Santiago, 28 de septiembre del 2013 PROGRAMA EMPRENDER PREUNIVERSITARIO ALUMNOS UC PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE MATEMÁTICAS II MEDIO Santiago, 28 de septiembre del 2013

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Problema: un muchacho rema aguas arriba por un río, de un punto a otro a 4 kilómetros de distancia, en 1½ hora. El viaje de regreso cuando rema a favor de la corriente, sólo dura 45 min. ¿Con qué rapidez rema, en relación con el agua, y cuál es la rapidez con la que corre esta?

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Solución: si llamamos x = rapidez de remado (en km/hrs) y = rapidez de la corriente (en km/hrs) cuando el muchacho rema a favor de la corriente, se moverá a un total de x + y km/hrs

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas pero cuando rema contra la corriente, se moverá a x – y km/hrs La distancia río arriba y río abajo es la misma, 4 kilómetros. Entonces: y

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 4, para eliminar los denominadores, tendremos. Se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas En general, los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son de la forma: Son conjuntos formados por dos ecuaciones de primer grado que se verifican para los mismos valores de las incógnitas. Las soluciones del sistema serán los valores x e y que satisfagan ambas ecuaciones.

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Cada una de las ecuaciones tiene una representación gráfica que corresponde a una recta. Entonces, las soluciones del sistema corresponden a las coordenadas de los puntos donde se intersectan las rectas. Ejemplo: encuentre gráficamente la solución del sistema (1) (2)

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Solución: confeccionemos una tabla de valores para cada recta y usando las coordenadas de solamente dos puntos, grafiquemos cada recta en un mismo sistema cartesiano: (1) (2) x y 3 punto (0,3) punto (0,0) punto (3,0) 1 2 punto (1,2)

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas El punto de intersección de las rectas es la solución del sistema. En este caso es x = 1 e y = 2. Al graficar un sistema como éste se presentan tres casos: las rectas se intersectan en un punto (secantes), las rectas no se intersectan (rectas paralelas), o las dos ecuaciones representan la misma recta (coincidentes) y, en este caso, todos los puntos de una de ellas satisfacen también la otra ecuación (el sistema tiene infinitas soluciones).

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas En el problema introductorio las representaciones de las ecuaciones 3x – 3y = 8 y 3x + 3y = 16 corresponden a rectas secantes, las cuales se intersectan en el punto de coordenadas (4,4/3). Como las coordenadas de este punto no son fáciles de leer en el gráfico, es necesario de disponer de métodos de solución algebraicos que eviten dicho problema.

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas SOLUCIÓN ANALÍTICA: Método de sustitución Método de igualación Método de reducción

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Método de sustitución: consiste en despejar una de las incógnitas, ya sea en la primera o en la segunda ecuación y reemplazarla en la otra. Ejemplo: (1) (2) De (1) despejemos y: (3), y reemplazamos en (2);

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Reemplazando este valor en (3) se obtiene Entonces la solución es el par ordenado (3, -2).

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Método de igualación: consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y luego igualar ambos resultados. Ejemplo: (1) (2) despejando x de ambas ecuaciones:

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Igualamos y resolvemos la ecuación resultante: /

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las dos expresiones en que aparece despejada la incógnita x: Entonces, la solución es el par (3, 6).

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Método de reducción: consiste en buscar el M.C.M. de los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones y luego amplificar las ecuaciones por números apropiados para eliminar la incógnita por suma o resta según los coeficientes igualados tengan distinto o el mismo signo, respectivamente. Ejemplo: (1) (2)

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Multiplicando la ecuación (1) por 3 y la ecuación (2) por 2 se consigue igualar los coeficientes de y: (3) (4) Restando las ecuaciones obtenidas [(3)-(4)], obtenemos:

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Reemplazando en (1) tendremos: Luego la solución del sistema es (2, -2).

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Ejercicios: resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando los métodos de sustitución, igualación y reducción: a) 3x + 2y = 21 5x – y = 22 b) x + 2y = 0 5x – y = 11