tema1TRAZADOS FUNDAMENTALES EN EL PLANO 1º BACHILLERATO Sesiones: 10 (trazados f.)+5 (proporcionaloidad semejanaz y escala)=15 sesiones en total: perpendicularidad paralelismo operaciones con segmentos, proporcionalidad, sección áurea. operaciones con ángulos. circunferencia: arco capaz, rectificación, rectas y puntos notables, potencia, eje radical
Lugar geométrico: Es el conjunto de puntos del plano o del espacio que gozan de la misma propiedad. ¿Cuántos?: existen muchos lugares geométricos. Su conocimiento es fundamental para estudiar la geometría. CONOCER MÁS...
perpendicularidad
la mediatriz es un lugar geométrico, ya que cualquier punto de ella equidista de los extremos del segmento
Trazado de paralelas con escuadra y cartabón
paralelismo
Trazado de paralelas con escuadra y cartabón
segmentos
Multiplicar entre si dos segmentos. Fig. 103 Construir un ángulo cualquiera transportando sobre uno de los lados sucesivamente la unidad y uno de los segmentos. Sobre el otro lado transportar el otro segmento dado, uniendo los puntos BC. Por D, trazar una paralela a B C, determinando el punto E. El segmento BE es el producto de los dos segmentos dados. A
Dividir entre sí dos segmentos. Fig. 104. Trazar un ángulo cualquiera, transportando sobre uno de sus lados a partir del vértice, el segmento dado como dividendo. Sobre el otro lado del ángulo, transportar sucesivamente el divisor y la unidad, uniendo los extremos BC del dividendo y divisor. Trazar una paralela a este segmento por el punto D, obteniendo el punto E. El segmento B E es el cociente entre los segmentos dados.
Proporcionalidad: Teorema de la altura Dados dos segmentos que sumados constituyen la hipotenusa de un triángulo rectángulo En todo triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos en que queda dividida la hipotenusa a x x b = A a B C b D 1. Sobre la recta r se trasladan los segmentos a=AB y b=CD, trazando una semicircunferencia de diámetro la suma de ambos AD F x 2. Por el punto B =C se traza recta perpendicular a r hasta cortar a la semicircunferencia en el punto F. El segmento x = AF es la media media proporcional buscada r A a B-C E b D
Proporcionalidad: Teorema del cateto Dada la hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella a x x b = A a B C D b F 1. Sobre la recta r se trasladan los segmentos a=AB y b=CD, trazando una semicircunferencia de diámetro el mayor de ellos. x 2. Por el punto D se traza recta perpendicular a r hasta cortar a la semicircunferencia en el punto F. El segmento x = AF es la media media proporcional buscada r A-C E D B a b
Hallar dos segmentos conocida su suma y su diferencia. Fig. 97. Sobre el segmento suma A C (S), sitúese el segmento diferencia A D (D) con orígenes A comunes, trazando la mediatriz al segmento D C comprendido entre los dos extremos no comunes, obteniendo el punto B. Los segmentos pedidos son A B Y B C. RAZONAMIENTO
Hallar dos segmentos conocida su suma y su diferencia Según la construcción, la mitad del segmento S - D es el segmento menor, puesto que S = A B + B C y D = A B - B C. Restando miembro a miembro, S - D = 2 B C, de donde B C =S/2-D/2 RAZONAMIENTO
ALICACIONES DE LO ANTERIOR Hallar dos segmentos conocida su suma y su media proporcional. Fig. 98
Hallar dos segmentos conociendo su diferencia y el segmento media proporcional entre ambos Tomando como diámetro la diferencia de segmentos M N conocida, trazar una circunferencia así como una tangente (perpendicular a M N), por uno de los extremos M del diámetro, transportando sobre la misma la longitud A M de la media proporcional conocida. La recta que une el extremo A con el centro O de la circunferencia queda interceptada por la misma en los puntos B y C, siendo A C y A B los segmentos pedidos.
Sección áurea de un segmento: Definición: Dados un segmento b = AC Se denomina Sección Aurea de dicho segmento a la división que le produce un punto B de forma que: A C b a x x b = x a A C B La proporción entre la parte más pequeña a y la más grande x es igual a la existente entre la parte más grande x y el todo b
Sección áurea de un segmento Dado un segmento, hallar su división áurea 1. Por B se traza la perpendicular a r 2. Se halla el punto medio C de AB y con centro en B y radio BC se traza un arco 3. Se unen A y D, y con centro en D y radio DB se traza un arco Hallar el segmento cuya división áurea es un segmento dado 4. Con centro en A y radio AE se traza otro arco. AF es la división áurea
HALLAR UN SEGMENTO CUYA DIVISION AUREA ES UN SEGMENTO DADO. 1. Dado el segmento AB.
2. Por uno de los extremos B, se traza una recta r perpendicular al segmento.
3. Se halla el punto medio C del segmento AB trazando su mediatriz, y con centro en B y radio BC se decribe un arco hasta cortar a r en el punto D
4.se une el punto D con el extremo A, y con centro en B y radio DB se describe un arco hasta cortar a la prolongación de la recta AD en el punto E
5. Con centro en A y radio AE se traza otro arco hasta cortar la prolongación del segmento AB en F. AF es el segmento c uya parte aurea es AB
ángulos
definiciones Se denomina ángulo a cada una de las dos regiones del plano que determinan dos semirrectas con el origen común. Las semirrectas se llaman lados y el punto vértice. Ángulo agudo es el que mide menos de 90 º Ángulo recto es el que mide 90° Ángulo obtuso es el que mide más 90° Ángulo llano es el que mide 180° Ángulo cóncavo es el menor de los dos ángulos que determinan los dos lados del mismo Ángulo convexo es el mayor de los dos ángulos que determinan los dos lados Sean dos rectas concurrentes r y s y una secante t Ángulos externos: 1, 2, 7 y 8. Ángulos internos: 3, 4, 5 y 6. Ángulos adyacentes externos: 1-2 y 7-8. Ángulos adyacentes internos: 3-4 y 5-6. Ángulos alternos externos: 1-7 y 2-8. Ángulos alternos internos: 3-5 y 4-6. Se llama bisectriz de un ángulo a la recta que divide a éste en dos ángulos iguales, o lo que es lo mismo: es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo. Ángulos suplementarios: son los que suman 180 º Ángulos complementarios: son los que suman 90º.
propiedades Dos ángulos agudos cuyos lados son paralelos son iguales Los ángulos agudos cuyos lados son perpendiculares son iguales
ÁNGULOS MIXTILÍNEOS y CURVILÍNEOS. Un ángulo rectilíneo es el formado por dos líneas rectas. Un ángulo curvilíneo es el formado por dos líneas curvas; por ejemplo, dos arcos de circunferencia. Un ángulo mixtilíneo es el formado por una línea recta y una línea curva
Bisectriz de un ángulo mixtilíneo Sea la recta r y el arco de centro O (fig. 30): 1. Por un punto B de la recta se traza una perpendicular, llevando sobre ella divisiones iguales: 1,2,3, etc., y trazando paralelas a r. 2.- Por un punto e del arco se traza el radio correspondiente, llevando sobre él divisiones iguales a las anteriores: 1, 2, 3, etc., y trazando arcos concéntricos. 3 .-Los puntos de intersección de la paralela 1 con el arco 1, de la paralela 2 con el arco 2, de la paralela 3 con el arco 3, etc., nos determinan la bisectriz del ángulo mixtilíneo.
Bisectriz de un ángulo curvilíneo Sean los arcos de centros 01 y O2 (fig. 31): 1.- Por los puntos arbitrarios B y C de los arcos se trazan sendos radios, llevando sobre ellos divisiones iguales: 1,2, 3, etc., y trazando arcos concéntricos. 2 .-Los puntos de intersección de los arcos correspondientes nos determinan la bisectriz del ángulo curvilíneo.
Construcción de ángulos con el compás CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS CON COMPÁS
Construcción de ángulos con la escuadra y cartabón
circunferencia
DEFINICIONES en la circunferencia Circunferencia es el lugar geométrico o conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Arco es un segmento de circunferencia. Círculo es la parte de plano interior a la circunferencia. Sector circular es la porción de círculo comprendida entre dos radios (fig. 34). Segmento circular es la parte de círculo comprendida entre una cuerda y su arco
RECTAS DE UNA CIRCUNFERENCIA Radio (rJ: es el segmento DA de la recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia (fig. 35). Diámetro (d): es el segmento que une los puntos B y C intersección de la circunferencia con cualquier recta que pasa por el centro. Cuerda (e): segmento DE que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro. Tangente (t): es la recta que tiene un solo punto común F con la circunferencia.
Ángulos en la circunferencia La medida del arco AB es la del ángulo central AOB. Arco AB = Angulo AOB Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella. Arco AB = Ángulo AOB Esta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o arco el resto de ángulos que pueden definirse en la circunferencia. Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia. El ángulo semiinscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite. El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende. Ángulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo. La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto. Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma. La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.
Enlace de interés http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Geometria/Angulos_en_l a_circunferencia/Angulos_circunferencia.htm
Arco capaz. Lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una condición común La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos La esfera es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidista de uno fijo lamado centro Se llama arco capaz de un ángulo@ dado respecto a un segmento también conocido , al lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve el segmento dado bajo el ángulo @.
Dado el segmento AB y el angulo @
Por uno de los extremos A del segmento dado, se traza la recta m perpendicular a AB, restando a continuación el angulo @ hasta cortar a la mediatriz en O´ , de tal forma que el ángulo O´AB es de 90-@
Con centro en O´ se traza un arco de circunferencia que pase por Ay B Con centro en O´ se traza un arco de circunferencia que pase por Ay B . Dicho arco es el arco capaz buscado
APLICACIÓN DE UN ARCO CAPAZ EN LA CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO Los datos del triángulo son el lado a Y el ángulo  opuesto al lado a. Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo  son los triángulos ABC en todas sus variantes los cuales se obtienen haciendo centro en C y con radio r cortando el arco capaz, que es la circunferencia de centro O y radio OB = OC
Los datos del triángulo son el lado a Y el ángulo  opuesto al lado a.
Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo Â
Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo Â
Se puede obtener el triángulo construyendo el arco capaz del segmento a, bajo el ángulo Â
Trazados fundamentales en el plano 2 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO Hallar los puntos desde donde se ven dos segmentos bajo dos ángulos conocidos 7 Arco capaz (II) Hallar los puntos desde los que se ven dos segmentos bajo dos ángulos dados 1. Se dibuja el arco capaz de respecto de AB 2. Se dibuja el arco capaz de respecto de BC 3. Los puntos M y N son los puntos desde los que se ve el segmento AB con un ángulo y BC con un ángulo
Trazados fundamentales en el plano 2 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 8 Rectificación de arcos de circunferencia Rectificación de arcos de circunferencia B A C O E D F Rectificación de un arco de 90º Rectificación de un arco menor de 90º 1. Con centro en los extremos del diámetro AB y radio en O se trazan sendos arcos hasta cortar en C y D a la circunferencia. 1. Se divide el radio OC en 4 partes iguales 2. Tres partes se trasladan sobre la prolongación del diámetro 2. Hallamos E, intersección de dos arcos con centros en A y B y de radio AD=BC 3. Se une el punto D con el B hasta cortar a r en E 3. Con centro en C y radio CE dibujamos un arco hasta cortar en F a la circunferencia 4. El segmento AF es la rectificación de un arco de 90º
Trazados fundamentales en el plano 2 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 9 Rectificación de la semicircunferencia y la circunferencia Rectificación de circunferencias Rectificación de una semicircunferencia A B 1. Se trazan dos diámetros perpendiculares AB y CD. Con centro en B (radio BO) trazamos un arco hasta cortar en E a la circunferencia. E D C O 2. Con centro en A y radios AC y AE se trazan arcos hasta cortar en F y G a la recta tangente a la circunferencia en el propio punto A F G 3. El segmento FG es la solución buscada Rectificación de una circunferencia 1. Se divide el diámetro AB en 7 partes iguales 2. Sobre una recta r se transporta 3 veces el diámetro, más un séptimo
Potencia de un punto respecto de una circunferencia
Potencia de un punto respecto de una circunferencia Concepto de potencia Aparentemente parece no existir ninguna relación entre un punto y una circunferencia (Fig 26)
Potencia de un punto respecto de una circunferencia Si partiendo del punto P se traza un haz de rectas, unas serán secantes, otras tangentes, otras no cortarán a la circunferencia. (Fig. 27)
Potencia de un punto respecto de una circunferencia Las rectas que no corten a la circunferencia no tienen ninguna relación con ella, pero las que sean secantes o tangentes determinarán unos puntos intersección con ella y, por tanto, cada recta quedará dividida en magnitudes, segmentos o distancias desde el punto P a los puntos intersección con la circunferencia. El producto de distancias de dicho punto a los puntos de la circunferencia, determina una constante PA . PA' = K que es la potencia de un punto respecto de una circunferencia (Fig. 28)
Potencia de un punto respecto de una circunferencia Esta constante K es la misma para todas las rectas que partiendo del punto P sean secantes o tangentes a la circunferencia.
Potencia de un punto respecto de una circunferencia En el caso límite en que una secante se transforme en tangente el punto T es doble pues cumple una doble alineación con P , por tanto, PT = PT' (Fig. 30)
Trazados fundamentales en el plano 2 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO Potencia de un punto respecto de una circunferencia. Eje radical de dos circunferencias 10 Potencia de un punto Definición: Potencia de un punto Definición: Eje radical Potencia del punto P respecto de la circunferencia de centro O es el producto de las distancias de P a los dos puntos de intersección de una recta secante Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de ambas p = PA x PB p = MA x MB = MC x MD
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS Dadas dos circunferencias de centros 01 y O2 (fig. 14), se llama eje radical al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de ambas circunferencias: MA x MB = MC x MD El eje radical es siempre perpendicular a la recta que une los centros de las dos circunferencias.
Trazados fundamentales en el plano 2 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 11 Eje radical de dos circunferencias Eje radical de dos circunferencias Propiedad: El eje radical es siempre una recta perpendicular a la recta de los centros de las circunferencias e 1 O 2 B A Eje radical de dos circunferencias secantes: es la recta que une los puntos A y B de intersección de las circunferencias e O 1 2 Eje radical de dos circunferencias tangentes: es la recta tangente común a ambas circunferencias A Eje radical de dos circunferencias exteriores: e O 1 2 E 1. Se traza una circunferencia auxiliar de centro O3 que corte a ambas. Se hallan los ejes radicales de esta con las otras dos obteniendo r y s r s B A O D C 2. Se dibuja la recta perpendicular a O1O2 desde E, intersección de r y s
Trazados fundamentales en el plano 2 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 12 Centro radical de tres circunferencias Centro radical de tres circunferencias Definición: Centro radical Es el punto que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias 1. Se halla el eje radical de las circunferencias que tienen por centro O1 y O2 2. Se halla el eje radical de las circunferencias que tienen por centro O2 y O3 3. El punto O de intersección de e y e’ es el centro radical
Enlace de interés ES MUY RECOMENDABLE VISITAR LA SIGUIENTE DIRECCIÓN PARA COMPRENDER EL CONCEPTO DE POTENCIA Y EJE RADICAL Acabado el 5 de octubre 2005 http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Geometria/Potencia_pu nto_respecto_circunferencia/Potencia_de_un_punto_respecto _circunferencia.htm