Alfabetos, palabras, Lenguajes y autómatas. Clase # 2

Repaso General Conjuntos:Un conjunto como se puede ver a grandes rasgos como una colección de individuos u objetos. Los conjuntos se pueden expresar de dos maneras:  En extensión, lo cual quiere decir que citamos explícitamente cada uno de sus elementos, como en el conjunto {1, 3, 5} que contiene exactamente los,.  En intención, dando una descripción precisa de los elementos que forman parte del conjunto, en vez de citarlos explícitamente. Por ejemplo, el conjunto del punto anterior puede ser visto como: {i ЄN | impar(i), i < 6} donde se supone que los números impares cumplen la condición impar(i). La notación a Є B significa que a es elemento o está contenido en el conjunto B; por Ejemplo: {2, 3} Є {1, {2, 3}, 4} Para indicar que a no está en B se escribe a Є B. La notación a Є B significa que a es elemento o está contenido en el conjunto B; por Ejemplo: {2, 3} Є {1, {2, 3}, 4} Para indicar que a no está en B se escribe a Є B.

El tamaño de un conjunto es el número de elementos que contiene, y se representa como |A| para un conjunto A. Por ejemplo, el tamaño de {a, b, c} es 3, y el tamaño del conjunto vació es cero. Aunque existen conjuntos con tamaños no muy claros. Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si y sólo si tienen los mismos elementos, esto es, x Є Asi x Є B. Por ejemplo {1, {2, 3}} = {{3, 2}, 1} vemos que en los conjuntos el orden de los elementos es. Se supone que en los conjuntos no hay repeticiones de elementos, y que cada elemento del conjunto es distinto de todos los otros elementos. La notación A C Bsignifica que el conjunto A está “contenido” en el conjunto B, o más técnicamente, que A es subconjunto de B. Por ejemplo, el conjunto {a, c} es subconjunto de {a, b, c}, indicado como {a, c} C {a, b, c}. En otras palabras, A C Bcuando siempre quexЄA, tenemos tambiénxЄB. Obsérvese que de acuerdo con esta definición, A Є Apara cualquier conjunto A: todo conjunto es subconjunto de sí mismo. Repaso General

Para indicar que un subconjunto contiene menos elementos que otro, es decir, que es un subconjunto propio de éste, se escribe A C B. Por ejemplo, {a, c} C {a, b, c}. Claramente, A = B si A C ByB C A. Obsérvese también que si A C B, entonces |A| ≤ |B|, y si A C B, entonces |A| < |B|. Operaciones con conjuntos: ▫Unión: A U B contiene los elementos del conjunto A y también los del conjunto B, es decir, {x | x Є A o x Є B}. La unión de conjuntos es conmutativa. ▫Intersección: A ∩ B cont iene los elementos que pertenecen simultáneamente al conjunto A y al conjunto B, es decir, A ∩ B = {x | x Є A y x Є B}. Por ejemplo, {1, 2, 3} ∩ {3, 4} = {3}.Es conmutativa y asociativa. ▫Complemento: Dado un universo (ejemplo números naturales), contiene entonces el complemento del conjunto contiene los elementos del universo que no están en el conjunto. Ejemplo: U=números naturalesA= {2,4,6…}A c = {1,3,5…} ▫Producto Cartesiano: de dos conjuntos, A × B, es el conjunto de pares ordenados (a, b) tales que a Є A y Є 2 B. Por ejemplo, {1, 2} × {3, 4, 5}= {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} El tamaño de A×B es |A| multiplicado por |B|.

Se llama relación a todo subconjunto de un producto cartesiano; por ejemplo la relación ≤contiene los pares de números naturales tales que el primer componente es menor o igual al segundo, esto es, ≤= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3),...} o relación “x es padre de y”, siendo “x” y “y” conjuntos de personas. Un caso particular de las relaciones son las funciones, que son relaciones en que no hay dos pares ordenados que tengan el mismo primer componente. Es decir, los pares ordenados asocian a cada primer componente un único segundo componente. Por ejemplo, la relación {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} no es una función, pero {(1, 2), (2, 3), (3, 3)} sí lo es. Tomando como ejemplo las familias, la relación de hermanos no es una función, pero la relación de cada quien con su padre sí lo es (cada quien tiene a lo más un padre). Repaso General

Además de los conjuntos “finitos” ( con un número de elementos determinado ) también puede haber conjuntos infinitos, cuyo tamaño no puede expresarse con un número; un ejemplo es el conjunto de los números naturales N = {12 3,...}. Aún a estos conjuntos pueden aplicarse todas las operaciones antes descritas.

Conceptos Alfabeto: Conjunto finito y no vació cuyos elementos se denominan símbolos. Se designa normalmente con las letras: Σo Γ Ejemplos: {0,1} {a,b,c…,x,y,z} {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} {a,b}

Conceptos Palabra: es una secuencia finita de símbolos de un alfabeto, las mismas se pueden crear especificando un alfabeto determinado. Ejemplos: {,} aba, bab, a, b, bbbbabababababababababababababbaba Si el alfabeto {0,1}: 0,1,01,11,10,… Existe una palabra especial que representa una secuencia vacía de símbolos, y a menudo se llama la palabra vacía, y se representa con la letra griega λ

Subpalabras, prefijos y sufijos Subpalabras : subsecuencias de símbolos consecutivos de una palabra, a menudo se usan las palabras factor o infijo. Ejemplo: La palabra bbacontiene las siguientes subpalabras: {λ,a,b,bb,ba,bba} es importante las palabras en negritas son también consideradas ����������� ���������, las demás son ����������� �������. Prefijos :ubpalabras l principio de una palabra. Sufijos: subpalabras al final de una palabra. ▫Nota: La palabra vacía y entera se consideran sufijos y prefijos de cualquier palabra. Ejemplo: ▫Los prefijos de la palabra bbaab son {λ,b,bb,bba,bbaa,bbaab} se observan los prefijos propios en azul ▫Los sufijos son {λ,b,ab,aab,baab,bbaab} se observan los sufijos propios en azul

Lenguaje Se considera un lenguaje como un conjunto de palabras sobre un alfabeto determinado. Para designarlo normalmente se usa la letra L, con subíndices, si es necesario, y otras letras mayúsculas del alfabeto latino. Ejemplos sobre el alfabeto Σ={a,b}: L 1 ={a,aa,aaa,aaaa} L 2 ={a,b,aa,ab,ba,bb} L 3 ={aabb} con una sola palabra L 4 ={λ} L 5 ={}=ø Pueden ser infinitos como: ▫El lenguaje sobre Σ={a,b} de todas las palabras que tengan tantas letras a como letras b. ▫El lenguaje de todas las palabras sobre Σ={a,b,c}

Concatenación: construir una palabra nueva añadiéndole los símbolos de la segunda tras los símbolos de la primera. Se representa con un punto ( ● ) normalmente, a veces si no es necesario se omite. Ejemplo: aaa ● bbb = aaabbb aba ● λ= aba Propiedades: No es conmutativa w1 ● w2 ≠ w2 ● w1 Es asociativa (w1 w2) w3 = w1 (w2 w3) Tiene como elemento neutro la palabra vacía (λ). Se puede representar la concatenación de una palabra consigo misma usando la representación exponencial, ejemplo: www = w 3 ww = w 2 w 0 = λ Operaciones sobre palabras

La longitud: de una palabra se denota con |w|y representa el número de símbolos de la misma. Ejemplo |101| = 3 | λ| = 0 El numero de ocurrencias: de una palabra se denota con |w| x y representa el numero de ocurrencias del símbolo x en la palabra w. Ejemplo: bbb= Operaciones sobre palabras | aaab | c = 0 La inversión de una palabra : consiste en escribir al revés una palabra dada, y W R denota su inversa. Ejemplo(ab) R = ba Cuando una palabra es igual a su inversa se dice es un palíndromo.

Operaciones sobre lenguajes Las operaciones conjuntistas: La unión (U). La intersección ( ∩ ). La complementación ( c ). aerenc a (-) Propiedades básicas: c)cc)c =L=L ▫(L ▫(L 1 U L 2 ) c ▫(L 1 ∩ L 2 ) c =L1∩L 2cc=L1U L2cc=L1∩L 2cc=L1U L2cccc ▫L 1 - L 2 =L1 ∩LL1 ∩L c2c2

Operaciones sobre lenguajes La Concatenación: la concatenación de dos lenguajes L 1 y L 2, es otro lenguaje formado por todas las palabras que se pueden construir concatenando una palabra de L 1 con L 2. L1 ● L2 = { x ● y | x Є L 1 ^ y Є L 2 } Propiedades: � No es conmutativa. � Es Asociativa. � El elemento neutro es la palabra vacía λ. � No es distributiva, L 1 (L 2 ∩ L 3 ) ≠ L 1 L 2 ∩ L 1 L 3 � Se puede representar la concatenación de un lenguaje consigo mismo usando la notación exponencial. � Se pueden concatenar lenguajes con palabras.

La inversión:no es mas que el lenguajes formado por los inversos de las palabras de L, y se denota con L R Clausura, Cierre o Estrella de Kleene: Operaciones sobre lenguajes Su concepto es simple: El mismo es la unión de {λ} con el conjunto de todas las palabras que se pueden formar concatenando entre sí palabras de este mismo lenguaje. Por ejemplo si L={a,ba} entonces L 0 ={λ} L 1 =L={a,ba} L 2 ={aa, aba, baa, baba} … Así L*=L 0 U L 1 U L 2 U … ¿Si fuese L={b} o L={aa} como quedaría la clausura?

Clausura, Cierre Positivo de Kleene: Operaciones sobre lenguajes Su concepto es simple: Es similar a L*, solo difiere en que no posee L 0, a diferencia de L* que si lo posee. Por ejemplo si L={a,ba} entonces L 0 ={λ} L 1 =L={a,ba} L 2 ={aa, aba, baa, baba} … Así L + =L 1 U L 2 U … ¿Si fuese L={b} o L={aa} como quedaría la clausura?

Cierres de un alfabeto: Σ*Σ + Dado que un alfabeto puede ser considerado un lenguaje formado por palabras de un solo símbolo (longitud 1), las operaciones de cierre de Kleene y cierre positivo de Kleene también son aplicables a los alfabetos. Σ* :Conjunto de todas las palabras sobre Σ. Σ + :Conjunto de todas las palabras sobre Σde longitud no nula.

Definición de Lenguaje Para definir un lenguaje lo podemos hacer de dos maneras, formal e informal:

Definición de Lenguaje

Autómatas finitos ¿Qué es un autómata finito? Autómatas finitos que reconocen lenguajes. Cómo hay que imaginarse un autómata finito.

Autómatas finitos

¿Que es un autómata finito? Es un modelo matemático de los sistemas que posee las siguientes características: I.En cada momento el sistema se encuentra en un estado y el conjunto total de estados en los que se puede encontrar un sistema es finito. II.Pueden responder a un número finito de acontecimientos diferentes. III.El estado en el que se encuentra el sistema resume toda la información referente a todos los acontecimientos pasados. IV.La respuesta a un acontecimiento solo se determina en función del acontecimiento y del estado en que se encuentra el sistema. Por ejemplo: Un interruptor mecánico biestable, un ascensor, etc.

Autómatas finitos y los lenguajes Aunque existen muchos usos para los autómatas finitos, en nuestro caso particular, consideraremos los autómatas finitos como: Maquinas conceptuales reconocedoras de lenguajes Y por lo tanto la tarea realizada por los mismos será: responder a la pregunta de si una palabra pertenece a un lenguaje o no.

Como imaginamos un autómata finito, desde nuestra perspectiva de reconocedores de lenguajes: La forma más habitual de hacerlo consiste en imaginar a los autómatas como máquinas que constan de una unidad central con un cabezal dlhdlh, de izquierda a derecha los símbolos de la palabra que se intenta reconocer. Inicialmente esta unidad se encuentra en un estado inicial denominado (q o ), y el cabezal está totalmente a la izquierda de la cinta, sin haber leído todavía ninguno de los símbolos que contiene.

Como imaginarse un autómata finito. Autómata en estado inicial:

Como imaginarse un autómata finito. Cuando se lee un símbolo y se cambia de estado se denomina transición:

Representación Gráfica de los Autómatas finitos Esta es su representación más usada, y es la siguiente: 1.Los estados son círculos que llevan dentro el nombre que los identifica. 2.El estado Inicial tendrá una pequeña flecha sobre este. 3.Los estados aceptadores se indicaran con una pequeña cruz que sale de ellos. 4.Las posibles transiciones, en función de los símbolos leídos, se indicaran con flechas que van de un estado al otro (o a sí mismo). Las mismas estarán etiquetadas con el símbolo que produce el cambio de estado.

Autómatas finitos – Conceptos Básicos. Algunas otras cosas importantes a tener en cuenta son: Los estados del autómata están divididos en dos categorías, los estados llamados aceptadoreso finalesy los estados llamados no aceptadores. Cuando el estado en que se encuentra la maquina es aceptador, significa que la palabra que va desde el inicio de la cinta hasta el símbolo actual se reconoce como perteneciente al lenguaje. Por el contrario, si al llegar al final de la palabra (y la cinta) la máquina queda en un estado que no sea aceptador, la palabra no pertenece al lenguaje.

Representación Gráfica de los Autómatas finitos Por ejemplo:

Procesamiento de una palabra por parte de un autómata Supongamos que en el autómata anterior se procesa la palabra w=aabab:. 2.Cuando se lee el símbolo a se evoluciona hacia el estado B. 3.Cuando se lee el segundo símbolo a, se evoluciona de B hasta B. 4.Cuando se lee el símbolo b, se evoluciona de B hacia D.

Procesamiento de una palabra por parte de un autómata 5.Cuando se lee el símbolo a, se evoluciona desde D hasta B. 6.Finalmente el autómata lee el último símbolo a, y evoluciona desde B hacia D y debido a que ya ppy autómata que ubicado en un estado aceptador, se puede decir que la palabra aabab ha sido reconocida como perteneciente al lenguaje L. Importante:No basta con que una palabra pase por un estado aceptador para decir que el lenguaje la acepto, ya que es necesario que el último estado sea aceptador.

Autómatas finitos y algoritmos Cualquier autómata finito se puede representar como un algoritmo, en el cual independientemente de la longitud de la palabra de entrada, la cantidad de memoria que debe consumirse para realizar el procesamiento es siempre la sma. Ciclo ejecución autómata Su estructura básica es:

Tipos de autómatas finitos Autómatas Finitos Determinista (DFA,. Autómatas Finitos No Determinista (NFA, Non- Deterministic Finite Automate)