TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.1 – Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. Los números se llaman coeficientes y las letras se llaman variables, incógnitas o indeterminadas. Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números dados y hacer las operaciones indicadas en la expresión. Hay expresiones algebraicas de muy distintos tipos: - Monomios: - Polinomios: Algunas expresiones algebraicas son igualdades: - Identidades: - Ecuaciones: Se verifica para cualquier valor de “x”. Se verifica para “x = 5”

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.1 – Expresiones algebraicas x y Si x y y son las medidas de los lados de un rectángulo, 2x + 2y es la expresión algebraica que nos da el perímetro del rectángulo. Su valor numérico para x = 3 y y = 2 nos da el perímetro de un rectángulo de esas dimensiones: = 10 Ejemplo:

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.2 – Monomios Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras (parte literal) son la multiplicación y potenciación de exponente natural. El coeficiente es el número que acompaña a las incógnitas El grado de un monomio es la suma de sus exponentes. Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica la parte literal. 8x 2 y 5 El grado de este monomio es = 7 Coeficiente Grado respecto de la letra x Valor numérico de un monomio es el resultado que se obtiene al sustituir las incógnitas por sus valores. (x = 2, y = -1  -32)

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.2 – Monomios Suma o diferencia de monomios: La suma (diferencia) de monomios semejantes es otro monomio también semejante a ellos cuyo coeficiente es la suma (diferencia) de sus coeficientes. 12x 2 y – 2x 2 y + 4x 2 y =(12 – 2 + 4)x 2 y = 14x 2 y 5x 2 + 6xy =5x 2 + 6xy 12x 2 y – 2x 2 y + 4x 2 y + 5x 2 + 6xy = 14x 2 y + 5x 2 + 6xy Si dos monomios no son semejantes, su suma (diferencia) no se puede simplificar y hay que dejarla indicada. Ejemplos:

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach Monomios El producto de monomios es otro monomio que tiene: –como coeficiente, el producto de los coeficientes. –como parte literal, el producto de las partes literales x 3. x 2 =x 3 +2 =x5x5 5x 2. 7x 4 = (5.7). x 2+4 = 35 x 6 –2xy 2. 5x 2 y 3. 3xz= (– ) (x. x 2. x) (y 2. y 3 ) z = –30x 4 y 5 z Ejemplos: El cociente de monomios es otro monomio que tiene: –como coeficiente, el cociente de los coeficientes. –como parte literal, el cociente de las partes literales x 3 : x 2 =x 3 -2 = x (14x 4 ) : (7x 2 ) = (14:7). x 4-2 = 2 x 2 Ejemplos:

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.3 – Polinomios Un polinomio es una expresión que es suma o resta de monomios. Cada uno de los monomios que lo forman se llama término. P = 8x 5 – 6x 4 – 3x 2 + x – 2 Término principal Grado del polinomio Término de grado 2 Término independiente o término de grado 0 El valor numérico de P en a, P(a), se obtiene sustituyendo x por a

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach Polinomios Suma o resta de polinomios agrupamos los términos del mismo grado. P = x 5 + 2x 4 – 3x 2 + x – 4 Q = 3x 4 – 2 x 3 + 3x 2 + 2x P + Q = x 5 + 5x 4 – 2x 3 + 3x – 4 P = x 5 + 2x 4 – 3x 2 + x – 4 Q = 3x 4 – 2 x 3 + 3x 2 + 2x P – Q = x 5 – x 4 + 2x 3 – 6x 2 – x – 4 Ejemplo El grado de P  Q es, como mucho, el mayor de los grados de P y Q

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.3 – Polinomios El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primero por cada término del segundo y sumando luego los términos semejantes –7x 3 + 3x 2 – 0x + 2 2x 2 + 3x – 1 7x 3 – 3x 2 + 0x – 2 – 21x 4 + 9x 3 – 0x 2 + 6x –14x 5 + 6x 4 + 0x 3 + 4x 2 –14x 5 –15x 4 +16x 3 + x 2 + 6x – 2 El producto de un polinomio por un monomio es otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio 2xy 2. (3x – 2y + 4) =(2xy 2. 3x) + (2xy 2. (– 2y) + (2xy 2. 4) = 6x 2 y 2 – 4xy 3 + 8xy 2

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach Polinomios Productos notables (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 (a + b) (a – b) = a 2 – b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 Sacar factor común: Cuando todos los términos de un polinomio, P(x), son múltiplos de un mismo monomio, M(x); podemos extraer M(x) como factor común. 2x+3x 2 – 7x 4 = x.(2 +3x – 7x 3 )

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach Polinomios Cociente de polinomios: La división de polinomios es similar a la división entera de números naturales: al dividir dos polinomios, se obtiene un cociente y un resto (el grado del resto es menor que el grado del divisor). La relación entre D(x), d(x), C(x) y R(x) es: Cuando el resto es cero, R(x) = 0, la división es exacto y se cumple:

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach Polinomios resto –(– 3x 2 – 2x + 4) Se resta (–1). d cociente Cociente de los términos de mayor grado Cociente de los términos de mayor grado x3x3 3x 5 + 8x 4 – 11x 2 – 3x + 6 3x 2 +2x–4 – (3x 5 + 2x 4 –4x 3 ) 6x 4 + 4x 3 – 11x 2 – 3x + 6 Primer paso 3x 5 + 8x 4 – 11x 2 – 3x + 63x 2 +2x–4 x3x3 – (3x 5 + 2x 4 –4x 3 ) 6x 4 – 4x 3 – 11x 2 – 3x + 6 Segundo paso – ( 6x 4 + 4x 3 – 8x 2 ) – 3x 2 – 3x + 6 3x 5 + 8x 4 – 11x 2 – 3x + 6 3x 2 +2x–4 x 3 + 2x 2 – (3x 5 + 2x 4 –4x 3 ) 6x 4 – 4x 3 – 11x 2 – 3x + 6 – ( 6x 4 – 4x 3 – 11x 2 ) – 3x 2 – 3x + 6 Tercer paso Se resta x 3. d Se resta 2x 2. d Cociente de los términos de mayor grado – x x 2 – 1

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.4 – Regla de Ruffini r se suma Ejemplo: Dividir P = 2x 3 – 7x 2 – 4x + 12 entre x – 2 se Coeficientes de P 2 – 6 – 4 12 a 2 Se opera: 2 – 6 – Hemos obtenido que: P = 2x 3 – 7x 2 – 4x + 12 = (2x 2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4) 2 4– 4 – 16 – 4 –2 –8 se multiplica por a La Regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por x – a.

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.4 – Regla de Ruffini Criterio de divisibilidad por x – a: Si un polinomio tiene coeficientes enteros, para que sea divisible por x –a es necesario que su término independiente sea múltiplo de a. Por tanto, para buscar expresiones x –a que sean divisores de un polinomio, probaremos con los valores de a (positivos y negativos) que sean divisores del término independiente Teorema del resto: El valor que toma un polinomio, P(x), cuando x =a, coincide con el resto de la división P(x) : (x – a), es decir, P(a) = r Valor de un polinomio para x = a: El valor numérico de un polinomio, P(x), para x = a, es el número que se obtiene al sustituir la x por a y efectuar las operaciones indicadas. A ese número se le llama P(a). El resto de dividir P(x) = 2x 3 – 7x 2 – 4x + 12 entre x – 2 se puede obtener así: P(2) = – – = – 4

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.5 – Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (factores) del menor grado posible. Método para factorizar un polinomio: Sacar factor común. Recordar los productos notables. Si es un polinomio de grado > 2: Por Ruffini, probando con los divisores del término independiente, hasta obtener resto cero: P(x) = (x –a).C(x) Si es un polinomio de grado = 2. Se resuelve la ecuación de segundo grado:

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.5 – Factorización de polinomios Ejemplo: Factorizar el polinomio P = x 4 + 3x 3 – x 2 – 3x Se saca factor común x: x(x 3 + 3x 2 – x – 3) Por Ruffini: x 3 + 3x 2 – x – 3 Para ello probamos con los divisores positivos y negativos de – Por la fórmula:x 2 +4x + 3 = 0  x = -1, x = -3 x.(x – 1).(x + 1).(x + 3)

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.5 – Factorización de polinomios Ejemplo: descomponer P = x 3 – 2x – No podemos sacar factor común 2 – Regla de Ruffini. Buscamos posibles soluciones de la ecuación x 3 – 2x + 4 = 0 entre los divisores del término independiente: {1, –1, 2, –2, 4, –4}. 1 0 –2 4 –2 –2 4 –4 1 – – Por la fórmula x 2 – 2x + 2 = 0. No tiene solución (x + 2).(x 2 – 2x + 2)

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.6 – Divisibilidad de polinomios Múltiplos y divisores: Un polinomio D(x), es divisor de otro, P(X), si la división P(x) :D(x) es exacta. En tal caso, se dice también que P(x) es múltiplo de D(x), ya que P(x) = D(x).C(x) Polinomios irreducibles: Un polinomio es irreducible cuando no tiene ningún divisor de grado inferior al suyo. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios: Un polinomio, D(x), es el máximo común divisor de dos polinomios, P(x) y Q(x), si es divisor de ambos y no hay otro polinomio divisor común con mayor grado que él. Se denota: D(x) = M.C.D. [P(x),Q(x)] Método para calcularlo: -Se factorizan los dos polinomios: P(x) y Q(x) -Se toman los factores comunes al menor exponente

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.6 – Divisibilidad de polinomios Un polinomio, M(x), es el mínimo común múltiplo de dos polinomios, P(x) y Q(x), si es múltiplo de ambos y no hay otro polinomio múltiplo común con menor grado que él. Se denota: M(x) = m.c.m. [P(x),Q(x)] Método para calcularlo: -Se factorizan los dos polinomios: P(x) y Q(x) -Se toman los factores comunes y no comunes al mayor exponente Ejemplo: P(x) = x 3 – x 2 – x + 1, Q(x) = 2 x x 2 – 8 -Factorizamos :P(x) = (x – 1) 2.(x + 1) Q(x) =2.(x –1).(x + 2) 2 -m.c.m [P(x),Q(x)] = 2.(x –1) 2.(x + 1).(x + 2) 2 -M.C.D [P(x),Q(x)] = x - 1

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.7 – Fracciones algebraicas Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios Simplificación: Para simplificar una fracción, se factorizan numerador y denominador y se eliminar los factores comunes obteniéndose otra fracción equivalente. x 3 – 3x 2 + x – 3 x 4 – 1 (x – 3) (x 2 + 1) (x – 1) (x + 1) (x 2 + 1) x – 3 x 2 – 1 Reducir a común denominador: Se sustituye cada fracción por otra equivalente, de modo que todas tengan el mismo denominador, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores.

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.7 – Fracciones algebraicas Suma y diferencia: para sumar o restar fracciones algebraicas, se buscan fracciones algebraicas equivalentes con denominador común y se suman o restan los numeradores + x – 2 x 2 – 1 x 2 – 3x x 2 – 2x + 1 = + x – 2 (x – 1)(x + 1) (x – 3)x (x – 1) 2 = + (x – 2)(x – 1) (x – 1) 2 (x + 1) (x – 3) x (x + 1) (x – 1) 2 (x + 1) = x 2 – 3x x 3 – 2x 2 – 3x (x – 1) 2 (x + 1) = x 3 – x 2 – 6x +2 (x – 1) 2 (x + 1) = OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.7 – Fracciones algebraicas Producto: para multiplicar fracciones algebraicas se multiplican entre si los numeradores y los denominadores. x 4 – 1 2x + 1 x – 2 x 2 – 2x + 1 = (x – 2) (x 4 – 1) (x 2 – 2x + 1) (2x + 1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1) (x 2 + 1) (x – 1) 2 (2x + 1) = (x – 2) (x + 1) (x 2 + 1) (x – 1) (2x + 1) = x 4 - x 3 -x 2 -x -2 2x 2 - x - 2 =

TEMA 2 – POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas 4º ESO y 1º Bach. 2.7 – Fracciones algebraicas Inversa de una fracción algebraica: la inversa de una fracción algebraica P(x)/Q(x) es la fracción (P(x)/Q(x)) -1 = Q(x)/P(x) División de fracciones algebraicas: para dividir una fracción algebraica entre otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda (x 3 – 1) (2x – 1) (2x 2 + x) (x 4 + 1) = 2x 4 - x 3 - 2x + 1 2x 6 + x 5 + 2x 2 + x 2x – 1 x x 3 – 1 2x 2 + x =. x x – 1 x 3 – 1 2x 2 + x = :