCT = Suma total de los cuadrados de las desviaciones de la variable Y. SCE = Suma explicada de los cuadrados a partir de la regresión de Y sobre X. SCR = Suma residual o no explicada de los cuadrados a partir de la regresión de Y sobre X.

2. DESCOMPOSICIÓN DE SUMA DE CUADRADOS. Las expresiones alternativas –en términos de desviaciones- para la descomposición son:

2. DESCOMPOSICIÓN DE SUMA DE CUADRADOS. Para el MRLCK, es posible debido a que X’e=0. Se parte de , y se obtiene: En términos de desviaciones:

3. EL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN O R2 El R2 centrado (alrededor de la media) se define como: En términos vectoriales: Se demuestra que: En el MRLC2:

3. EL COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN O R2 El R2 también se denomina coeficiente de determinación o bondad de ajuste. Mide el porcentaje de la variación total observada de la variable endógena explicada linealmente por la variación de las variables independientes del modelo estimado. Esta interpretación es válida bajo las siguientes condiciones: El estimador analizado debe ser MCO. La relación tiene que ser lineal. La relación lineal estimada debe incluir intercepto.

4. ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE EL R2 Observaciones Importantes sobre el R2. (1) Lo único que se puede afirmar a partir del valor del R2 es si el grado de ajuste de los datos muestrales al modelo estimado es bueno o malo. (2) Solamente bajo el supuesto de que la muestra es representativa de los valores poblacionales (verdaderos), un buen (mal) ajuste de los datos al modelo será equivalente a que la relación estimada entre las variables involucradas es relevante (irrelevante).

4. ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE EL R2 Si el modelo poblacional tiene intercepto y se estima sin intercepto, SCE y SCR pueden crecer mucho: El R2 puede tomar valores mayores que 1: R2 = SCE/SCT. El R2 puede tomar valores negativos: R2=1-(SCR/SCT).

4. ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE EL R2

4. ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE EL R2 (4) El R2 es sensible al rango de variación de las variables independientes: Un mayor rango de variación generará mayor rango de variación para la dependiente, afectando el R2. No tiene sentido comparar el R2 de dos muestras diferentes: dos períodos diferentes o dos países. Tiene más sentido comparar estimados de varianza de la perturbación de diferentes muestras.

4. ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE EL R2 (5) Los econometristas buscan obtener buenos estimados, lo cual no depende del R2, sino de la metodología y los supuestos del modelo probabilístico. Otras advertencias: No deben compararse los R2 de dos modelos con diferentes variables dependientes. Las variables dummy pueden “inflar” el R2.

6. OTROS CRITERIOS DE BONDAD DE AJUSTE El R2 no es adecuado para comparar la bondad de ajuste de dos modelos (anidados) con distinto número de regresores. Sólo para comparar modelos (con la misma dependiente) con igual número de regresores. Cuando se añade al modelo un regresor, la SCR o la parte no explicada por el modelo nunca aumenta: se mantiene igual o disminuye. Se necesitan criterios alternativos: R2 ajustado, AIC, SC

6. OTROS CRITERIOS DE BONDAD DE AJUSTE El R2 Ajustado Se define como: Puede expresarse alternativamente como: Penaliza la inclusión de regresores adicionales. La bondad de ajuste de un modelo será mejor mientras más alto sea el valor del R2 ajustado.

6. OTROS CRITERIOS DE BONDAD DE AJUSTE El Criterio de Schwarz (Swarchz Criterion o SC) El SC también penaliza el hecho de incluir regresores adicionales, contrarrestándolo con el nivel de información que esta variable incluye al modelo. Se define como: La bondad de ajuste de un modelo será mejor mientras más bajo sea el valor del SC.

6. OTROS CRITERIOS DE BONDAD DE AJUSTE El Criterio de Información de Akaike (Akaike Information Criterion o AIC). Es similar al SC. La única diferencia es en la manera de penalizar la inclusión de regresores adicionales al modelo. Se define como: La bondad de ajuste de un modelo será mejor mientras más bajo sea el valor del SC.

7. APLICACIONES Dependent Variable: EARNINGS Method: Least Squares Date: 07/31/11 Time: 23:27 Sample: 1 540 Included observations: 540 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.   C -19.79196 3.585928 -5.519341 0.0000 S 2.870943 0.255034 11.25710 R-squared 0.190639     Mean dependent var 19.93339 Adjusted R-squared 0.189135     S.D. dependent var 16.43569 S.E. of regression 14.80002     Akaike info criterion 8.230831 Sum squared resid 117843.8     Schwarz criterion 8.246725 Log likelihood -2220.324     F-statistic 126.7222 Durbin-Watson stat 1.885753     Prob(F-statistic) 0.000000

7. APLICACIONES Age: edad Dependent Variable: EARNINGS Method: Least Squares Date: 07/31/11 Time: 23:27 Sample: 1 540 Included observations: 540 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.   C -12.57680 12.03502 -1.045017 0.2965 S 2.878874 0.255490 11.26805 0.0000 AGE -0.179826 0.286313 -0.628074 0.5302 R-squared 0.191233     Mean dependent var 19.93339 Adjusted R-squared 0.188221     S.D. dependent var 16.43569 S.E. of regression 14.80835     Akaike info criterion 8.233800 Sum squared resid 117757.3     Schwarz criterion 8.257642 Log likelihood -2220.126     F-statistic 63.48704 Durbin-Watson stat 1.883935     Prob(F-statistic) 0.000000 Age: edad

7. APLICACIONES Siblings: número de hermanos Dependent Variable: EARNINGS Method: Least Squares Date: 07/31/11 Time: 23:27 Sample: 1 540 Included observations: 540 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.   C -17.43225 4.024129 -4.331931 0.0000 S 2.788855 0.262711 10.61567 SIBLINGS -0.391983 0.304064 -1.289144 0.1979 R-squared 0.193136     Mean dependent var 19.93339 Adjusted R-squared 0.190131     S.D. dependent var 16.43569 S.E. of regression 14.79092     Akaike info criterion 8.231444 Sum squared resid 117480.2     Schwarz criterion 8.255287 Log likelihood -2219.490     F-statistic 64.27001 Durbin-Watson stat 1.869203     Prob(F-statistic) 0.000000 Siblings: número de hermanos

7. APLICACIONES ¿Cuál de los dos modelos elegiría? ¿Por qué?

ESQUEMA El MRLCK en Desviaciones Muestrales Descomposición de la Suma de Cuadrados El Coeficiente de Determinación o R2 Algunas observaciones sobre el R2 Otros criterios de Bondad de Ajuste Aplicaciones