CÁLCULO DE PROBABILIDADES TEMA 13 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I VARIACIONES TEMA 13.1 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I COMBINATORIA La Combinatoria es la parte del Algebra que estudia los distintos grupos que se pueden formar con cierto número de objetos. La Combinatoria prescinde de la naturaleza de los objetos, pero no del orden en que están colocados, considerando todos los objetos como diferentes. Al número de elementos de que disponemos se le llama base, mientras que el número de elementos que de ellos tomamos para formar grupos se llama orden de la agrupación (binarias, ternarias, cuaternarias, etc). Según la forma de agrupar los distintos elementos de un conjunto tendremos: VARIACIONES CON Y SIN REPETICIÓN PERMUTACIONES CON Y SIN REPETICIÓN COMBINACIONES CON Y SIN REPETICIÓN @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Las claves de la Combinatoria Lo más difícil de la Combinatoria es distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones, y después discernir si son no con repetición. En las dos primeras (variaciones y permutaciones) la clave estará en el orden de colocación de los elementos. En la tercera (combinaciones) la clave estará en la ausencia de orden, importando el conjunto de dichos elementos. En la primera forma de agruparlos (variaciones) se toman parte de los elementos de un conjunto, mientras que en la segunda forma (permutaciones) se toman todos los elementos del conjunto. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I DIAGRAMA DEL ÁRBOL Se lanzan tres monedas al aire. ¿Cuántos resultados posibles puede haber?.¿Qué son?. 1ª Moneda 2ª Moneda 3ª Moneda El nº total de resultados es: N=2.2.2 = 23 = 8 Como se puede repetir C y X habrá repetición. Como importa el orden, pues no es lo mismo XCC que CXC, no serán combinaciones. Serán variaciones con repetición. C CCC C X CCX C CXC C X X CXX C XCC C X XCX X C XXC X X XXX @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

VARIACIONES ORDINARIAS ( SIN REPETICIÓN ) De m elementos tomados de n en n , son los diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de modo que en cada grupo entren n elementos distintos y que un grupo se diferencie de los demás en alguno de los elementos o en el orden de colocación de los mismos. TIPO FORMULA EJEMPLOS VARIACIONES SIN REPETICIÓN m! V = --------- m,n (m-n)! Orden de prioridades al hacer lista compra Palabras de n letras con m letras distintas. Las 5 profesiones que más me interesan @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 1 Con las letras de la palabra AMOR, ¿cuántas palabras de tres letras distintas se pueden formar? Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen todas las letras y deben ser letras distintas… Luego son variaciones ordinarias V4,3 = 4!/(4-3)! = 4!/1! = 4.3.2.1/1 = 24 EJEMPLO 2 De las cinco carreras universitarias que me interesan, ¿de cuantas formas diferentes puedo ordenar tres de ellas para echar la solicitud de matrícula? Importa el orden de colocación, no se cogen las cinco carreras y sería absurdo repetir alguna de ellas… V5,2 = 5!/(5-3)! = 5!/2! = 5.4.3.2.1 / 2.1 = 120 / 2 = 60 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 3 Con cierto número de cifras me dicen que puedo formar 60 números de 3 cifras diferentes cada uno. ¿Cuántas cifras me dan, suponiendo que ninguna de ellas es el 0?. Resolución: Importa el orden, no se cogen todas y deben ser cifras distintas… Luego son variaciones ordinarias Vx,3 = x! / (x – 3)! ; 60 = x.(x – 1).(x – 2).(x – 3)! / (x – 3)! 60 = x.(x – 1).(x – 2)  60 = 5.4.3 , luego x = 5 cifras. EJEMPLO 4 Para hacer un sorteo se realizan 210 papeletas, cada una compuesta por el mismo número de personas, aunque con nombres diferentes elegidos entre las 7 personas que forman parte del sorteo. ¿Cuántas personas entran a formar parte de cada papeleta? Importa el orden, no se cogen las 7, y no se repiten nombres… V7,x = 7! / (7 – x)! ; 210 = 5040 / (7 – x)! ; (7 – x)! = 5040 / 210 = 24 = 4! 7 – x = 4  x = 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

VARIACIONES CON REPETICIÓN De m elementos tomados de n en n , son los diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de modo que en cada grupo entren n elementos, pudiendo alguno repetirse una o varias veces y considerando dos grupos distintos si se diferencian en alguno de los elementos o en el orden de colocación de los mismos. VARIACIONES CON REPETICIÓN n VR = m m,n Quinielas de fútbol o quinielas hípicas Lotería Nacional Repartir cartas en los buzones azar @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 1 Con las letras de la palabra MURCIELAGO, ¿cuántas palabras de siete letras se pueden formar? Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen todas las letras y no nos indican que deben ser letras distintas… Luego son variaciones con repetición VR10, 7 = 107 = 10.000.000 EJEMPLO 2 Con las letras de la palabra AMOR, ¿cuántas palabras de siete letras se pueden formar? Importa el orden de colocación, a la fuerza se deben repetir letras, y no tenemos por qué coger las cuatro letras que nos dan… VR4,7 = 47 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 3 Con las tres letras y cuatro cifras de una matrícula, ¿cuántas matrículas diferentes resultan? Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen todas las letras ( 26 ) ni todos los dígitos (10 ) y se pueden repetir letras y cifras… Luego son variaciones con repetición VR10, 4 = 104 = 10.000 para las cifras VR26,3 = 263 = 17.576 para las letras Por cada variación de letras habrá 10.000 variaciones de números En total se pueden hacer: 10.000. 263 = 175.760.000 matrículas diferentes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I