Rectas en 3D

Punto por el que sabemos pasa la recta Punto cualquiera sobre nuestra recta Resta vectorial indica dirección de recta Cualquier vector paralelo a a indica dirección Coordenadas de punto en recta cumplen

Ecuaciones paramétricas de la recta Notaciones alternativas Vectores unitarios Componentes en orden Vector columna Números directores: a,b,c

Rectas en 3D Consideren la cuestión: ¿Qué relación concreta existe entre los vectores a y v? Está abierta. La diferencia entre distintas elecciones consiste en que, una vez escogido al vector v, queda determinado el parámetro escalar t en su rango y en su escala. Se conviene en elegir al punto P 0 a la izquierda, cuando se observa el primer octante (vector a de izquierda a derecha). ¿Qué consecuencia tendría el elegir al vector –v en vez de v?

Ejemplo 1 de rectas en 3D Una recta pasa por el punto (5,1,3) y es paralela al vector (1,4,-2). a)Encontrar la ecuación paramétrica de la recta b)Encontrar otros puntos de la misma recta a)b)

Ejemplo 1 de rectas en 3D La recta en azul pasa por el punto (5,1,3) en magenta y es paralela al vector de extremo(1,4,-2) en anaranjado. Otros dos puntos de la misma recta en marrón.

Ejemplo 1 en Mathcad

Ecuaciones simétricas Despejando a t de cada una de las ecuaciones paramétricas

Continuación de ejemplo a =0

Hallar las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por los puntos A(2,4,-3) y B(3,-1,1). ¿En qué punto corta esta recta al plano xy? Ejemplo 2 de rectas en 3D El vector diferencia puede ser determinado y luego empleado Tomando al punto A, las ecuaciones paramétricas son

Ejemplo 2 de rectas en 3D … para las ecuaciones simétricas, usando los números directores hallados (1,-5,4) y usando al punto A(2,4,-3), al sustituir en las ecuaciones simétricas resultan La recta corta al plano xy cuando z=0. De las ecuaciones anteriores

Ejemplo 2 de rectas en 3D Despejando x Despejando y Por lo anterior, las coordenadas del punto cortando al plano xy son (11/4,1/4,0).

Demostrar que las rectas con ecuaciones paramétricas dadas son oblicuas (no se cortan sin ser paralelas), o sea, no son coplanares… Ejemplo 3 de rectas en 3D Para L 1, a1 =, mientras que para L 2, a2 =. ¿Son paralelos? Al no resultar el vector cero, los vectores forman un ángulo distinto de cero entre sí

Si las dos rectas se cortaran, habría un punto con las mismas coordenadas o, habría valores de t y s cumpliendo Ejemplo 3 de rectas en 3D La coordenada z no coincide

Conclusiones