INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE TIEMPO Dr. Luis Miguel Galindo

INTRODUCCIÓN Los modelos de series de tiempo buscan capturar características empíricas relevantes de los datos observados ARIMA Las series de tiempo sirven para validar modelos estructurales a ante su inexistencia. Modelos estructurales no sirven, a veces, para pronósticos fuera de la muestra

F(X1t, X2t,…….., Xnt) = F(X1t+1, X2t+2,…….., Xnt+1) CONCEPTOS GENERALES Una serie es estrictamente estacionaria en el caso en que la distribución de sus valores se mantienen constantes a lo largo del tiempo de modo que la probabilidad de que Yt se ubique en cierto intervalo se mantiene constante. F(X1t, X2t,…….., Xnt) = F(X1t+1, X2t+2,…….., Xnt+1) Una serie estacionaria débil o de covarianza estacionaria se define como: 1.1 E(Yt) =   media constante 1.2 E(Yt - ) (Yt - ) = 2  varianza constante 1.3 E(Y1t - ) (Y2t - ) = 12t  estructura de la autocovarianza constante

CONCEPTOS GENERALES 2.1 Cov(Xt, Xt+s) = s = E[(Yt - ) (Yt+n - )] 2.2. coeficiente de autocorrelación Función de autocovarianzas 2.3 s = Cov(Xt, Xt+s) Acf o correlograma =coeficientes de autocorrelación

CONCEPTOS GENERALES Ruido Blanco: Un ruido blanco es un proceso que tiene una estructura que puede identificarse: 3.1 E(Yt) =  3.2 Var(Yt) = 2 2 si t = r 3.3 t-r = 0 en otro caso Un ruido blanco tiene media y varianza constante y autocovarianzas cero con excepción del rezago cero.  Cada observación no está autocorrelacionada

CONCEPTOS GENERALES Bajo el supuesto de distribución normal de Yt entonces los coeficientes de autocorrelación muestral también se distribuyen normalmente: 4. s  N(0, 1/T)  1.96 *

CONCEPTOS GENERALES Box Pierce (1970): 5.1 Ho: 2(m)  = coeficientes de autocorrelación Todos los coeficientes de autocorrelación son cero m=rezago Lung – Box (1978): 5.2  2(m) LB mejores propiedades en muestras pequeñas

EJERCICIO 1: Ejercicio: Determinar un AR con tasa de interés y discutir sus criterios de selección

PROCESO MA Una serie con E(ut) = 0 y var(ut) = 2 entonces un MA es: 6. Yt =  + ut + 1ut-1 + 2ut-2 + …… + qut-q 6.1 Un MA es una combinación lineal de procesos que son ruido blanco 6.2 6.3

PROCESO MA Características del MA: 7.1 Media constante: E(Yt) =  7.2 Varianza constante: Var(Yt) = 0 = (1 + 21 + 22 + …… + 2q)2 (s + 1s+1 + ……… + qq-s)2 7.3 Covarianza = 0 para s > q

PROCESO MA Teorema de descomposición de Wold indica que toda serie estacionaria débil que se extrajo el componente determinístico puede descomponerse en una combinación lineal de una secuencia de variables aleatorias no correlacionadas

PROCESO AR AR(p) 8. Yt =  + 1Yt-1 + 2Yt-2 + …… + pYt-p + ut ut = ruido blanco 8.1 8.2 8.3 (L)Yt =  + ut (L) = (1 - 1L - 2L2 - …… - pLp)

PROCESO AR Como: 8.4 (L)Yt = ut Entonces: 8.5 Yt = (L)-1ut Las raíces de una ecuación característica caen fuera del círculo unitario 9. (1 - 1Z - 2Z2 - …… - pZp) = 0

PROCESO AR Serie: 10. Yt = 3Yt-1 – 0.25Yt-2 + 0.75Yt-3 + ut Entonces: 11. Yt = 3LYt – 0.25L2Yt + 0.75L3Yt + ut 12. (1 - 3L – 0.25L2 + 0.75L3)Yt = ut La ecuación característica: 12.1 (1 - 3Z – 0.25Z2 + 0.75Z3) = 0 Factorizando: 12.2 (1 - Z) (1 – 1.5Z) (1 - 0.5Z) = 0 Z = 1, Z = 2/3, Z = 2

RAÍZ UNITARIA

RAÍZ UNITARIA

RAÍZ UNITARIA

RAÍCES Y VALORES CARACTERÍSTICOS

PROCESO ARMA 13. (L)Yt =  + (L)ut (L) = 1 - 1L - 2L2 - …… - pLp (L) = 1 + 1L + 2L2 - …… + qLq Con: E(ut) = 0; E(u2t) = 2, E(ut us) = 0 t  s Las características del proceso ARMA es una combinación de los AR y MA Condición de invertibilidad: MA  || < 1

MODELOS ARMA: BOX – JENKINS 1. Identificación: Determinar el orden del modelo Método: ACF o gráficas 2. Estimación: MCO o Máxima Verosimilitud 3. Pruebas de diagnóstico: Ajuste o diagnóstico de residuales

PRONÓSTICOS EN EW Estimación de predicciones: Método estático: Estima las predicciones una a una utilizando la observación anterior y los valores actuales Método dinámico: Estima las predicciones a partir de la primera observación del período de predicción y utiliza valores pronosticados en el caso de que existan valores rezagados de la variable endógena El método estructural se utiliza con los errores sistemáticos y ofrece opción estática y dinámica De no indicarse nada las predicciones se obtienen utilizando sólo la parte estructural del modelo (ignorando las autocorrelaciones)

PRONÓSTICOS EN EW 1. Root Mean Squared Error: 2. Mean Absolute Error: 3. Mean Absolute Percent Error:

PRONÓSTICOS EN EW 4. Theil Inequality Coefficient: Bias proportion Variance proportion Covariance proportion

EJERCICIO 2: PRONÓSTICOS CON ARMA Pronóstico con ARMA de tasa de interés

INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE TIEMPO Dr. Luis Miguel Galindo