CONTROL DE PROCESOS VARIABLES DE ESTADO - 2011 -

qe2 qe1 A2 A1 R2 R1 qs1 qi h2 h1 Recordando que Balance para el tanque 2 Balance para el tanque 1 Se puede representar como:

Indicando a la integral por 1/s b1 1/s 1 h1 qe1 qe2 a21 a12 b2 1/s 1 h2 a22

X’=AX+BU Y=CX + DU

A C D B x’=Ax+Bu y=Cx+Du U Y El uso de la representación en espacio de estado es que permite representar el modelo de sistemas tanto continuos como discretos, lineales o no lineales variables o invariantes en el tiempo, siempre en notación matricial. Pudiendo representar al sistema como: x’=Ax+Bu con salida y=Cx+Du y función de transferencia D B C U Y x’ x A

Veremos distintas formas de representación de sistemas Sea un sistema con función de transferencia: Por fórmula de Mason: Por lo tanto, si podemos llevarla a la misma forma nos será mas fácil poder representarla.

A partir de la misma podemos determinar los lazos, caminos directos y cofactores. Especificando primero que todos los lazos pasen por x’3 b2/a3 b1/a3 b0/a3 u x3’ x3 x2’ x2 x1’ x1 y 1 1/s -a2/a3 -a1/a3 -a0/a3

Escribiendo las ecuaciones de estado, obtenemos: x1’= x2 x2’= x3 x3’= -(a0/a3) x1 - (a1/a3) x2 - (a2/a3) x3 + u Como en forma matricial sabemos que x’=Ax+Bu y=Cx+Du

Si ahora querenos que todos los lazos toquen x1: b2/a3 b1/a3 b0/a3 u x3’ x3 x2’ x2 x1’ x1 y 1/s 1 -a2/a3 -a1/a3 -a0/a3

Escribiendo las ecuaciones de estado, obtenemos: x1’= - (a2/a3) x1 + x2 + 0 x3 + (b2/a3) u x2’= - (a1/a3) x1 + 0 x2 + x3 + (b1/a3) u x3’= - (a0/a3) x1 + 0 x2 + x3 + (b0/a3) u Como en forma matricial sabemos que x’=Ax+Bu y=Cx+Du

En la siguiente configuración, todos los lazos se tocan en x1 , pero los caminos se unen a la salida: b 2 1 u 1 x´ 3 1 /s x 1 x´ 1/s x 1 x´ 1/s x Y - a / a Debemos encontrar los valores de los  para que se verifique la misma funciónde transferencia.

Si buscamos los caminos, lazos y cofactores, obtenemos: Como vemos en este caso los cofactores NO son unitarios, lo que lleva a aumentar la complejidad de la resolución.

bo = 0a3 + 1a2 +2a1 b1 = 1a3 + 2a2 b2 = 2a3 2 = b2/a3 Distribuyendo y comparando los términos de igual orden, obtenemos: bo = 0a3 + 1a2 +2a1 b1 = 1a3 + 2a2 b2 = 2a3 3 ecuaciones con 3 incógnitas, podemos resolverlo , obteniendo: 2 = b2/a3 1 = b1/a3 - (b2/a3)a2 0 = b0 - [b1/a3 - (b2/a3)a2] - b2

En términos de variables de estado obtenemos: x1’= - (a2/a3) x1 + x2 + 0 x3 + 0 u x2’= - (a1/a3) x1 + 0 x2 + x3 + 0 u x3’= - (a0/a3) x1 + 0 x2 + x3 + 1 u

El siguiente ejemplo descompone a la función de transferencia en fracciones parciales:(Sistema desacoplado)

x1’ = p1x1 + u x2’ = p2x2 + u x3’ = p3x3 + u En término de variables de estado, obtenemos: x1’ = p1x1 + u x2’ = p2x2 + u x3’ = p3x3 + u La salida viene dada por y=Cx+Du :

Caso donde la función de transferencia tiene un par de polos complejos conjugados: Podemos considerar al bloque como:

u y Por lo tanto el diagrama en flujo queda de la forma: 1 x2’ 1/s x2 2 1/a3 u y -2wn 1/a3 -wn2 3 x3’ x3 1/s p3

x1’ = x2 x2’ = -wn2x1 - 2wnx2 + (1/a3)u x3’ = p3x3 + (1/a3)u En término de variables de estado, obtenemos: x1’ = x2 x2’ = -wn2x1 - 2wnx2 + (1/a3)u x3’ = p3x3 + (1/a3)u La salida viene dada por y=Cx+Du :