TEMA 1 CARACTERIZACIÓN TEMPORAL DE SEÑALES

INTRODUCCIÓN El Proceso Digital de Señales trata de la representación de señales por secuencias de números y el posterior proceso de tales secuencias. Objetivos: 1) Estimar los parámetros característicos de la señal. 2) Transformar la señal en otra. Aplicaciones: Ingeniería Biomédica Telecomunicaciones Acústica, Sonar, Radar Física Nuclear Sismología Proceso Digital de Imágenes

Las Señales Digitales son discretas en tiempo y en amplitud. INTRODUCCIÓN SEÑAL:  Es una función que contiene información sobre el estado ó comportamiento de un sistema físico. Según el rango de variabilidad de la variable independiente, la señal puede ser:           1) Contínua en el tiempo f(t), t ∈ [a,b]         2) Discreta en el tiempo: f(t) ∈ {t₀,t₁,...,tn} Según el rango de variabilidad de la amplitud, la señal puede ser: 1) Contínua en amplitud 2) Discreta en amplitud Las Señales Digitales son discretas en tiempo y en amplitud.

INTRODUCCIÓN DESCRIPCION DE SEÑALES EN EL DOMINIO TEMPORAL Valor Medio (en un intervalo T): Valor Medio Temporal: Valor Medio Cuadrático: Varianza:

SEÑALES DISCRETAS ELEMENTALES Las señales discretas se caracterizan por estar definidas solamente para un conjunto numerable de valores de la variable independiente. Se representan matemáticamente por secuencias numéricas. En la práctica suelen provenir de un muestreo periódico de una señal analógica. Las señales digitales se obtienen a partir de la cuantización de las señales discretas resultantes del muestreo de las señales analógicas.                  , siendo T el periodo de muestreo

SEÑALES DISCRETAS ELEMENTALES SECUENCIAS DISCRETAS ELEMENTALES Impulso unitario discreto  d(n)=1 (Si n=0) , d(n)=0 (Si n#0)    Escalón unitario discreto:    u(n)=1 (Si n>=0) , u(n)=0 (Si n<0) Propiedades: 1) δ(n)=x(0) δ(n) 3) 2) δ(n)=u(n)-u(n-1) 4)

SEÑALES DISCRETAS ELEMENTALES SECUENCIA COMPLEJA EXPONENCIAL x(n) = ejwn = cos(wn) + jsen(wn) El conjunto de todos los valores distintos que esta secuencia discreta puede adoptar se encuentran en el intervalo [-π ,π].

SEÑALES DISCRETAS ELEMENTALES SECUENCIA COMPLEJA EXPONENCIAL Las secuencias exponenciales complejas (y sinusoidales) no son necesariamente periódicas (con periodo T=2π /w), sino que la condición de periodicidad es: wN=2π k, siendo k un entero Hay N frecuencias distinguibles para las cuales las secuencias correspondientes son periódicas con periodo N. Este conjunto de frecuencias es:                              wk=2π k/N siendo k=0,1,2...N-1

SEÑALES DISCRETAS ELEMENTALES CLASIFICACIÓN DE SEÑALES DISCRETAS Señales de Energia: Son señales que tienen energia finita, por lo que son limitadas en tiempo. Se define la energía como :  E = ∑ |x(n)| Señales de Potencia: Se describen en términos de potencia las señales Periódicas, o Aleatorias estacionarias o no limitadas en t. Se define la potencia como 

SEÑALES DISCRETAS ELEMENTALES CLASIFICACIÓN DE SEÑALES DISCRETAS Las señales discretas pueden clasificarse del siguiente modo:

OPERACIONES ELEMENTALES Suma de secuencias: y(n)=x1(n)+x2(n) Multiplicación de secuencias: y(n)=x1(n)x2(n) Adición escalar: y(n)=x(n)+α Multiplicación por una constante: y(n)= α x(n) Desplazamiento temporal: n-k -------> y(n-k) Inversión: -n -------> y(-n)

OPERACIONES ELEMENTALES PROPIEDADES DE SIMETRÍA Secuencia par: x(-n)=x(n) Secuencia impar: x(-n)=-x(n) Toda secuencia arbitraria puede expresarse como la suma de dos componentes, una de las cuales es par y la otra impar:                  x(n)=xe(n)+xo(n)

SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO Un Sistema es un modelo matemático ó abstracción de un proceso físico que relaciona entradas y salidas según alguna regla preestablecida. En general: y(n) = T [x(-∞), x(n-1), x(n), x(n+1),..., x(∞)] Sistema Causal: y(n) = T [x(-∞), x(n-1), x(n)] Sistema causal de memoria finita: y(n)=T [x(n-N),..., x(n-1), x(n)] Sistema invariante en el tiempo: y(n-m)=T[x(n-m)] y(n)=T[x(n)]

SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO Sistemas Lineales: Son aquellos que verifican el principio de superposición: Homogeneidad: Un cambio en la amplitud de la señal de entrada, provoca el mismo cambio de amplitud en la señal de salida. Aditividad : La respuesta a la suma de dos señales es la suma de las respuestas a cda una de las señales. Si:   y1(n)=T [x1(n)] ,  y2(n)=T [x2(n)] y se verifica:   T[ax1(n) + bx2(n)] = aT[x1(n)] +bT[x2(n)] = ay1(n)+ by2(n)

SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO Sistemas Invertibles: Si distintas entradas dan lugar a distintas salidas En el caso de sistemas LIT: h(n) * h1(n)=d (n)

SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO INTERACCION SEÑAL-SISTEMA En general: y[n] =T[x(n)] por otro lado: Por linealidad:  Si llamamos: h(n) = T[δ(n)]  Respuesta Impulsional del Sistema Por Invarianza: h(n-k) = T[δ(n-k)] Luego:    -----> Suma de Convolución

SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO INTERACCION SEÑAL-SISTEMA Realizando el cambio: n-k=j  k=n-j SISTEMAS DISCRETOS                     SISTEMAS CONTINUOS                                                                       Suma de Convolución                       Integral de Convolución

ESTABILIDAD Un Sistema DLI es ESTABLE, si para una entrada acotada, la salida está acotada: |x(n)| < M => | y(n)| < N, para M,N finitos Luego, el sistema es estable si está acotado: Si un Sistema DLI, es Causal: y(n)=T[x(-∞),...,x(n)]

ECUACIONES EN DIFERENCIAS Los sistemas contínuos : Ecuaciones Diferenciales Lineales con coeficientes constantes . Los sistemas discretos: Ecuaciones en diferencias lineales de coeficientes constantes. Expresión Recursiva

ECUACIONES EN DIFERENCIAS Caso Particular Describe un sistema LIT, en el que: h(n) = bn/a0 si 0£ n£ M                                                -------> FILTROS FIR h(n) = 0 en otro caso        Las ecuaciones en diferencias pueden representarse graficamente definiendo los siguientes bloques: Expresión no Recursiva

ECUACIONES EN DIFERENCIAS SISTEMA CAUSAL  FIR IIR