Elipse

Índice La Elipse. La Elipse como lugar geométrico. Elementos de la elipse. Ecuación analítica de la elipse. Ejemplo. Propiedades de reflexión de la elipse.

Elipse La elipse, se origina al cortar un cono con un plano que no pase por el vértice del cono y cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono es mayor que el de la generatriz del cono. Eje Elipse Generatriz Vértice Plano

La Elipse como lugar Geométrico Elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Elementos de la Elipse En toda elipse convine considerar: F y F´: Son los puntos fijos llamados focos. 2c: Se le llama distancia focal y es la distancia que hay entre los dos focos. P: Cualquier punto de la elipse. PF y PF´: Son los radio vectores de la elipse. 2a: Es la suma de los radio vectores. B P F´ F A A´ B´ 2c 2a

Elementos de la Elipse Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF´. C: Es el centro de la Elipse. B y B’ A y A’ : Son los vértices de la elipse. AA’: Es el eje mayor de la elipse y su longitud es 2a. BB’: Es el eje menor de la elipse y su longitud es 2b. B P 2b F´ F A C A´ B´ 2c 2a

Ecuación Analítica de la Elipse Para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0)  y F' (– c,0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a.   Aplicando Pitágoras tenemos que:

Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados

A partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que: a2 = b2 + c2 b2 = a2 – c2 Piensa que cuando el punto P es (0,b) la hipotenusa debe medir a y el otro cateto c Reemplazando en la ecuación tenemos que: b2x2 + a2y2 – a2b2 = 0  b2x2 + a2y2 = a2b2 Dividiendo entre a2b2 obtenemos que:

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 – 2xpb2 – 2yqa2 + p2b2 + q2a2 – a2b2 = 0 Si hacemos: A = b2 B = a2   C = – 2pb2 D = – 2qa2 E = p2b2 + q2a2 – a2b2 Tendremos la ecuación: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no necesitan ser iguales.

Ejemplo Esbócese la elipse 9x2 + 25y2 = 225. Al dividir entre 225 se obtiene: Como el denominador de x2 es mayor que y2, el eje mayor esta a lo largo de el eje x. Además a2 = 25, b2 = 9 y c2 = 16 por consiguiente los vértices están en ( ±5, 0), los extremos del eje menor en ( 0, ±3) y los focos en ( ±4, 0). Haz click y observa la gráfica

Propiedad de reflexión de la elipse: Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco.