IAR134 Procesamiento de Señales Introducción al Proceso Digital de Señales (DSP) y sus Aplicaciones Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Contenido ¿Qué es una Señal? ¿Por qué “procesar” señales? Tiempo continuo y discreto Tipos de señales: Determinísticas, Estocásticas, Fractales y Caóticas ¿Qué es Ruido? Aplicaciones comunes. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Objetivos Definir en qué consiste el DSP. Indicar para qué se debe utilizar y cuáles son los pasos fundamentales en el DSP. Describir los elementos que forman un sistema de DSP. Referenciar las principales aplicaciones del DSP. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Sistemas Este concepto se utiliza para describir mediante modelos, principalmente matemáticos, los diferentes procesos físicos, químicos, biológicos ó sociales que ocurren. Los sistemas están integrados por varios elementos ó dispositivos mediante interconexiones grandes y complejas. Los elementos que conforman el sistema cumplen, por lo general, diferentes funciones dentro del mismo. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Construidos por los seres humanos Ejemplos de sistemas Naturales Construidos por los seres humanos El Universo La Galaxia El Sistema Solar La Tierra El Cuerpo Humano La Célula La Molécula El Átomo … Las Naciones Unidas El Televisor Internet La Bolsa de Negocios La Universidad El Automóvil Una Fábrica Un Robot … Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Clasificaciones de los Sistemas En base a sus características, se ubican en categorías no necesariamente excluyentes entre si. Algunas categorías típicamente utilizadas son: Estático Periódico Invariante en el tiempo Lineal Determinístico Estable Causal Dinámico Aperiódico No Lineal Probabilístico (Aleatorio) Caótico Auto semejante (Fractal) Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Información Está formada por “mensajes” sobre los eventos relativos a los procesos que tienen efecto en el interior de los sistemas y en su relación con el entorno que les rodea. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Teoría de la Información Se ocupa de la estimación cuantitativa acerca de cómo se comunica, o sea, como se transmite la información en el espacio y en el tiempo. Se basa en estudiar las señales emitidas por un sistema. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Señales Son funciones que describen la variación a través del tiempo de las variables dentro de un proceso. Cada señal brinda información acerca del estado en que se encuentra una determinada condición de dicho proceso en estudio. Ejemplos: El cambio en la temperatura de un cuerpo, La posición de una válvula, Etc. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Sistemas y Señales Para su estudio, los sistemas se definen en términos de la relación a través del tiempo que se establece entre dos vectores de señales, uno de entrada y otro de salida. SISTEMA Función de Transferencia H(t) Vector de Señales a la Entrada X(t) Vector de Señales a la Salida Y(t) Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Interacción entre señales y sistemas Puede comprenderse mejor si se considera que el vector de señales a la entrada se propaga a través del sistema y emerge como el vector de señales a la salida. Desde este punto de vista, el sistema cambia la señal de entrada cuando dicha señal se propaga a través del mismo: realiza una Función de Transferencia. El interés se centra en caracterizar el cambio en las propiedades de la señal utilizando las propiedades del sistema, lo cual es muy importante en muchos procesos. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Interconexiones de sistemas y señales Muchos procesos son muy complejos y constan de muchas componentes interrelacionadas. Para describir estos complicados procesos, es útil pensarles como si estuviesen compuestos de muchos sistemas interrelacionados que envían sus correspondientes señales. Existen varias formas de combinar señales: Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Ejemplos de combinaciones Aditiva Multiplicativa Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Ejemplo de interconexiones Conexión en Serie ó Cascada H1 H2 Conexión en Paralelo H1 H2 Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Teoría de Señales Existen varios motivos para estudiar señales: Modelado: Para desarrollar una descripción del comportamiento del proceso observado. Análisis: Para obtener información del proceso a partir de las señales que entrega. Diseño: Cumple dos propósitos: Asociar una señal con su contenido informativo, y Determinar y predecir la forma de la señal que se propagará a través de un sistema. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Señales y sistemas en tiempo continuo Una señal es una función que describe como se desarrolla una variable en el tiempo. Los sistemas donde el tiempo se modela utilizando números reales se denominan sistemas en tiempo continuo. Se relaciona directamente con muchos procesos físicos de la realidad cotidiana: voltaje, corriente, posición, velocidad, presión, temperatura, etc. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Señales y sistemas en tiempo discreto Los sistemas donde el tiempo se modela utilizando números enteros se denominan sistemas en tiempo discreto. Estas señales se denominan también secuencias. Estas señales NO son tan familiares. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Comentario acerca de las señales y sistemas en tiempo discreto Se relacionan directamente con procesos tales como la variación de la cotización de acciones en la bolsa de valores, etc. Sin embargo, para nuestro estudio son importantes, debido a que los computadores digitales procesan datos secuenciales en pasos discretos, lo que se modela naturalmente mediante señales y sistemas en tiempo discreto. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Ejemplos de Señales Las siguientes gráficas muestran la función seno: Continua Discreta Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Clases de Señales Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Procesamiento de Señales Brinda un marco de trabajo sólido para conceptuar y analizar la conducta de los sistemas de manera organizada y coherente. Puede realizarse de dos formas: Analógico: Si las señales se procesan de forma continua en el tiempo, aunque los valores de cada señal individual pueden ser continuos ó discretos. Digital: Cuando las señales se procesan utilizando técnicas discretas, numéricas, para lo cual se emplean muestras digitalizadas con un período fijo, en valores de tiempo bien determinados; y cuantificadas en niveles de valores discretos de amplitud ó intensidad predefinidos. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Tipos de Procesamiento Principalmente se realizan las siguientes tareas: Análisis del Espectro de Frecuencias Filtrado.- Para eliminar ó suavizar el ruido que se introduce durante el proceso de adquisición de la señal y que puede originarse por múltiples fenómenos tales como: movimientos, interferencia electromagnética, otros fenómenos ajenos al que se mide, etc. Detección de características.- Para contribuir al diagnóstico del estado de un sistema. Compresión.- Para ocupar menos espacio de almacenamiento y menor tiempo en la transmisión de información útil. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Ejemplo: Filtrado Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Ejemplo: Detección de características Algoritmo utilizado: Obtener la primera derivada de la señal: Sus ceros indican los Puntos de Inflexión. Calcular la segunda derivada: Sus mínimos indican los valores máximos de la función. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Posiciones de los "peaks" encontradas 80 271 454 644 825 Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Ejemplo: Compresión Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Ruido Se considera ruido a todas las perturbaciones que interfieren sobre las señales transmitidas o procesadas. Los orígenes del ruido son múltiples. Sistema Señal a la Entrada Señal a la Salida Perturbación Ruido Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Ejemplo de ruidos en procesos físicos movimiento desordenado de las partículas elementales, agitación térmica de las moléculas, producido por fuentes tales como contactos defectuosos, artefactos eléctricos, radiación por ignición y alumbrado fluorescente, errático producido por fenómenos naturales tales como tormentas eléctricas con relámpagos y rayos, eclipses y otros disturbios en las atmósfera o fuera de ella como las manchas solares. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Aplicaciones del Procesamiento de Señales Algunas aplicaciones actuales del Procesamiento de Señales son: el espacio: Análisis inteligente de los cuerpos celestes mediante sondas espaciales, mejoramiento de fotografías, etc. el comercio y la economía: Predicción de las variaciones de la bolsa, video conferencias, etc. las telecomunicaciones y el entretenimiento: Internet, video juegos, telefonía móvil, etc. la industria: Prospección minera y de combustibles fósiles, supervisión y control de procesos industriales, validación no destructiva de la calidad de los productos, etc. la esfera militar: Radar, Sonar, conducción remota de armamento, etc. la investigación científica: Grabación y análisis de terremotos, análisis espectral de compuestos, etc. los cuidados de salud: Equipos para ayuda al diagnóstico, a la terapia y a la rehabilitación; Almacenamiento de estudios realizados a los pacientes, etc. y otras múltiples en constante desarrollo e innovación ... Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Conversión de señales en tiempo continuo a señales en tiempo discreto Para poder procesar señales en tiempo continuo utilizando sistemas en tiempo discreto y viceversa se necesita realizar un proceso de conversión de la información. Si lo que se desea es llevar una señal continua a digital el proceso es llamado Conversión Analógico - Digital (ADC). Si se desea lo contrario, el proceso es llamado Conversión Digital – Analógica (DAC). Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Conversión Analógico - Digital (ADC) Para procesar señales en tiempo continuo utilizando sistemas en tiempo discreto se necesita realizar la Conversión Analógico - Digital (ADC), que consta de dos partes: Muestreo y retención (Sampling and Hold –S/H) y Cuantificación Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Muestreo (Presentación del tópico) Consiste en tomar valores de la señal a intervalos de tiempo fijos, o sea, con un período T dado. Comúnmente se utiliza también el término frecuencia de muestreo, que equivale al inverso del período:  = 1/T y se mide en hertzios(Hz). Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Teorema del Muestreo (Nyquist) “Una señal continua sólo puede ser muestreada apropiadamente si y solamente si no contiene componentes de frecuencia por encima de la mitad de la razón de muestreo.” Establece que para lograr la apropiada reconstrucción de una señal analógica a partir de una señal muestreada, se necesita que dicho muestreo se haya realizado al menos al doble de la máxima frecuencia existente en la señal analógica original. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Muestreo apropiado Estas muestras NO contienen toda la información necesitada para reconstruir la señal. Estas muestras SI contienen toda la información necesitada para reconstruir la señal. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Cuantificación Proceso mediante el cual se convierte de una amplitud infinitamente precisa a un valor digital expresado comúnmente en el sistema binario de numeración. Se toman valores en intervalos de amplitud ó intensidad fijos, a partir de un nivel prefijado conocido como “Bit Menos Significativo (LSB)”. Su unidad depende del tipo de sistema que entrega la señal: voltios si es tensión eléctrica, amperes si se trata de intensidad de la corriente eléctrica, etc. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Resumen del proceso de digitalización Las partes de este proceso son: Muestreo y Retención (Sampling and Hold - S/H). Conversión Analógica a Digital (ADC) : Este proceso ocupa un tiempo conocido como “Tiempo de Conversión”. Error de Cuantificación Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Conversión digital – analógica (DAC) Es la conversión necesaria para poder reconstruir una señal en tiempo continuo a partir de una señal (secuencia) en tiempo discreto. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Herramientas matemáticas Teoría de Funciones con variables reales y con variables complejas. Álgebra Lineal: Teoría de Matrices, incluida la solución de sistemas de ecuaciones lineales, así como el cálculo de autovalores y autovectores de una matriz. Transformaciones ortogonales: de Laplace, de Fourier, Z, Gabor, Wavelets, etc. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Funciones reales Una función real es una regla ó aplicación (mapping) de un intervalo ó subconjunto de los números reales en otro intervalo. Se denomina dominio ó conjunto de partida de la función al intervalo en que se define. Se denomina rango ó conjunto de llegada al intervalo en que toma valores la función. Una función es: par si x(t) = x(-t) ej: cos(t) y abs(t) impar si x(t) = -x(-t) ej: sin(t) y x(t)=t Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Funciones comunes Impulso unitario: Aδ(t-t0) (Delta de Dirac) Paso ó escalón unitario: us(t) Rampa unitaria: rp(t) Pulso unitario: П(t) Triángulo ó “diente de sierra”: Λ(t) Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Otras funciones comunes Exponencial (exp): Logaritmo natural(ln): Logaritmo en base 10(log): Sinusoidales, con sus parámetros: A-amplitud, ω-frecuencia de la sinusoide y ф- fase Sincronismo(sinc): Signo(sgn): Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Función Sa Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Funciones en tiempo discreto Una función discreta es aquella que localiza los números enteros dentro del conjunto de los números reales. Se escribe f(n), para n entero. Una secuencia de números se representa por an, para n=1,2,3,… y puede corresponder a los valores de una función discreta si f(n)=an Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Truncamiento Una secuencia f(n) es: truncada a la derecha si f(n) = 0 para todo n < n0 < ∞ truncada a la izquierda si f(n) = 0 para todo -∞ < n1 < n de longitud finita si f(n) = 0 para todo n < n0 ≤ n1 < ∞ Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Funciones discretas comunes Impulso unitario discreto Paso unitario Exponencial Sincronismo Sa Pulso Sinusoidal Ejercicio: Describir estas funciones. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Números complejos Un número complejo s se define como s = σ+ jω donde: σ y ω son números reales, y j = √-1 (raíz cuadrada de -1) Esta es la representación rectangular ó cartesiana, y σ = Re(s), y ω = Im(s) son su parte real y su parte imaginaria respectivamente. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Representación gráfica y operaciones Se asocia s = σ+ jω al par ordenado (σ, ω) del plano real. Las reglas de la suma y resta corresponden con las de suma y resta de vectores. Los vectores pueden representarse también en coordenadas polares: σ = ρ cos(θ) y ω = ρ sin(θ) ρ = √(σ 2 + ω2) y θ = atan(ω / σ) Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Exponencial e Identidad de Euler Para un número complejo r = s + jt, la función exponencial se calcula como er = e(s+jt) = es(cos(t)+j sin(t)) La ecuación ejt = cos t + j sin t es llamada Identidad de Euler, y proporciona la representación polar de un número complejo: r = p ejt Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Magnitud y Fase Dado el número complejo s = ρ ejθ, su valor absoluto ó módulo se define como: donde σ = Re(s) y ω = Im(s) La magnitud de s es su valor absoluto: ρ El ángulo ó fase de s es θ Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Ejemplos El número complejo 5ej(0.52) en representación polar corresponde a 4.3 + j2.5 en representación cartesiana. El número 1 + j4 en representación cartesiana rectangular corresponde a (√17)ej1.33 en representación polar. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Utilidad de la representación polar Simplifica las operaciones de multiplicación y de división de dos números complejos. Multiplicar: s0s1=(A0ejθ0) (A1ejθ1) = A0A1ej(θ0 + θ1) Dividir: Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Conjugado complejo Corresponde al reflejo de un número complejo respecto al eje real: Se obtiene reemplazando j por (-j). Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Sinusoidales como exponenciales complejas Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Círculo unitario y disco unitario El círculo unitario se define como el subconjunto de los números complejos C cuya magnitud es 1. El disco unitario Abierto: subconjunto de C cuya magnitud es menor que 1. Cerrado: subconjunto de C cuya magnitud es menor ó igual que 1, o sea: el círculo unitario unido con el disco unitario abierto. Utilizando la identidad de Euler puede escribirse como s = ejθ para 0 ≤ θ < 2π Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Representación Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Funciones racionales Una función racional es una función compleja que es la relación entre dos polinomios con coeficientes reales: Se define el orden de esta función como n. El polinomio b(s) es llamado polinomio del numerador, mientras que a(s) es el del denominador, cuyo coeficiente delantero siempre vale 1. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Características Una función racional X(s) es Estrictamente propia si m < n Propia si m ≤ n Impropia si m > n Las funciones racionales impropias son llamadas funciones no causales. Para una función racional con coeficientes reales, los polinomios b(s) y a(s) pueden descomponerse en factores lineales como: Si los coeficientes de X(s) son reales, las raíces complejas de b(s) y a(s) aparecen como pares complejos conjugados. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Matrices Una matriz A nxm es un arreglo bidimensional aij de n x m elementos, donde i es la fila y j es la columna. Puede denotarse también como A[aij]. Una matriz cuadrada posee el mismo número de filas que de columnas, por lo que sus dimensiones son nxn. Una matriz diagonal es una matriz cuadrada que solamente toma valores distintos de cero en la diagonal principal. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Vectores y valores propios Juegan un papel importante en el estudio de sistemas representados por ecuaciones diferenciales de primer orden. Sea A una matriz cuadrada no singular, V un vector (complejo en general) y sea λ un número complejo. Si AV = λV se dice que V es un vector propio (auto vector) y que λ es un valor propio (auto valor) de A. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Transformaciones Ortogonales Son herramientas matemáticas comúnmente utilizadas para extraer información útil de las señales. Ejemplos típicos son: Transformada de Fourier Transformadas de pequeñas onditas (“Wavelets”) Estas transformaciones cambian la correlación de la información temporal, y permiten encontrar en otros espacios, como el dominio de las frecuencias ó la escala, características no observables en el tiempo. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dominios temporal y de frecuencias Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Transformada de Fourier Consiste en representar una señal s(t) mediante una sumatoria de funciones sinusoidales: donde 0 = 2 / T. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Base ortogonal con componentes a distintas frecuencias Cosenos a frecuencias fijas Senos a frecuencias fijas Determinación de los coeficientes bn y cn de la expansión en series de Fourier Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Transformada Discreta de Fourier La Transformada Discreta de Fourier (DFT) es la herramienta primaria, básica, fundamental del Procesamiento Digital de Señales (DSP). Su algoritmo de cálculo, conocido como Transformada Rápida de Fourier (FFT) es: DIRECTA INVERSA que utiliza el hecho de que: Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Espectro de Frecuencias Herramienta utilizada para determinar las características de variación de la frecuencia de una señal a través del tiempo. Se obtiene calculando la Transformada Rápida de Fourier (FFT) de tramos consecutivos y traslapados de la señal. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Transformada de Gabor ó “Short-Time Fourier Transform” Se utiliza una función ventana de tipo gaussiano para la localización en el tiempo de las frecuencias. Existe un parámetro b, equivalente a un intervalo de tiempo fijo que es empleado para trasladar dicha ventana sobre la señal, con el objetivo de cubrir todo el dominio temporal. Permite analizar la señal en su relación tiempo – frecuencia. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Transformadas “Wavelet” Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Transformadas “Wavelets” Las “wavelets” son un conjunto de funciones bases que permiten expresar cualquier función en el espacio como combinación lineal de traslaciones en el tiempo y dilataciones de una única función madre W(t); y que emplean un parámetro de escala 2J, de una función simple: f(t) = å b(J,k) W(2J t - k) Estas traslaciones y dilataciones necesitan ser ortogonales La descomposición permite el análisis multiresolución de la función f(t). Los b(J,k) contienen la información cerca de la frecuencia 2J y el tiempo 2-J k. La “wavelet” W(t) tiene que satisfacer condiciones que aseguren que esta descomposición es válida. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Comparación Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy

Dr. Juan José Aranda Aboy Bibliografía Lindner, Douglas K: “Introducción a las Señales y los Sistemas”, McGraw-Hill, 2002 ISBN: 980-373-049-5. Ogata . K. Ingenieria de Control Moderno Ed Prentice Hall Hispanoamericana, 1993 Oppenheim,A.V.; Schafer,R.W y Buck,J.R.. “Tratamiento de Señales en Tiempo Discreto”, 2da Edición. Prentice Hall, 2000 Burrus,C.S; McClellan,J.H; Oppenheim,A.V; Parks,T.W; Schafer,R.W; y Schuessler,H.W. “Ejercicios de Tratamiento de la Señal utilizando MATLAB V.4”, Prentice Hall, 1994 Bruce,E.N. “Biomedical Signal Processing and Signal Modeling”, Wiley, 2001 Oppenheim,A.V; Willsky,A.S; Nawab,S.H. “Señales y Sistemas”, Prentice Hall, 1997 Principe,J.C; Euliano,N.R; y Lefebvre,W.C. “Neural and Adaptive Systems: Fundamentals Through Simulations”, John Wiley & Sons Inc., 2000 “The DSP Handbook” (En disco compacto) “DSP Guide” (En disco compacto ó Internet) Monografías y tutoriales en Internet, artículos de revistas y trabajos presentados a congresos de la especialidad que aportan estrategias novedosas sobre Procesamiento Digital de Señales. Primavera - 2008 Dr. Juan José Aranda Aboy