8 Sesión Contenidos: Concepto de par ordenado. El Plano cartesiano. Conceptos de Relación & Función. Dominio y Recorrido. Profesor: Víctor Manuel Reyes F. Asignatura: Matemática para Ciencias de la Salud (MAT-011) Primer Semestre 2012

Aprendizajes esperados: Graficar puntos en los cuatro cuadrantes del plano cartesiano. Determinar dominio, recorrido e inversa de relaciones por extensión. Transformar relaciones por comprensión en relaciones por extensión. Diferenciar relaciones de funciones. Determinar dominio, recorrido e inversa en funciones expresadas en notación funcional (implícita o Explícita). Graficar funciones lineales y racionales simples en el plano cartesiano.

Concepto de Función La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva. Por ejemplo, la reacción de un organismo frente a un fármaco depende de la dosis del medicamento; el crecimiento de una población depende del número de individuos y de depredadores.

Concepto de Función Cigarros/diario Ca próstata pulmón riñón 5 3 14 7 21 8 4 25 6 9 24 11 26 Por 100000 habitantes

¿Dónde se usan las Funciones? Una función se puede presentar mediante una tabla. Ejemplo: en la tabla siguiente se da la medida de un feto (en cm) dependiendo del tiempo de gestación (en meses). Edad (meses) Longitud (cm) 2 4 3 8 15 6 29 7 34 38 9 42 A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada. (2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses, mide 4 cm. (6, 29) indica que a los 6 meses el feto mide 29 cm

La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación. Representación Función Edad(meses) Longitud(Cms) 4 8 15 29 34 38 42 2 3 4 6 7 8 9 La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.

La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación. Representación Función Edad(meses) Longitud(Cms) 4 8 15 29 34 38 42 2 3 4 6 7 8 9 La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.

¿Son funciones? 1 2 3 4

Ejemplo de funciones Edad / agilidad Profundidad / presión Edad / cantidad palabras Asma extrínseca / Cap.vital Temperatura / presión gas Antioxidantes / cáncer Sesiones / % recuperación Trat. láser de He-Ne / recidivas Partículas / infección respiratoria Colesterol / infarto Edad / altura $ / …………….. Hora estudio/ rendimiento académico Altitud / 02 disuelto

Representación Función Edad(meses) Longitud(Cms) Plano Cartesiano 4 8 15 29 34 38 42 2 3 4 6 7 8 9 Edad (meses) Variable Independiente: x Longitud (Cms) Variable Dependiente: y = f(x) f(x) es la imagen de x x es la preimagen de f(x)

Representación Función Edad(meses) Longitud(Cms) 4 8 15 29 34 38 42 2 3 4 6 7 8 9 Longitud Edad

Dominio de una función El dominio de una o función es el conjunto de las primeras componentes (abscisas) de los pares ordenados de la relación. Es el conjunto de las preimágenes, es la parte que tomo del conjunto de partida. Y lo denotaremos por Dom (f) Ejemplos:

Recorrido de una función El recorrido de una función es el conjunto de las segundas componentes (ordenadas) de los pares ordenados de la relación. Es el conjunto de las imágenes, es la parte que tomo del conjunto de llegada. Y lo denotaremos por Rec (f) Ejemplos:

Dominio y recorrido de una función

Representación Función Las entradas para los partidos de Chile, por las clasificatorias para el mundial de fútbol Brasil 2014, son las siguientes: Si una entrada tiene un valor de $ 8500, para dos entradas el valor es de $ 17 000, ¿cuánto tendríamos que cancelar por 4 entradas?, ¿y 7 entradas?, y ¿12 entradas?

¿Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente función? Tabla de Evaluación

¿Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente función? Buscar condiciones para la variable Buscar condiciones para la variable

Propiedades de las funciones Es si los elementos del conjunto B (imagen) le corresponde un solo elemento del conjunto A (pre-imagen). Esta función es llamada inyectiva o 1 a 1. Función Inyectiva (1-1)

Propiedades de las funciones Una función es Epiyectiva (exhaustiva, o suprayectiva, o suryectiva, o sobreyectiva) cuando todo elemento del conjunto de llegada (B) es imagen de al menos un elemento del conjunto de partida (dominio o A). Función Epiyectiva (sobre)

Propiedades de las funciones Función Biyectiva Sea f una función biyectiva de A en B, si y sólo si f es epiyectiva e inyectiva a la vez, es decir que todos los elementos del conjunto inicial (A) tengan una imagen distinta en el conjunto de llegada (B) (inyectiva), y que ademas el recorrido sea igual al conjunto de llegada (epiyectiva)

Función Inversa Sea una función biyectiva, entonces la función inversa de es una función biyectiva tal que y Gráficamente podemos representar estas funciones de la manera siguiente:

Ejemplo Función Inversa Hallar la inversa y grafica de la siguiente función Solución Para hallar la inversa de la función debemos despejar la variable x

Ejemplo Función Inversa

Mortalidad por enfermedades respiratorias