INFORMACION GENERAL DE OBJETO DE APRENDIZAJE Bibliografía Autor Competencia Tema INICIO Facultad de Ingeniería Mexicali – Agosto 2009 Optimizado para Microsoft PowerPoint 2007 Ing. Fernando Félix Solís Cortés 3.1 Concepto de derivada de una función “La recta tangente y su relación con la derivada de una función” El Cálculo, Louis Leithold 7ma Edición, Editorial Harla México Interpretación geométrica del concepto derivada de una función para la resolución de problemas sobre optimización relacionados al área de Ingeniería

Introducción a la Derivada Dónde estoy, y a dónde voy? Posición actual Dónde estoy? Posición actual Dónde estoy? Ej. Apatía, irresponsabilidad distracciones, etc. Fuerzas externas que atacan Antes de iniciar, es importante reflexionar…

Recordemos el camino trazado… Unidad 1. Funciones de una variable Unidad 2. Limites y continuidad Unidad 3. La derivada Unidad 4. Aplicaciones de la derivada Pero, antes de iniciar veamos una simple pregunta… Introducción a la Derivada Ya analizamos funciones… También limites de funciones… Y el tema que iniciamos hoy es….

“La pregunta del millón…” ( un minuto de silencio…) Introducción a la Derivada

“La pregunta del millón…” Si tenemos una función definida por La mayoría contestaría: “su derivada es: ” MUY BIEN!! ….. Pero…….. “memorizar términos matemáticos y no tener la mínima idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..” “las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!” Introducción a la Derivada

Algunos conceptos básicos. Introducción a la Derivada La recta secante y la recta tangente en términos geométricos Recta secante Recta tangente “es una recta que intersecta un círculo en dos puntos” “es una recta que tiene un punto en común con un circulo”

Algunos conceptos básicos. Introducción a la Derivada La recta secante y la recta tangente en una función Función original

Algunos conceptos básicos. Introducción a la Derivada La recta secante y la recta tangente en una función Función original Recta secante

Algunos conceptos básicos. Introducción a la Derivada La recta secante y la recta tangente en una función Función original Recta tangente

Algunos conceptos básicos. Introducción a la Derivada Sabemos que una de las características principales de una recta es su pendiente (m) En términos muy simples la pendiente de una recta es un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos sobre una recta!

Algunos conceptos básicos. Introducción a la Derivada Función original Recta secante De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta secante en la curva de una función es:

Algunos conceptos básicos. Introducción a la Derivada Recta tangente Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta tangente si solo conoce un punto?

Algo de historia. Introducción a la Derivada Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años, y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres, entre los que se encuentran : Pierre de Fermat Rene DescartesGottfried Wilhelm Leibniz Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo Moderno, en 1684 propuso un método general para encontrar las tangentes a una curva a través de lo que el llamo símbolos.

La derivada. Introducción a la Derivada Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE Supongamos que deseamos conocer la pendiente de la recta tangente en X=1 Observe que si hacemos diversas aproximaciones de rectas secantes, podemos hacer una muy buena estimación de la Pendiente de la recta tangente

La derivada. Introducción a la Derivada Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

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La derivada. Introducción a la Derivada Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE Observa que el punto Cada vez se acerca más al punto Atajo Volver a mostrar Continuar

La derivada. Introducción a la Derivada Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE Ahora, como expresar el comportamiento anterior en términos matemáticos?

La derivada. Introducción a la Derivada Aprox.Procedemos a sustituir:

La derivada. Introducción a la Derivada Considerando: Procedemos a sustituir:

La derivada. Introducción a la Derivada Ahora Consideremos:

La derivada. Introducción a la Derivada Ahora recordemos el comportamiento de las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuir Presiona para observar nuevamente el comportamiento (utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)

La derivada. Introducción a la Derivada Ahora recordemos el comportamiento de las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuir Presiona para observar nuevamente el comportamiento (utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)

La derivada. Introducción a la Derivada Podemos expresar lo anterior así: lim Analizando dicho comportamiento, procedemos a aplicar un límite así: Se puede observar que el punto cada vez se aproxima más al punto pero no llegará a tocarlo

La derivada. Introducción a la Derivada Finalmente considerando lo siguiente: lim La expresión nos queda así:

La derivada. Introducción a la Derivada Finalmente considerando lo siguiente: lim La expresión nos queda así:

La derivada. Introducción a la Derivada lim Este límite (el cual genera otra función), representa la pendiente de las diversas rectas tangentes a la gráfica de una función….. Y se le conoce comúnmente como: Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así: Por su origen basado en incrementos =

La derivada. Introducción a la Derivada lim = Y precisamente por esta fórmula es que lo siguiente, ahora si, tiene sentido: Si tenemos una función definida por Entonces su derivada es: Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original

Aplicación del límite obtenido…. Introducción a la Derivada Procederemos a la aplicación del límite deducido para obtener la derivada de la función: Recordemos que la derivada esta definida por el límite: Al evaluar el término se puede observar que: Al sustituirlo obtenemos:

Aplicación del límite obtenido…. Introducción a la Derivada Al desarrollar el binomio al cuadrado obtenemos: Reduciendo términos: Aplicando los teoremas sobre límites tenemos lo siguiente:

Aplicación del límite obtenido…. Introducción a la Derivada Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que: Si tenemos una función definida por Entonces su derivada es:

Tomada de “El Cálculo” por Louis Leithold

Representación gráfica de: La función que representa su derivada es:

Representación gráfica de: La función que representa su derivada es: Al sustituir en la derivada el valor de X: Observe que:

Representación gráfica de: La función que representa su derivada es:

Representación gráfica de: La función que representa su derivada es:

INFORMACION GENERAL DE OBJETO DE APRENDIZAJE Bibliografía Autor Competencia Tema Facultad de Ingeniería Mexicali – Agosto 2009 Optimizado para Microsoft PowerPoint 2007 Ing. Fernando Félix Solís Cortés 3.1 Concepto de derivada de una función “La recta tangente y su relación con la derivada de una función” El Cálculo, Louis Leithold 7ma Edición, Editorial Harla México Interpretación geométrica del concepto derivada de una función para la resolución de problemas sobre optimización relacionados al área de Ingeniería.