Conceptos Generales de Geometría Bernardo Alarcón Navarro Profesor de Computación.

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1 Conceptos Generales de Geometría Bernardo Alarcón Navarro Profesor de Computación

2 Índice Punto Recta Rayo Segmento Ángulo Unidades de Medida en los Ángulos Herramientas para Medir Ángulos Clasificación de los Ángulos Rectas Paralelas Rectas Secantes Rectas Perpendiculares Triángulos Clasificación de Triángulos Polígonos Elementos de los Polígonos Clasificación de los Polígonos Ángulos de un Polígono Ángulos Adyacentes Suplementarios Cuadriláteros Paralelogramos, Trapecios, Trapezoides Cuadrados, Rectángulos Rombo, Romboide Bibliografía

3 Punto El punto es un elemento geométrico que no puede dimensionarse, este se representa dibujando una cruz (x) o un pequeño círculo que describe su posición en el espacio. Los puntos suelen nombrarse con letras mayúsculas A, B, C, D, etc. Observemos que dos puntos determinan una recta y sólo una. Del mismo modo tres puntos no alineados determinan un plano y sólo uno. Ejemplo x AB x x x

4 Recta La recta o línea recta es la sucesión continua e indefinida de puntos en una misma dimensión. También se puede considerar a la recta como la distancia más corta entre dos puntos. La recta es de longitud ilimitada, derecha, sin grosor ni extremos. Ejemplo

5 Ejemplos cotidianos de una recta: Representamos 2 rectas en esta línea del tren. La infinita línea del horizonte puede representar una recta. También podemos representar una recta como la línea más delgada que se puede dibujar con un lápiz.

6 Rayo Los rayos son aquella parte de la línea recta que queda a algún lado de un punto llamado origen, señalado sobre ella. Ejemplo ST En el ejemplo se muestra el Rayo ST, de origen S.

7 Ejemplos cotidianos de un Rayo: En todas las figuras el rayo se representa por una flecha de color rojo.

8 Segmento Los segmentos son una parte de la recta, la cual se señala entre dos puntos llamados extremos del segmento. Los segmentos son finitos y pueden ser tan grandes como se quiera. Ejemplo AB En el ejemplo se muestra el segmento AB.

9 Ejemplos cotidianos de un Segmento: Este testigo forma el Segmento AB. A B En la recta formada por la calle Eberhard, tenemos el segmento formado por las calles Barros Aranas y Magallanes.

10 Ángulo Los ángulos son la unión de dos rayos. Note que ambos rayos tienen un mismo origen, al cual se le conoce con el nombre de vértice del ángulo y a los rayos se les conoce como lados del ángulo. Ejemplo Lados Vértice El ángulo se mide en Grados.

11 Ejemplos cotidianos de un Ángulo: En las figuras podemos observar diversas representaciones de ángulos, con las cuales nos encontramos a diario.

12 Unidades de medida para los ángulos Los ángulos se pueden medir en: Radian Grado Centesimal Grado Sexagesimal Nosotros utilizaremos la unidad de medida llamada Grado Sexagesimal y como ejemplo de su notación tendríamos: 90º. Lo leeremos como “noventa grados”. El grado sexagesimal es la nonagésima (1/90) parte de un ángulo recto.

13 Herramientas para medir Ángulos La Escuadra La escuadra es una regla que en uno de sus vértices tiene un Angulo de 90º. Esta sirve para hacer, medir o comprobar ángulos rectos, es decir, ángulos de 90º. El Transportador El transportador es un regla similar a la mitad de una circunferencia, la cual esta marcada con los grados. Este sirve para medir cualquier ángulo. En el ejemplo tenemos un ángulo de 80º. Vértice de Angulo Recto. Grados

14 Clasificación de los Ángulos Ángulo Agudo Mide menos de 90º Ángulo Recto Mide 90º Ángulo Obtuso Mide más de 90º Ángulo Extendido o Llano Mide 180º

15 Rectas Paralelas Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Se dice que dos rectas a y b son paralelas cuando son equidistantes, es decir, cuando todos los puntos de una recta están a igual distancia de la otra recta. También podemos decir que dos rectas son paralelas si nunca llegan a cortarse en un punto. Ejemplo Todos los puntos de estas rectas están equidistantes, es decir, a igual distancia entre ambas, por lo tanto son rectas paralelas.

16 Representación de Rectas Paralelas Todos los puntos de estas rectas están equidistantes, es decir, a igual distancia entre ambas, por lo tanto son rectas paralelas.

17 Ejemplos cotidianos de rectas paralelas: En esta escalera también podemos representar rectas paralelas. Estos lápices están equidistantes entre sí, por lo tanto representan rectas paralelas. En esta construcción puedes apreciar diversas rectas paralelas.

18 Rectas Secantes Dos rectas son secantes si están en el mismo plano y se cortan en un mismo punto, formando cuatro ángulos, cada uno diferente de 90º. Ejemplo Todos los Ángulos son distintos de 90º

19 Rectas Perpendiculares Dos rectas son perpendiculares si están en el mismo plano y se cortan en el mismo punto, forman 4 ángulos iguales de 90º cada uno. A estos ángulo que miden 90º se les llama ángulos rectos, y esto permite definir a dos rectas como perpendiculares. Ejemplo Angulo de 90º

20 Ejemplos cotidianos de Rectas Secantes, Perpendiculares y Paralelas: La calle Manuel Bulnes es perpendicular a la calle Carrera Pinto. La Avda. Ultima Esperanza y la Avda. España son Rectas Secantes. La calle Blanco Encalada es paralela a calle Baquedano.

21 Triángulos Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados; está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o tres puntos no alineados que se llaman vértices. Ejemplo A B C a b c α γ β Sean: a b c, los lados del triangulo. A B C, los vértices del triangulo. α β γ, los ángulos interiores del triangulo.

22 Ejemplos cotidianos Triángulos:

23 Clasificación de los Triángulos Los Triángulos se pueden clasificarse según sus lados y según sus ángulos. A saber: Según sus lados: Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó \pi Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se opone a estos lados tienen la misma medida. Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

24 Clasificación de los Triángulos Según sus ángulos: Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa. Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°). Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°.

25 Clasificación de los Triángulos según sus Lados y según sus Ángulos En la tabla de la izquierda puedes observar una especial clasificación de triángulos según sus ángulos y lados. Así tendremos: Triángulo acutángulo que puede ser equilátero, isósceles o escaleno. Triángulo rectángulo que puede ser isósceles o escaleno. Triángulo obtusángulo que puede ser isósceles o escaleno. Para mayores antecedentes revisa la siguiente diapositiva.

26 Clasificación de los Triángulos según sus Lados y según sus Ángulos Triángulo acutángulo equilátero: sus tres ángulos son menores a 90° y sus tres lados son de igual medida. Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente. Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría. Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45 cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa. Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes. Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos. Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

27 Polígonos Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados. También podemos decir que los polígonos son figuras cerradas, formadas por varios segmentos de líneas, a las que llamamos lados. Ejemplos

28 Ejemplos cotidianos de Polígonos:

29 Elementos de los Polígonos Los elementos de un polígono son: Lados, Vértices, Ángulos, Diagonales. Veamos algunos ejemplos: Los lados son segmentos que forman el polígono. Los vértices son cada uno de los puntos en que se forman los lados. Los ángulos del polígono son los ángulos que forman los lados. Las diagonales son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

30 Clasificación y denominación de los Polígonos según el número de lados Nº de Lados NombreFigura 3 Triangulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono Nº de Lados NombreFigura 7 Heptágono 8 Octágono 9 Eneágono

31 Clasificación y denominación de los Polígonos según el número de lados Nº de Lados NombreFigura 10Decágono 11Endecánogo 12Dodecágono 13Tridecánogo Nº de Lados NombreFigura 14Tetradecánogo 15Pentadecánogo 20Isodecágono

32 Ángulos de un Polígono Recordemos que uno de los elementos del polígono son los ángulos que forman la unión de dos segmentos. La característica de estos ángulos es que pueden ser Internos o Externos, según sea su ubicación. Ejemplo A B C D E           Vértice Medida del ángulo externo Medida del ángulo interior  En este polígono de cinco lados, podemos reconocer los ángulo interiores por el arco de color amarillo y los ángulos exteriores por el arco de color blanco.

33 Ángulos Adyacentes Suplementarios En cada vértice es posible encontrar un ángulo interior y un ángulo exterior. La suma de un ángulo interior con un ángulo exterior dará exactamente 180º, por lo tanto estos dos ángulos forman un ángulo suplementario. Ejemplo α + β = 180º Ángulo Interior Ángulo Exterior Ambos ángulos forman un ángulo extendido o de 180º

34 Polígonos de Cuatro Lados: Cuadriláteros Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro lados, cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. Ejemplos

35 Los Cuadriláteros se clasifican según sus lados en: Estos son cuadriláteros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos. Ejemplos de ellos tenemos: ParalelogramosTrapecios Trapezoides Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. Ejemplos de ellos tenemos: Un trapezoide es un polígono cuadrilátero cerrado en el que ninguno de sus cuatro lados es paralelo a otro. Ejemplos de ellos tenemos: El trapezoide no es un paralelogramo, pero cumple con las propiedades básicas de estos polígonos, la suma de sus ángulos internos es de 360º.

36 Cuadrado Es un paralelogramo de cuatro lados paralelos entre sus opuestos. Sus lados son de igual longitud y forman cuatro ángulos rectos, es decir de 90º. Rectángulos Es un paralelogramo de cuatro lados paralelos entre sus opuestos que forman cuatro ángulos rectos, es decir de 90º. Los lados opuestos tienen la misma longitud entre sus opuestos.

37 Rombo El rombo es un cuadrilátero paralelogramo. Sus cuatro lados son de igual longitud y son paralelos entre sus opuestos. Romboide El romboide es un paralelogramo de cuatro lados cuyos opuestos son de igual longitud. Los ángulos formados por estos lados no son rectos, por lo tanto no es un rectángulo. Cada par de lados opuestos son de diferente longitud.

38 Bibliografía - Libro para 4º Año Básico "Pensamiento y Matemática", Proyecto Espiral, Editorial Santillana, 2007. - "Geometría con aplicaciones y solución de problemas", Addison Wesley y Longman, 1998. Linkografía Nombre del RecursoEnlace - "Diccionario de Geometría", Waldo Montecinos Perez, USACH, 2001. http://www.mat.usach.cl/Memorias/LEMC/mpwe.html - El Mundo de las Matemáticas "Los Polígonos", Educa Red Chile. http://www.educared.cl/educared/hojas/articulos/detalleartic ulo.jsp?pagina=1&idapr=27_178_esp_4__&articulo=3312http://www.educared.cl/educared/hojas/articulos/detalleartic ulo.jsp?pagina=1&idapr=27_178_esp_4__&articulo=3312 - "Actividad Interactica sobre Rectas y Ángulos", Portal GenMagic.Org - Investigación Multimedia Educativa, Roger Rey y Fernando Romero. http://www.genmagic.org/mates1/ra1c.swf -Enciclopedia Online Wikipediahttp://es.wikipedia.org - Área Matemáticas de Escolares.nethttp://www.escolares.net

39 Para recordar: Punto Recta Rayo Segmento x

40 Para recordar: Línea Curva AbiertaLínea Curva Cerrada Línea Poligonal AbiertaLínea Poligonal Cerrada