Conceptos Generales de Geometría Bernardo Alarcón Navarro Profesor de Computación

Índice Triángulos Punto Clasificación de Triángulos Recta Polígonos Elementos de los Polígonos Clasificación de los Polígonos Ángulos de un Polígono Ángulos Adyacentes Suplementarios Cuadriláteros Paralelogramos, Trapecios, Trapezoides Cuadrados, Rectángulos Rombo, Romboide Bibliografía Punto Recta Rayo Segmento Ángulo Unidades de Medida en los Ángulos Herramientas para Medir Ángulos Clasificación de los Ángulos Rectas Paralelas Rectas Secantes Rectas Perpendiculares

Representaciones del Punto en Geometría El punto es un elemento geométrico que no puede dimensionarse, este se representa dibujando una cruz (x) o un pequeño círculo que describe su posición en el espacio. Los puntos suelen nombrarse con letras mayúsculas A, B, C, D, etc. Observemos que dos puntos determinan una recta y sólo una. Del mismo modo tres puntos no alineados determinan un plano y sólo uno. x Ejemplo Representaciones del Punto en Geometría A B x Puntos de una Recta x x Puntos de un Plano Puntos de un Segmento Índice Continuar

Recta Ejemplo Índice Continuar La recta o línea recta es la sucesión continua e indefinida de puntos en una misma dimensión. También se puede considerar a la recta como la distancia más corta entre dos puntos. La recta es de longitud ilimitada, derecha, sin grosor ni extremos. Ejemplo Recta Horizontal Recta Oblicua Índice Continuar Recta Vertical

Ejemplos cotidianos de una recta: Representamos 2 rectas en esta línea del tren. La infinita línea del horizonte puede representar una recta. También podemos representar una recta como la línea más delgada que se puede dibujar con un lápiz. Índice Continuar

En el ejemplo se muestra el Rayo ST, de origen S. Los rayos son aquella parte de la línea recta que queda a algún lado de un punto llamado origen, señalado sobre ella. Ejemplo S T En el ejemplo se muestra el Rayo ST, de origen S. Índice Continuar

Ejemplos cotidianos de un Rayo: En todas las figuras el rayo se representa por una flecha de color rojo. Índice Continuar

En el ejemplo se muestra el segmento AB. Los segmentos son una parte de la recta, la cual se señala entre dos puntos llamados extremos del segmento. Los segmentos son finitos y pueden ser tan grandes como se quiera. Ejemplo A B En el ejemplo se muestra el segmento AB. Índice Continuar

Ejemplos cotidianos de un Segmento: Este testigo forma el Segmento AB. A B ¿Qué otros Segmentos puedes encontrar en el Plano de la ciudad? En la recta formada por la calle Eberhard, tenemos el segmento formado por las calles Barros Aranas y Magallanes. Índice Continuar

El ángulo se mide en Grados. Los ángulos son la unión de dos rayos. Note que ambos rayos tienen un mismo origen, al cual se le conoce con el nombre de vértice del ángulo y a los rayos se les conoce como lados del ángulo. Ejemplo Vértice El ángulo se mide en Grados. Lados Índice Continuar

Ejemplos cotidianos de un Ángulo: En las figuras podemos observar diversas representaciones de ángulos, con las cuales nos encontramos a diario. ¿Qué otros ángulos puedes encontrar en estas figuras? Índice Continuar

Unidades de medida para los ángulos Los ángulos se pueden medir en: Radian Grado Centesimal Grado Sexagesimal Nosotros utilizaremos la unidad de medida llamada Grado Sexagesimal y como ejemplo de su notación tendríamos: 90º. Lo leeremos como “noventa grados”. El grado sexagesimal es la nonagésima (1/90) parte de un ángulo recto. Índice Continuar

Herramientas para medir Ángulos La Escuadra La escuadra es una regla que en uno de sus vértices tiene un Angulo de 90º. Esta sirve para hacer, medir o comprobar ángulos rectos, es decir, ángulos de 90º. El Transportador El transportador es un regla similar a la mitad de una circunferencia, la cual esta marcada con los grados. Este sirve para medir cualquier ángulo. En el ejemplo tenemos un ángulo de 80º. Grados Vértice de Angulo Recto. Índice Continuar

Clasificación de los Ángulos Ángulo Agudo Mide menos de 90º Ángulo Recto Mide 90º Ángulo Obtuso Mide más de 90º Ángulo Extendido o Llano Mide 180º Índice Continuar

Rectas Paralelas Ejemplo Índice Continuar Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Se dice que dos rectas a y b son paralelas cuando son equidistantes, es decir, cuando todos los puntos de una recta están a igual distancia de la otra recta. También podemos decir que dos rectas son paralelas si nunca llegan a cortarse en un punto. Ejemplo Todos los puntos de estas rectas están equidistantes, es decir, a igual distancia entre ambas, por lo tanto son rectas paralelas. Diversas Rectas Paralelas Índice Continuar

Representación de Rectas Paralelas Todos los puntos de estas rectas están equidistantes, es decir, a igual distancia entre ambas, por lo tanto son rectas paralelas. Diversas Rectas Paralelas Índice Continuar

Ejemplos cotidianos de rectas paralelas: Estos lápices están equidistantes entre sí, por lo tanto representan rectas paralelas. En esta escalera también podemos representar rectas paralelas. En esta construcción puedes apreciar diversas rectas paralelas. Índice Continuar

Todos los Ángulos son distintos de 90º Rectas Secantes Dos rectas son secantes si están en el mismo plano y se cortan en un mismo punto, formando cuatro ángulos, cada uno diferente de 90º. Ejemplo Todos los Ángulos son distintos de 90º Índice Continuar

Rectas Perpendiculares Dos rectas son perpendiculares si están en el mismo plano y se cortan en el mismo punto, forman 4 ángulos iguales de 90º cada uno. A estos ángulo que miden 90º se les llama ángulos rectos, y esto permite definir a dos rectas como perpendiculares. Ejemplo Angulo de 90º Angulo de 90º Índice Continuar

¿Qué otras rectas puedes encontrar? Índice Continuar Ejemplos cotidianos de Rectas Secantes, Perpendiculares y Paralelas: La calle Manuel Bulnes es perpendicular a la calle Carrera Pinto. La Avda. Ultima Esperanza y la Avda. España son Rectas Secantes. La calle Blanco Encalada es paralela a calle Baquedano. ¿Qué otras rectas puedes encontrar? Índice Continuar

Triángulos Ejemplo Índice Continuar Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados; está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o tres puntos no alineados que se llaman vértices. Ejemplo A B C a b c α γ β Sean: a b c, los lados del triangulo. A B C, los vértices del triangulo. α β γ, los ángulos interiores del triangulo. Índice Continuar

¿Qué otras figuras u objetos pueden representar un triángulo? Índice Ejemplos cotidianos Triángulos: ¿Qué otras figuras u objetos pueden representar un triángulo? Índice Continuar

Clasificación de los Triángulos Los Triángulos se pueden clasificarse según sus lados y según sus ángulos. A saber: Según sus lados: Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó \pi Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se opone a estos lados tienen la misma medida. Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida. Índice Continuar

Clasificación de los Triángulos Según sus ángulos: Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa. Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°). Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°. Índice Continuar

Clasificación de los Triángulos según sus Lados y según sus Ángulos En la tabla de la izquierda puedes observar una especial clasificación de triángulos según sus ángulos y lados. Así tendremos: Triángulo acutángulo que puede ser equilátero, isósceles o escaleno. Triángulo rectángulo que puede ser isósceles o escaleno. Triángulo obtusángulo que puede ser isósceles o escaleno. Para mayores antecedentes revisa la siguiente diapositiva. Índice Continuar

Clasificación de los Triángulos según sus Lados y según sus Ángulos Triángulo acutángulo equilátero: sus tres ángulos son menores a 90° y sus tres lados son de igual medida. Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente. Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría. Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45 cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa. Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes. Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos. Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes. Índice Continuar

Polígonos Ejemplos Índice Continuar Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados. También podemos decir que los polígonos son figuras cerradas, formadas por varios segmentos de líneas, a las que llamamos lados. Ejemplos Índice Continuar

Índice Continuar Ejemplos cotidianos de Polígonos: Triángulo Octágono Hexágono Pentágono (EE.UU.) Cuadrilátero Índice Continuar

Elementos de los Polígonos Los elementos de un polígono son: Lados, Vértices, Ángulos, Diagonales. Veamos algunos ejemplos: Lado Diagonal Lado Vértice Ángulo Vértice Ángulo Los lados son segmentos que forman el polígono. Los vértices son cada uno de los puntos en que se forman los lados. Los ángulos del polígono son los ángulos que forman los lados. Las diagonales son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Índice Continuar

Clasificación y denominación de los Polígonos según el número de lados Nº de Lados Nombre Figura 3 Triangulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono Nº de Lados Nombre Figura 7 Heptágono 8 Octágono 9 Eneágono Índice Continuar

Clasificación y denominación de los Polígonos según el número de lados Nº de Lados Nombre Figura 10 Decágono 11 Endecánogo 12 Dodecágono 13 Tridecánogo Nº de Lados Nombre Figura 14 Tetradecánogo 15 Pentadecánogo 20 Isodecágono Índice Continuar

Ángulos de un Polígono Ejemplo Índice Continuar B    A   C    Recordemos que uno de los elementos del polígono son los ángulos que forman la unión de dos segmentos. La característica de estos ángulos es que pueden ser Internos o Externos, según sea su ubicación. Ejemplo Vértice A B C D E Medida del ángulo interior           En este polígono de cinco lados, podemos reconocer los ángulo interiores por el arco de color amarillo y los ángulos exteriores por el arco de color blanco.  Medida del ángulo externo Índice Continuar

Ángulos Adyacentes Suplementarios En cada vértice es posible encontrar un ángulo interior y un ángulo exterior. La suma de un ángulo interior con un ángulo exterior dará exactamente 180º, por lo tanto estos dos ángulos forman un ángulo suplementario. Ejemplo Ambos ángulos forman un ángulo extendido o de 180º Ángulo Adyactente Suplementario Ángulo Interior Ángulo Exterior α + β = 180º En su conjunto forman un ángulo extendido Índice Continuar

Polígonos de Cuatro Lados: Cuadriláteros Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro lados, cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Ejemplos Trapecio Rombo Cuadrado Trapezoide Romboide Rectángulo Índice Continuar

Los Cuadriláteros se clasifican según sus lados en: Trapezoides Paralelogramos Trapecios Un trapezoide es un polígono cuadrilátero cerrado en el que ninguno de sus cuatro lados es paralelo a otro. Ejemplos de ellos tenemos: Estos son cuadriláteros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos. Ejemplos de ellos tenemos: Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. Ejemplos de ellos tenemos: Cuadrado Rombo El trapezoide no es un paralelogramo, pero cumple con las propiedades básicas de estos polígonos, la suma de sus ángulos internos es de 360º. Rectángulo Romboide Índice Continuar

Cuadrado Rectángulos Índice Continuar Es un paralelogramo de cuatro lados paralelos entre sus opuestos. Sus lados son de igual longitud y forman cuatro ángulos rectos, es decir de 90º. Rectángulos Es un paralelogramo de cuatro lados paralelos entre sus opuestos que forman cuatro ángulos rectos, es decir de 90º. Los lados opuestos tienen la misma longitud entre sus opuestos. Índice Continuar

Rombo Romboide Índice Continuar El rombo es un cuadrilátero paralelogramo. Sus cuatro lados son de igual longitud y son paralelos entre sus opuestos. Romboide El romboide es un paralelogramo de cuatro lados cuyos opuestos son de igual longitud. Los ángulos formados por estos lados no son rectos, por lo tanto no es un rectángulo. Cada par de lados opuestos son de diferente longitud. Índice Continuar

Índice Bibliografía Linkografía - Libro para 4º Año Básico "Pensamiento y Matemática", Proyecto Espiral, Editorial Santillana, 2007. - "Geometría con aplicaciones y solución de problemas", Addison Wesley y Longman, 1998. Linkografía Nombre del Recurso Enlace - "Diccionario de Geometría", Waldo Montecinos Perez, USACH, 2001.  http://www.mat.usach.cl/Memorias/LEMC/mpwe.html  - El Mundo de las Matemáticas "Los Polígonos", Educa Red Chile.  http://www.educared.cl/educared/hojas/articulos/detallearticulo.jsp?pagina=1&idapr=27_178_esp_4__&articulo=3312  - "Actividad Interactica sobre Rectas y Ángulos", Portal GenMagic.Org - Investigación Multimedia Educativa, Roger Rey y Fernando Romero. http://www.genmagic.org/mates1/ra1c.swf Enciclopedia Online Wikipedia http://es.wikipedia.org - Área Matemáticas de Escolares.net http://www.escolares.net Índice

Para recordar: Punto Recta Rayo Segmento x

Para recordar: Línea Curva Abierta Línea Curva Cerrada Línea Poligonal Abierta Línea Poligonal Cerrada