Interpolación Lineal y Polinomios de Newton Guillermo Castro 200670305 Jairo Valverde 200669165 Nathalie Chavarría 200663611 Rodny Céspedes 200658110 Rogelio Salazar 200324364

Interpolación Lineal La Interpolación lineal es la forma más simple de interpolación; pues esta consiste en conectar dos puntos con una línea recta.

El método se observa de la siguiente manera: Usando triángulos semejantes:

Partiendo de: Despejando: Obtenemos:

En general: La notación f(X) indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden Además de representar la pendiente de la línea que conecta los dos puntos, el término [f(X1) - f(X0)] / (X1 – X0) es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada

Nótese que el valor real de ln2 = 0. 69314718 Ejemplo‌ 1:‌‌ ‌‌‌ Calcúlese el logaritmo natural de 2 (ln 2) usando interpolación lineal. Primero, llévese a cabo los cálculos interpolando entre ln 1 = 0 y ln 6 = 1.7917595. Después repítase el procedimiento, pero usando un intervalo más pequeño desde: ln 1 = 0 a ln 4 = 1.3862944. Nótese que el valor real de ln2 = 0. 69314718

Solución:   Evaluando la fórmula de interpolación lineal (3) de X = 1 a X = 6 da: La cual representa un error porcentual de e% = 48.3 %. Usando el intervalo más pequeño desde X = 1 a X = 4 da: Utilizando el intervalo más pequeño se reduce el error relativo porcentual a e% = 33.3%.

¿Cuándo falla el método de interpolación lineal? Cuando la derivada es horizontal en un punto. Además, el valor de la segunda derivada es muy grande.

Estime el logaritmo base 10 de 5 (log 5): Ejemplo‌ 2:‌‌ ‌‌‌ Estime el logaritmo base 10 de 5 (log 5): Primero, llévese a cabo los cálculos interpolando entre log 4 = 0.60206 y log 6 = 0.7781513. Después repítase el procedimiento, pero usando un intervalo más pequeño desde: log 4.5= 0.6532125 a log 5.5 = 07403627. Nótese que el valor real de log 5 = 0. 6989700043

Solución:   Evaluando la fórmula de interpolación lineal de X = 4 a X = 6 da:  La cual representa un error porcentual de e% = 1.268 %. Usando el intervalo más pequeño desde X = 4.5 a X = 5.5 da: Utilizando el intervalo más pequeño se reduce el error relativo porcentual a e% = 0.31223%.

Polinomios de Interpolación de Newton La estrategia de este método consiste en mejorar la estimación introduciendo curvatura a la línea de unión de puntos. Para generalizar, se utiliza el polinomio de grado n para diferencias divididas de newton como: fn (x) = b0 + b1 ( x – x0) + b2 ( x– x0 ) ( x – x1 ) + ... + bn ( x - x0 ) ( x – x1 ) ( x – x2 )… ( x - xn-1).

Donde los coeficientes se obtienen utilizando los (n+1) puntos requeridos de la siguiente forma: b0 = f (x0) b1 = f [x1, x0] b2 = f [x2, x1, x0] . : bn = f [xn, xn-1, ..., x1, x0]

f [ xi, xj , xk] = f [xi, xj ] - f [ xj, xk ] Donde las evaluaciones de la función colocadas entre paréntesis son diferencias divididas finitas. Por ejemplo: 1. f [ xi, xj] = f(xi) - f(xj) xi – xj 2. f [ xi, xj , xk] = f [xi, xj ] - f [ xj, xk ] xi - xk

En general, la n-ésima diferencia dividida finita es: f[xn, xn-1, xn-2, x1, x0] = f[xn, xn-1, xn-2, x1] - f[xn-1, xn-2,x1,x0] xn – x0

Para concluir la secuencia anterior se llega a:

Ejemplo 1: Usando la siguiente tabla de datos, calcúlese ln 2 con un polinomio de interpolación de Newton con diferencias divididas de tercer orden. X f(X) X0=1 0.000 0000 X1=4 1.386 2944 X2=6 1.791 7595 X3=5 1.609 4379

Solución: Primero debemos recordar que el polinomio con n = 3, es:

Las primeras diferencias divididas del problema son:

Las segundas diferencias divididas son:

La tercera diferencia dividida es:

Primera diferencia dividida Segunda diferencia dividida xi f (xi) Primera diferencia dividida Segunda diferencia dividida Tercera diferencia dividida 1.0 0.00000000 0.46209813 1 4.0 1.3862944 - 0.051873116 0.20273255 0.0078655415 2 6.0 1.7917595 - 0.020410950 0.18232160 3 5.0 1.6094379

Primera diferencia dividida Segunda diferencia dividida xi f (xi) Primera diferencia dividida Segunda diferencia dividida Tercera diferencia dividida 1.0 0.00000000 0.46209813 1 4.0 1.3862944 - 0.051873116 0.20273255 0.0078655415 2 6.0 1.7917595 - 0.020410950 0.18232160 3 5.0 1.6094379

Los resultados para f(x1, x0), f(x2, x1, x0) y f(x3, x2, x1, x0) representan los coeficientes b1, b2 y b3 Junto con b0 = f (x0) = 0.0, la ecuación da: f3 (x) = 0 + 0.46209813 (x - 1) - 0.0518731 (x - 1) (x - 4) + 0.0078655415 (x - 1) (x - 4) (x - 6) Con la ecuación anterior se puede evaluar para x=2, f3(2) = 0.62876869, lo que representa un error del εa % = 9.3%.

Ejemplo 2: Usando la siguiente tabla de datos, calcúlese log 5 con un polinomio de interpolación de Newton de tercer grado: X f(X) X0=4 0.60206 X1=4.5 0.6532125 X2=5.5 0.7403627 X3=6 0.7781513

Solución: Nuevamente debemos recordar que el polinomio con n = 3, es:

Las primeras diferencias divididas del problema son: A continuación se facilitará la tabla con las diferencias divididas

Las segundas diferencias divididas son:

La tercera diferencia dividida es:

Primera diferencia dividida Segunda diferencia dividida xi f (xi) Primera diferencia dividida Segunda diferencia dividida Tercera diferencia dividida 4 0.60602 0.094385 1 4.5 0.6532125 - 0.0048232 0.0871502 -0.001446065 2 5.5 0.7403627 - 0.00771533 0.0755772 3 6 0.7781513

Con la ecuación anterior se puede evaluar para x=5, Los resultados para f(x1, x0), f(x2, x1, x0) y f(x3, x2, x1, x0) representan los coeficientes b1, b2 y b3 Junto con b0 = f (x0) = 0.0, la ecuación da: f3 (x) = 0.60602 + 0.094385 (x - 4) - 0.0048232(x – 4) (x – 4.5) -0.001446065 (x - 4) (x –4.5) (x – 5.5) Con la ecuación anterior se puede evaluar para x=5, f3(5) = 0.6983549163, lo que representa un error del εa % = 0.087999%.