PROGRAMA DE ALGEBRA LINEAL RECUPERACION Calculo de Sistemas de Ecuaciones Lineales mediante Determinantes

METODO DE CRAMER La resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales mediante Determinantes se aplica para casos de casos particulares en los cuales el orden la matriz no sea mayor a 5.Esto es así por la cantidad de operaciones que requiere su cálculo. En este curso solo resolveremos Sistemas de tercer orden. Aplicaremos únicamente el Método de Cramer. Para el siguiente Sistema de Ecuaciones: Se calcula primero el Determinante Principal. Para ello se emplean elementos denominados Pivotes y Menores o Cofactores

METODO DE CRAMER Como puede observarse se toman como elementos “pivote” los coeficientes de la primer fila y a cada uno de ellos se los multiplica por su Menor o Cofactor. De esta manera los pivotes serian: a11 ,a12 y a13 y los correspondientes Cofactores que son Determinantes de Segundo Orden, constituidos por los coeficientes de que no pertenecen ni a la fila ni a la columna del pivote; es decir que el primer Menor o Cofactor seria :

METODO DE CRAMER El segundo cofactor se obtendría de la siguiente manera: Y el ultimo cofactor seria: Se observa que para calcular los Menores o Cofactores se elimina la fila y columna a la que pertenece cada elemento pivote.

METODO DE CRAMER En cuanto al signo con que se afecta a cada pivote se sigue la regla de la suma de los subíndices de los mismos: cuando la suma es par el signo es positivo y si es impar es negativo. Por lo tanto para el caso del primer pivote a11 la suma da un numero par (1+1=2) Lo mismo ocurre para el tercer pivote a13 su suma también es par (1+3=4) Pero para el segundo pivote a12 la suma da un numero impar (1+2=3) y por lo tanto le corresponde un signo negativo(-). Este signo se aplica sobre el que tiene cada coeficiente particular del sistema de Ecuaciones. Es decir que en el caso de que el elemento pivote a12 tenga un signo negativo el resultado será un signo positivo. Lo mismo vale para los restantes elementos pivotes.

METODO DE CRAMER El paso siguiente de la Regla o Método de Cramer es el del cálculo de los Determinantes Sustitutos. Estos son los Determinantes que resultan de reemplazar sucesivamente las columnas de los coeficientes del Determinante Principal por los coeficientes del segundo miembro del Sistema de Ecuaciones original, es decir:

METODO DE CRAMER Se repite el mismo proceso utilizado para el calculo del Determinante Principal. A modo de ejemplo se calcula el primer Determinante Sustituto: Con los restantes Determinantes Sustitutos se procede de idéntica manera.

METODO DE CRAMER El tercer y ultimo paso del Método de Cramer consiste en dividir cada uno de estos Determinantes sustitutos por el Determinante Principal y así calcular las incógnitas del Sistema; es decir: Un ejemplo numérico permitirá comprender mejor el Método de Cramer